第四章 波動(dòng)理論分析

第四章波動(dòng)理論分析................................................2

4.1階躍光纖中直角坐標(biāo)系下的波動(dòng)方程.......................................2

4.2階躍光纖中柱坐標(biāo)系下的波動(dòng)方程.........................................5

4.3階躍光纖中模式的嚴(yán)格解一一矢量模解.....................................8

4.3.1階躍光纖中軸向電磁場(chǎng)分布所滿足的方程.............................8

4.3.2利用分離變量法分解波動(dòng)方程........................................9

4.3.3波動(dòng)方程的通解....................................................9

4.3.4利用邊界條件求出波導(dǎo)方程（本征方程）............................15

4.4矢量模的分析...........................................................17

4.4.1模式的引入........................................................17

一、模式的概念.....................................................17

二、模式的分類(lèi).....................................................18

三、模式的特點(diǎn)....................................................19

四、射線與模式.....................................................19

4.4.2階躍光纖中的模式分析.............................................21

一、階躍光纖中的模式及其分類(lèi)......................................21

二、階躍光纖中的模截止頻率........................................22

三、階躍光纖中的模截止條件........................................23

四、階躍光纖中單模傳輸?shù)臈l件和色散曲線............................43

五、遠(yuǎn)離截止時(shí)導(dǎo)波的傳播常數(shù)......................................45

4.5標(biāo)量法與線偏振模.......................................................48

4.5.1弱波導(dǎo)條件下的截止方程..........................................48

4.5.2線偏振模一LP模的提出...........................................49

一、模截止時(shí)的分析.................................................50

二、遠(yuǎn)離截止時(shí)的情形...............................................53

4.6LP模的應(yīng)用...........................................................56

4.6.1LP模的物理意義..................................................56

4.6.2光斑與光功率分布圖...............................................60

4.6.3光斑與光功率分布的定量分析......................................61

4.7單模光纖...............................................................63

4.7.1單模光纖的存在條件和截止波長(zhǎng).....................................63

4.7.2單模光纖的模場(chǎng)直徑...............................................64

4.7.3單模光纖的雙折射.................................................67

4.7.4單模光纖中偏振狀態(tài)的演化.........................................69

4.8漸變折射率光纖的波動(dòng)理論分析..........................................70

4.8.1漸變折射率光纖的的折射率分布.....................................70

4.8.2漸變折射率多模光纖的標(biāo)量近似分析................................72

一、WKBJ分析法...................................................72

二、漸變折射率光纖傳播常數(shù)的本征方程..............................76

三、漸變折射率光纖中傳輸模式數(shù)量的計(jì)算............................79

章末小結(jié)..................................................................80

第四章波動(dòng)理論分析

在幾何光學(xué)中，不同的入射角對(duì)應(yīng)不同的傳播方向，即光線在光纖中的傳播路徑不同,

從而有不同的模式。但用幾何光學(xué)不能得到波導(dǎo)中光波的場(chǎng)分布及功率（或強(qiáng)度）分布。而

用波動(dòng)光學(xué)能求解出光纖中電場(chǎng)的分布特點(diǎn)，能對(duì)傳輸模式進(jìn)行詳細(xì)分析。因此，必須采用

波動(dòng)光學(xué)來(lái)研究光波在光纖中的傳輸情況。

本章中從麥克斯韋方程、亥姆霍茲方程出發(fā)，導(dǎo)出直角坐標(biāo)系以及圓柱坐標(biāo)系下的階躍

光纖（均勻波導(dǎo)）波動(dòng)方程，進(jìn)而在設(shè)定物理模型條件下，通過(guò)對(duì)纖芯與包層的物理約束條

件的分析，利用邊界條件求解波動(dòng)方程，獲得與各特定本征值相聯(lián)系的本征方程，最后對(duì)階

躍光纖中存在的各種模式及其截止條件進(jìn)行系統(tǒng)分析（見(jiàn)圖4-1所示）。

傳輸

性

特

析

麥克斯韋分

方程

電磁分離.波動(dòng)方程時(shí)空分離f亥姆霍茲方程縱橫分離分波導(dǎo)場(chǎng)方程

圖4-1

4.1階躍光纖中直角坐標(biāo)系下的波動(dòng)方程

設(shè)光纖中存在如下形式的解

方=￡"切-"”（4-1）

0

H=（4-2）

式中￡）、A。分別為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)振幅矢量；i為波矢，|口=%；/為光波角頻率，

