專題十五 平面向量填空題-2022屆天津市各區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題分類匯編

2022屆天津市各區(qū)高三一模數(shù)學(xué)分類匯編專題十五平面向量【2021天津卷】在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為_(kāi)___________；的最小值為_(kāi)___________．【2020天津卷】如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．【2022和平一?！吭谥校?，，，，則______，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為_(kāi)_____.【2022部分區(qū)一?！吭诹庑沃?，，，，則___________；點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【2022河?xùn)|一?！吭诰匦蜛BCD中，，，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交DA的延長(zhǎng)線?DC于M，N，則___________，若，，則的最小值為_(kāi)__________.

【2022紅橋一?！咳鐖D，四邊形ABCD中，，，，，，M，N分別是線段AB，AD上的點(diǎn)且，則的最大值為（）A. B. C. D.1【2022河西一?！咳鐖D，△是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若，，那么______；點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【2022南開(kāi)一模】在△ABC中，，，，則______；若M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【2022河北一?！恳阎沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為_(kāi)______．【2022天津一中四月考】已知等腰直角三角形，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).如果，則__________；當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_________.【十二區(qū)縣一?！咳鐖D，在中，，D,E分別邊AB,AC上的點(diǎn),且，則______________，若P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________________.專題十五平面向量（答案及解析）【2021天津卷】在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為_(kāi)___________；的最小值為_(kāi)___________．【答案】

1

【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：1；.【2020天津卷】如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】

【解析】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.【2022和平一模】在中，，，，，則______，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】①.②.【分析】(1)以，為基底表示，，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律化簡(jiǎn)，由此可求BC，(2)建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式表示，再求其最小值.【詳解】解：由，可得由，可得，，則.∴.如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可得，，，設(shè)，.∵，∴，，∴為中點(diǎn)，∴，∴，，∵，∴時(shí)，最小，最小值為.答案為：，.【2022部分區(qū)一?！吭诹庑沃?，，，，則___________；點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】①.②.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，為中點(diǎn)所以，所以所以設(shè)，則，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故答案為：；【2022河?xùn)|一?！吭诰匦蜛BCD中，，，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交DA的延長(zhǎng)線?DC于M，N，則___________，若，，則的最小值為_(kāi)__________.

【答案】①.##②.##【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，即可求出的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算得到，再由平面向量共線定理的推論得到，最后利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、、，所以，，，因?yàn)槭菍?duì)角線上一點(diǎn)且，可得；所以，，所以因?yàn)椋?，所以，因、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，所以，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：；【2022紅橋一?！咳鐖D，四邊形ABCD中，，，，，，M，N分別是線段AB，AD上的點(diǎn)且，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【分析】首先求得以及，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.【詳解】設(shè)，由于，所以，依題意四邊形ABCD中，，，，，設(shè)，則，所以，所以，由得，所以，在三角形中，由余弦定理得，依題意，設(shè)，則，其中，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.故選：A【2022河西一?！咳鐖D，△是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若，，那么______；點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】①.②.##【分析】由已知條件及、，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及線段的位置關(guān)系求，若，則且，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】由題設(shè)，且，，所以；由題設(shè)，則，若，則且，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圖形中的線段關(guān)系及向量加法的幾何意義，并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律將、作轉(zhuǎn)化.【2022南開(kāi)一?！吭凇鰽BC中，，，，則______；若M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】①.##②.##-0.25【分析】根據(jù)，得到D為AB的中點(diǎn)，再由，利用數(shù)量積運(yùn)算得到，然后利用數(shù)量積的幾何意義求解；建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，所以D為AB的中點(diǎn)，又，且，所以，，則，所以，則；建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，所以，，則，所以，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故答案為：，【2022河北一?！恳阎沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為_(kāi)______．【答案】【分析】利用平面向量基本定理表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算即可解決問(wèn)題．【詳解】點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，且所以：所以=，又是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，則所以=【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理及向量運(yùn)算知識(shí)，還考查了數(shù)量積的定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【2022天津一中四月考】已知等腰直角三角形，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn).如果，則__________；當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_________.【答案】①.3②.【分析】由結(jié)合向量共線定理證明，再由數(shù)量積公式得出的最小值.【詳解】由題意可知，，因?yàn)椋杂秩c(diǎn)共線，所以，即.設(shè)，當(dāng)時(shí)，故答案為：；【十二區(qū)縣一?！咳鐖D，在中，，D,E分別邊AB,AC上的點(diǎn),且，則______________，若P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________________.【答案】①.1②.【分析】由利用數(shù)量積公式可求的值為1，設(shè)的長(zhǎng)為，則，，利用平面向量的幾何運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得，再利用配方法可得結(jié)果【詳解】，；又因?yàn)榍?，為正三角形，，，，設(shè)長(zhǎng)為（），則，，時(shí)取等號(hào)，的最小值為.故答案為：1，.【點(diǎn)睛】向量的運(yùn)算有兩種方法，一是