高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掃描

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集合與簡(jiǎn)易邏輯：

集合簡(jiǎn)易邏輯

V『

■算V

關(guān)

系

概念運(yùn)命題

工

灰

素

4.酥四種命題條件

與

儲(chǔ)集

—

集

關(guān)話

逆

分合

小

類分要

—

非非

命命w命

也

必充

要分

項(xiàng)恩

定異序舉條條

述圖

性性性法法件件

一、理解集合中的有關(guān)概念

(1)集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性。

集合元翥的互異性：如：A={x,xy,lg(xy)},8{0,lxl,y},求A；

(2)集合與元素的關(guān)系用符號(hào)反，其表示。

(3)常用數(shù)集的符號(hào)表示：自然數(shù)集；正整數(shù)集、；整數(shù)集；有

理數(shù)集、實(shí)數(shù)集。

(4)集合的表示法：列舉法，描述法，韋恩圖.

注意j區(qū)分集合史元素的形.式：如：

A={x\y=x2+2x+1}；B={yIy=x2+2x+1}；

C={(x,y)Iy=x2+2x+1}；

D={x\x=x2+2x+1}；E={(x,y)I>,=x2+2x+l,xeZ,yeZ}；

F={(x,y')Iy=x2+2x+1}；G={z\y=x2+2x+1,z=—]

x

(5)空集是指不含任何元素的集合。({0}、。和{例的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系)

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意J條件為A口民,_在過逡的時(shí)候丕墓遺忘工A=2的情況。

如：A-[x\ax2—2x—1=0},如果AnR+=。，求a的取值。

二、集合間的關(guān)系及其運(yùn)算

（1）符號(hào)“e,e”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)

符號(hào)“u,<Z”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線（面）的關(guān)系。

（2）4口§={};4U§={};

cz{}

（3）對(duì)于任意集合A,8,則:

①AUB―fiUA；A^B_5QA；AC\B_A\JB；

②ACl§=A=；AU6=A=；

CuAU§=U=;5^8=00；

③5口。8=；=?！悖?口8）；

（4）①若〃為偶數(shù)，則〃=；若〃為奇數(shù)，則〃=；

②若〃被3除余0,則〃=；若〃被3除余1,則

n=；若〃被3除余2,則“=；

三、集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算：

（1）若集合A中有〃個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為,所有真子集

的個(gè)數(shù)是，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是。

（2）AU冬中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算公式為:Card（AUB）=；

（3）韋恩圖的運(yùn)用：

四、4={用工滿足條件〃},8={犬1》滿足條件4},

若;則p是q的充分非必要條件OAB；

若;則p是q的必要非充分條件=AB；

若;則p是q的充要條件oAB；

若；則p是q的既非充分又非必要條件=；

五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的；

注嬴，若「Pn「q「則P=q”,捶解題史的運(yùn)用,一

如："sinawsin夕”是“a工月”的條件。

六、反證法：當(dāng)證明“若P則q”感到困難時(shí)，改證它的等價(jià)命題“若小則「p”成立,

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾

判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。

矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題：3、導(dǎo)出一個(gè)恒

假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時(shí)。

正面詞語等于大于小于是都是至多有一個(gè)

否定

正面詞語至少有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)任意兩個(gè)

否定

二、函數(shù)

定義||圖象||性質(zhì)||方程|

一

指

的

三

兀

兀

反

數(shù)

數(shù)

角

比

一

二

例

函

函

函

次

次

型如:函

數(shù)型如：

數(shù)

數(shù)

函

函

數(shù)

數(shù)

a教

y=c+----y=x+—(k>0)

x-bx

對(duì)應(yīng)方程

一一映射

不等式

反函數(shù)函數(shù)

-、映射與函數(shù)：

（1）映射的概念：A,8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的-

個(gè)元素，在集合8中都有的元素與它對(duì)應(yīng)；記作：；

（2）一一映射：A,8是兩個(gè)集合，8是集合A到集合8的映射，如果在這個(gè)映

射下，對(duì)于集合A中的；在集合8中有；而且3

中；

（3）函數(shù)的概念：如果都是,那么A到B的映射f:A->B就叫做A到B

的函數(shù)，記作；

如：若4={1,2,3,4},8={“,>1}；問：A到8的映射有個(gè)，8到4的映射有

個(gè)；A到8的函數(shù)有個(gè)，若4={1,2,3},則A到8的一一映射有

個(gè)。

函數(shù)y=*(x)的圖象與直線x=。交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)。

二、函數(shù)的三要素：,,。

相同函數(shù)的判斷方法:①__________；②_____________(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

(1)函冊(cè)解析套的求法:

①定義法(拼湊)：如：已知+」，求：/(x)；

XX

②換元法:如：已知/(3x+l)=4x+3,求/(x)；

③待定系數(shù)法:如：已知/{/"(x)]}=l+2x,求一次函數(shù)/(x)；

④賦值法：如：已知2/(x)—/(4)=%+l(xwO),求/(x)；

X

(2)函數(shù)定義域的求法:

①/=四，則________________；②/=^7^(〃6%*)則____________;

g(x)'

③丁="。)]。，則；④如：y=log/“)g(x)，

則；⑤含參問題的定義域要分類討論；

如：已知函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,1],求e(x)=/(x+a)+/(x-a)的定義

域。

⑥對(duì)于實(shí)際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根

據(jù)實(shí)際意義來確定。如：已知扇形的周長(zhǎng)為20,半徑為廣，扇形面積為S,則

S=f(r)=；定義域?yàn)?/p>

(3)函數(shù)值域的求法：

希配方晟轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：

f(x)=ax2+bx+c,xe(m,n)的形式：

②逆求法(反求法):通過反解，用y來表示X，再由x的取值范圍，通過解不等式，

得出y的取值范圍；常用來解，型如：)，=竺心,xe(機(jī),〃)；

cx+d

③判別式法:轉(zhuǎn)化一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程(其中y為參數(shù))，利用存在x使得方程

(ix~+hx+c

成立,找方程有解的充要條件;適用題型：y=A—。力不全為0)；

dx~+ex+f

有兩種情況：(1)x無具體范圍：直接套用ANO：(2)x有具體范圍：要

用實(shí)根分布來其有根的充要條件；

注意：(1)若得到的一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)是含有)，的多項(xiàng)式，此時(shí)要分類討

論。

(2)若定義域中有不連續(xù)的點(diǎn)，要驗(yàn)證，方法為：令x取不連續(xù)點(diǎn)的值，求

出y，再由這個(gè)y求出與它對(duì)應(yīng)的x,如果還有定義域內(nèi)有定義的x'與

它對(duì)應(yīng),則此v為值域中的一個(gè)值，否則，此y不在值域中。

④換元法:通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；適用題型

y=ax+y/bx+c；

⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；

⑥基本丕等式法：轉(zhuǎn)化成型如：y=x+&(A>0),利用平均值不等式公式來求值域;

x

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

求下列函數(shù)的值域：①)=空處(a>O,b>O,a>A,xe[—lJ)(2種方法)；

a-bx

—_r4-3r~—_r4-3

②y=±e(-00,0)(2種方法);③y=-—￡(-00,0)(2種方法)；

Xx-1

x~—x+3比2—x+3

@y=-\A^\xe(-oo,0)；⑤y=~~^,xe(-oo,0)(2種方法)；

X+X+1X

⑥y=-2x+3,4-x；⑦y=-2x+314-x?；⑧y=---------：

x

三、函數(shù)的性質(zhì)：

(1)函數(shù)的單調(diào)性:對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)/(X),如果對(duì)于定義域內(nèi)任意的x「x,；

若_____,都有___________，則稱/(X)為增函數(shù)；1隨,

則稱/(X)為減函數(shù)；

注意：(1)函數(shù)單調(diào)性的定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法。若函數(shù)是一個(gè)關(guān)于X的

多項(xiàng)式，還可以通過求導(dǎo)證明：當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減

函數(shù)。

(2)單調(diào)性一般用區(qū)圓表示，不能用集合表示。

_(2)…函數(shù)的奇偶性：對(duì)于函數(shù)/(x),如果定義域內(nèi)任意的的,都有,則

稱/(x)為奇函數(shù)；理直_______________,則稱/(x)為偶函數(shù)；

奇函數(shù)的圖象關(guān)于,偶函數(shù)的圖象關(guān)于；

注意：(1)研究函數(shù)的奇偶性，.首先要研究函數(shù)的定義域；

(2)若函數(shù))，=f(x),xe。是奇函數(shù)，且Oe。，則；

如：判斷y=(x+"W的奇偶性。

美王函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的的結(jié)論：.

1、若奇函數(shù)/(X)在區(qū)間切上單調(diào)遞增(減)，則/(X)在區(qū)間上是單調(diào)

遞;

2、若偶函數(shù)/(x)在區(qū)間口力］上單調(diào)遞增(減)，則/(x)在區(qū)間［-b,-a］上是單調(diào)

遞；

3、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)的解析式為；這樣的函數(shù)有

個(gè)。

4、任意定義在R上的函數(shù)/(x)都可唯?地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和：

/(x)=g(x)+/z(x);其中g(shù)(x)=是偶函數(shù)，/l(x)=是奇函

數(shù)；

(3)函數(shù)對(duì)稱性的結(jié)論:

1、設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,且滿足條件：f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)

y=/(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

如：由/(1一》)=/(1+工)成立，則/(x)關(guān)于對(duì)稱；

注意：y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于對(duì)稱；

2、定義在R上的函數(shù).丫=/。)對(duì)定義域內(nèi)任意》滿足條件/。)=26-/(2〃-%),

貝！Jy=/(x)關(guān)于點(diǎn)(。力)成中心對(duì)稱，

如：/(%)=-/(-%)=>/(X)=2x0-/(2x0-%),則/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(4)函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在不為零的常數(shù)T,對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)值,

都有則函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，叫周期;

關(guān)于函數(shù)周期性的結(jié)論：

①定義在R上的函數(shù)>=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x,都滿足條件

/(x)=/(x+a)=/(x—。)成立，則y=/(x)是以T=為周期的周期函

數(shù);

②若函數(shù)卜=/(x)既關(guān)于直線x=。對(duì)稱，又關(guān)于x=#6)對(duì)稱，則y=/(x)一

定是周期函數(shù)，且7=是它的一個(gè)周期；

③若y=/(x)既關(guān)于直線X=a成軸對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,c)成中心對(duì)稱，則y=/(x)

一定是周期函數(shù)，且7=是它的一個(gè)周期。

四、圖形變換：

3*移變攝一

①形如：y=f(x+a)i把函數(shù)y=/(x)的圖象沿方向向或平移

個(gè)單位，就得到y(tǒng)=/(x+a)的圖象。

②形如：y=f(x)+a：把函數(shù)y=/(x)的圖象沿方向向或平移

個(gè)單位，就得到y(tǒng)=/(x)+”的圖象。

(2)對(duì)稱翻轉(zhuǎn)變換：

①形如：y=/(-x)：其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。

②形如：y=-/(%)：其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。

③形如：y=/T(x)：其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。

④形如：y=-/(—X)；其函數(shù)圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。

⑤形如y=/(|x|)：這是偶函數(shù)。其圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的，所以只要

先；就得

到了y=/(|xl)的圖象。

⑥形如：y=l7(x)1:將函數(shù)y=/(x)的圖

象；就得到函數(shù)

y=1/(x)I的圖象。

一⑶/申縮變最一

①形如：y=/(處)3>0):將函數(shù)丁=/(X)的圖象橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo)不變)縮小(0>1)

或伸長(zhǎng)(0<。<1)到原來的-倍得到。

co

②形如：y=Af(x)(A>0)：將函數(shù)y=/(x)的圖象縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo)不變)伸長(zhǎng)(A>1)

或壓縮(0<A<1)到原來的4倍得到。

如：y=/(x)的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象:

⑴y=f(.-x);(2)y=-/(x)；

⑶y=/(lxl)；(4)y=1/(x)I；

(5)y=/(2x)；(6)y=/(x+l)；

(7)y=/(%)+1；(8)y=；

⑼y=f-'(x).

五、反函數(shù):

(1)定義：設(shè)y=/(x)表示y是自變量x的函數(shù)，它的定義域?yàn)?,值域?yàn)镃,由式子

y=/(X)解出x,得到式子x=e(y),如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通

過式子x=9(y)j土在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),那么式子x=°(y)

就表示x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=0(y),叫做y=f(x)的反函數(shù),

記為￡=/T(y),即x=°(y)=/T(y),習(xí)慣上仍用x表示自變量，y表示

函數(shù)，把它改寫成y=

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件：；

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：；

(4)求反函數(shù)的步驟:①將y=/(x)看成關(guān)于x的方程，解出x=/T(y),若有兩解，

要注意解的選擇；②將x,y互換，得)，=/T(X)；③寫出反函數(shù)的

定義域(即y=/*)的值域)。

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：；

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

2r

如：求下列函數(shù)的反函數(shù)：/(x)=/_2x+3(xW0)；/(x)=----

2*-1

X

/(x)=log---2(X>O)

2x+1

六、復(fù)合函數(shù)：

(1)定義：如果y是"的函數(shù)，記為y=/(?),u又是x的函數(shù)，記為"=g(x),且g(x)

的值域與/(?)的定義域的交集不空，則確定了一個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)

y=/[g(x)]，這時(shí)y做x的復(fù)合函數(shù)，其中〃叫做中間變量，)，=/5)叫做

外層函數(shù)，"=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)。

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性:；

七、常用的初等函數(shù)：

(1)1元一次函數(shù)：y=ax+b(a*0)

當(dāng)?！?時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)。＜0時(shí)，是減函數(shù)；

(2)一元二次函數(shù)：

一般式：y=ax2+bx+c(a0)；對(duì)稱軸方程是；頂點(diǎn)

為；

兩點(diǎn)式：y=a(x-X1)(x-X2)；對(duì)稱軸方程是；與x軸的交點(diǎn)

為；

頂點(diǎn)式：y=a(x-k')2+h；對(duì)稱軸方程是；頂點(diǎn)為；

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng)a＞0時(shí)：為增函數(shù)；為減函數(shù)；

當(dāng)”＜0時(shí)：為增函數(shù)；為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問題:首先要采用配方法，化為y^a(x-k)2+h的形式，

I、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

。＞0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

。＜0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

II、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

a＞0時(shí)：最小值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的

端點(diǎn)處取得；

。＜0時(shí)：最大值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的

端點(diǎn)處取得；

有三個(gè)類型題型：

(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：y=x2+x+l,xe[-1,1]

(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何

時(shí)在區(qū)間之外。如：y-x'+ax+\,x&[-1,1]

(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù).y^x2+x+l,xe[a,a+l]

③二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題:設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程/(x)=+版+。=o的兩

根為%,%2；則:

根的情況x1>x2>k<x2<kx1<k<x2

在區(qū)間（上,+8）或

在區(qū)間（我,+8）上有在區(qū)間（-8,%）上有

等價(jià)命題

兩根兩根（-8,左）上有一根

充要條件

根的情況

m<x[<x2<n<m<n<x2

在區(qū)間On,〃）上有在區(qū)間（m,〃）上無

等價(jià)命題在區(qū)間（加,〃）上有一根

兩根根

充要條件

注意：若在閉區(qū)間［〃，,〃］討論方程/（x）=0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間（〃?,〃）

上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令犬=〃和苫=機(jī)檢查端點(diǎn)的情況。

(3)反比例函數(shù):y，(x30)=y=a+-^—

xx-h

y=3(xw0)y=c+a(xwb)

Xx-h

圖形

定義域

值域

a>0

單調(diào)性

a<0

對(duì)稱中心

漸近線

(4)指數(shù)函數(shù):y=a'>0,aY1)

指數(shù)運(yùn)算法則：___________________

0<6Z<1a>1

圖象

定義域

值域

x>0

函數(shù)值

x<0

單調(diào)性

SUt數(shù)函數(shù)：y=log”X(a>0,a=1)

指數(shù)運(yùn)算法則：___________________

m

⑴loga?b=；

(2)換底公式：____________________________

(3)對(duì)數(shù)恒等式：__________________________

0<a<1a>\

圖象

0<?<1a>\

定義域

值域

x>0

函數(shù)值

x<0

單調(diào)性

注意：(1)〉="'與>=108“》的圖象關(guān)系是

(2)比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底

數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。

(3)已知函數(shù)/(x)=log1(/+乙+2)的定義域?yàn)镽,求k的取值范圍。

2

已知函數(shù)/(x)=log|+日+2)的值域?yàn)镽,求％的取值范圍。

(4)下圖中，％,42，。3，。4與4，82力3，04間的關(guān)系是：

六、y=x+-a>0)圖象：

X

定義域：:

值域：:

奇偶性：;

單調(diào)性：是增函數(shù)：是減函數(shù)。

七、補(bǔ)充內(nèi)容：

(1)抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

①/(X,+々)=f(xi)+f(x2)n正比例函數(shù)f(x)=kx(k*0)

②/(X|+無2)=/(七)"(％2):/(尤1一％2)=/(為)+/(%2)=>:

X

③/(七72)=/(/)+/。2)；/(-)=/(-^|)-/(^2)=>__________________________；

x2

④/(匹)+/(*2)=2/(再；/)./盧2%)=>；

(2)不等式恒成立的條件：

(1)已知/(x)=ax+b,a,beR,且aW0,/n,,m2eR；則

(a)/(x)>0在xe(mt,m2)時(shí)恒成立n；

(b)/(x)<0在xe(叫，叫)時(shí)恒成立=；可借助一次函數(shù)得到。

(2)已知/(x)=ax2+bx+c,a,b,ceR

(a)/(x)>0在xeR時(shí)恒成立=>或；

(b)/(x)N0在xeR時(shí)恒成立n或；(可借助一次函

數(shù)

(c)/(%)<0在xwR時(shí)恒成立n或；或二次函數(shù)得

到)。

(3)/(x)>a恒成立o[f(x)]min>atf(x)<a恒成立o[/(x)]max<a

三、不等式

一、不等式的基本性質(zhì)為:

;②;

③:④;

⑤:?:

⑦:⑧:

注意：特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。

二、均值不等式:兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

若〃力>0,則9也之而（當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時(shí)取等號(hào)）

2

基本變形：?a+b>

lab/

②-------<

a+b

..,.2,1,a+b、2

③若a,beR,貝！J4-+/?-N2ab,------>(-----)'

22

基本應(yīng)用:①放縮，變形；

②求函數(shù)最后：注意:①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。

當(dāng)ab=p（常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

當(dāng)a+b=S（常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

常用的方法為:拆、湊、平方；

91

如：①函數(shù)y=4x—尸“a〉]）的最小值____________。

②已知0<x<：,貝ijy=（1一5x）的最大值______________o

7T

?y=sinxcos2x,X￡（0,生）的最大值

2

④若正數(shù)滿足x+2y=l，則-+-的最小

xy

值_____________________。

推廣：①若a],c>0,則竺"或2必癡（當(dāng)且僅當(dāng)。=6=c時(shí)取等號(hào)）

3

基本變形：a+b+c>；（”—+與32；

3

+。2+??,+可卬出…環(huán)

②若ax,a2,---,an>0則當(dāng)且僅當(dāng)

n

%=。2=…=?！〞r(shí)取等號(hào)）

三、絕對(duì)值不等式:<<<

注意:IQ+/?1<1QI+I61<=>_______________________________________；

IQ+/71=1QI+I1<=>；

\a-b\<\a\-\-\bQ；

\a-b\=\a\+\b\o；

\a\-\b\<\a-\-h\<=>；

I〃I一I/?1=1Q+/?I<=>；

\a\-\b\<\a-bI—；

IqI-1力1=1Q-I—；

四、常用的基本不等式:

(1)設(shè)則a?zo,(a—b)2NO(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))

(2)\a\>a(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))；\a\>-a(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))

(3)若。>0力>0,則2。28+。匕2

(4)若a,b,ceR,則a?+b2+c2>ab+be+ca

(5)若a,b,cGR,則3(ab+bc+ca)<(a+b+c)2<3(。2+b2+c2)

(6)柯西不等式：設(shè)為,a2，々，％eR，則(。|仇+。2&)24(a；+。22)(8「+外2)

—?—?—?—?—?2-*2

注意：可從向量的角度理解：設(shè)。=(%,。2)力=(4,％)，則(a-b)24ab

,,c1111

(7)a>b,ab>0=>—<—；—<—<=>_______________；

abab

、,八六+vb.cibb+m...h〔hb+m

(8)a,b>0,m￡R,若一<1,則一<-----；若一>1,則niI一>------；

aaa+maaa+tn

五、證明不等式常用方法：

(1)比較法:①作差比較：A-B<0oA<B

A

②作商比較：-21(8>0)=A28

B

作差比較的步驟：

⑴作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式)作差。

⑵變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)(或式)的完全平方和。

⑶判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。

注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。

(2)綜合法：由因?qū)Ч?/p>

(3)分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證……只需證……，只需證……

(4)反證法：正難則反。

(5)放縮法:將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。

放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項(xiàng),如：J.?+1>|a|；+1)>n

⑵將分子或分母放大(或縮小)

lg3g5

⑶利用基本不等式,如：log3.1g5<(^1)2=1g<1g=1g4；

;---7-n+(n+1)

J〃(〃+1)<—~-

(4)利用常用結(jié)論:

,?bh+tn

TI、a>b>0,meRn+<-----；

aa+m

Iky[k+\-4k=~r=~F=<—r-;

y[k+\+4k2&

11

-7<-----------------r>—;-------(程度大)

k2k(k-Dk-\kk2女伙+1)k+1

__<==_()(程度小)

k2k2-1(Jl-W+l)2k-1k+l

12

V、—j=<—/=---j—2(y[k-yjk-1)；

y/ky/k+〃-14k4k+〃+1

(6)判別式法：與一元二次函數(shù)有關(guān)的或能通過等價(jià)變形轉(zhuǎn)化成一元二次方程的根據(jù)其有

實(shí)數(shù)解或無解建立不等式關(guān)系。

1+x+13x~+x+1

如：證明.K；?二，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)二=；的值域。

2x2+l2x2+l

(Z)一換元法」換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的

換元有三角換元和代數(shù)換元。如：

已知+)，2=￡,可設(shè)x=acos6,y=asind；

已知爐+y2<1,可設(shè)x=rcosd,y-rsin6>(0<r<1)；

YV

已知F+Q=1,可設(shè)x=acos9,y=0s