；為波面上任一點(diǎn)〃（%,y,z）的位置矢量。

在各向同性、線性、透明的介質(zhì)中，正弦穩(wěn)態(tài)形式的麥克斯韋方程為

rdBr

VxE=-=-jcojuH(4-3)

~dt

rdDr

Vx"==jcosE(4-4)

~dt

將Vx方展開(kāi)得

蔡皂y。

r_a__a__a(dEzdEy')雪

VxE==卷+e

dxdydz、6Sz)、3zdx?;Sxdy；

ExEyEz

=-ja>]LiHxex-j(o/jHyey-jcopHzez(4-5)

式（4-1）對(duì)z求偏微分得

管=-必￡""”=-必上（4-6）

OZ

簡(jiǎn)記為

a

—=~JK=~jP（4-7）

dz

P為軸向相位常數(shù)或軸向傳播常數(shù)，如圖4-2所示。

圖4-2

式（4-7）代入式（4-5）得

8/7dE'GEy殂、

受+%E,肉+-j/3E-ze?+

xdx

=-jcouHxex-jcouHyey-jcouHzey(4-8)

同理，將式(4-4)按上述方法展開(kāi)可得

SH

dH:+j/3H}ex+(-j/3Hx-

ey+

7dx)dx

(4-9)

ja>/jExex+jco/jEyey+ja>^E:e:

由式(4-8)和式(4-9)可得

RF

(4-10-1)

-^+j/3Ey=-ja)^iHx

dF

-j/3E--^=-jco^H(4-10-2)

fdxy

SEQE

yX-jcofdH(4-10-3)

dxdy

dH

(4-10-4)

+jBHy=ja)NE\

一加『黃=.嗎(4.10.5)

5HdH

yx(4-10-6)

dxdy

聯(lián)立式(4-10-2)和式(4-10-4),消去”、,得

明..yjs?idE.y.?

才+加(4-11)

—Ex+~------=W￡EX

oyl即ja>^idxJ

整理得

j(dE.dH\

ra(4-12)

2)(J

(蘇“_力QxQy

為方便推導(dǎo)，記以2=蘇〃￡-夕2,以為橫向相位常數(shù)或橫向傳播常數(shù)。于是上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)

為

(4-13)

(4-14)

(4-15)

(4-16)

dHdH

yx=j8應(yīng)

dxdy

由式(4?13至4?16)可以看出，Ex.Ey、、Hx.乩y.可由瓦z、H_z表示,只需解出Ez、H.z

便可得到￡.、E、,、%、H,。為此，我們有必要進(jìn)一步求解電磁場(chǎng)的縱向分量。

聯(lián)立式(4-15)、(4-16)、(4-10-6),消去得

(4-17)

整理得

d2Ed2E

2:+哥耳=0(4-18)

dx2W

同(4-19)

式(4-18)和式(4-19)就是波導(dǎo)方程。

4.2階躍光纖中柱坐標(biāo)系下的波動(dòng)方程

因?yàn)楣饫w具備圓柱對(duì)稱的特點(diǎn)，在柱坐標(biāo)系下更便于計(jì)算。所以有必要進(jìn)行坐標(biāo)變換，

將直角坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程及場(chǎng)的各分量變換到圓柱坐標(biāo)系中。圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系

如下

x=rcoscp(4-20)

y=rsm(p(4-21)

(4-22)

(p-arctanf-J

(4-23)

如圖4-3所示

Er=Excos(p+Eysin(p(4-24)

4=-Exsincp+Eycoscp(4-25)

由圖可以看出^2=&+E：=E；+M，及、紇在￡■，方向的分量之和等于耳.；紇、

紇在9方向上的分量之和等丁?紇,。于是，將式（4-13）、（4-14）代入式（4-24）得

dH

1夕跑cos°+即以3”咨sg即_______:

Ersin*(4-26)

5ydx

、dxdy77

為將上述微分轉(zhuǎn)化為柱坐標(biāo)的形式，必須先求出如下各量:

22

dr_dyjx+y2xx

—=COS(p(4-27)

dxdx2次+/r

dr_dy]x2+y1

)=sin/

(4-28)

2次+/r

6arctan—_上

y_sin/

(4-29)

dxdxr2

y1

大6arctan

"二________XxX_COS(p

-T-(4-30)

8y~dy/、2rr

1+y_

聯(lián)合上述各式，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，可得式（4-26）中各微分量

四居包+昵”3E,sin(pHE、

=cos9----------------(4-31)

dxdrdxd(pdxdrd(p

跑=這包+絲紗.dE_cos(pdEr

sin(p—+----——二(4-32)

dydrdyd(pdydrrd(p

也=以電+以"=c°s°dHzsin(pdH

(4-33)

dxdrdxd(pdxdrrd(p

dH_dH_drdH_d(pdH_coscpdH.

——=——--+——^—=sm(p——+——-——-(4-34)

dydrdyd(pdydrrd(p

其中r="羽y)、(p=(p(x,y),將式(4-31)(4-32)(4-33)(4-34)代入式(4-26)得

與=一/1/J](/cos2處即sin0cos9+/sin?o一詠sin°cos0)+

22y

/Jsin^cos^^^cos/?sin^9cosV+cosin(pdH.

(4-35)

rrrr)d(p

整理得

(4-36)

用同樣的方法可得

(4-37)

(4-38)

(4-39)

從式（4-36）到式（4-39）可以看出，圓柱坐標(biāo)系中各橫向分量可由縱向分量“二來(lái)表

示，顯然，只要求出瓦、Hz,就可以求出圓柱坐標(biāo)系中各橫向分量，這一點(diǎn)和直角坐標(biāo)系

下情況相同。為此，我們必須求出圓柱坐標(biāo)系下E,、的波動(dòng)方程。上面已經(jīng)求出一上、

z2dx

二上，下面我們進(jìn)一步求出二~六、一。

dydx2dy2

d2E.(1x1\8E.x(xd2E.yd2E.2xydE.

=---------------~

1廠r)drr、廠dr2r-dr

y(x.。泣y響

drd(pr~dcp1J

jl叫四+），(yd2E_xd2i

[rr3Jdrr

、rdr2r2drc

x(yd2紇X?紇)

——

前一節(jié)推導(dǎo)得出E:、Hz在柱坐標(biāo)系下滿足:

d2E.1dE.1d2E.

+0：E；=O

dr2rdrr2d(p

dr~rdrr~d(p~

4.3.2利用分離變量法分解波動(dòng)方程

設(shè)區(qū)=W(八。，z)=??(廠)°(9)0一，的(4-44)

代入式(4-42)得

--r退立帕p)eR、+上R(r)濁口e-加+BjRmMcp)”/=金(4-45)

rdr\_drJrd(p"

整理，消去「脛得

更處為名叫+*⑺學(xué)9⑺價(jià))=0(4-46)

ror\_oryro(p~

兩邊同乘產(chǎn)，整理得

1「，d?R⑺dR(r)。，?、[1/。(0),、

----V————+Z?,r-/?(r)=(4-47)

R(r)[dr~drJ。(⑼d(p~

上式左邊是，?的函數(shù)，右邊是夕的函數(shù)。因?yàn)閞,0相互獨(dú)立，上式兩邊只有都等于同一個(gè)

常數(shù)(令其為m2,加為實(shí)數(shù))才能對(duì)任何，e都成立。

左邊

1

產(chǎn)g+「出+加次⑺=疝(4-48)

drdr

右邊

等+2=。

(4-49)

433波動(dòng)方程的通解

式(4-49)的解為

0(e)=e加。(4-50)

式中必須是整數(shù)，即機(jī)=1,2,3…。因?yàn)辄c(diǎn)(r,°)與(r,夕+2乃)是同一個(gè)點(diǎn)，若加不

為整數(shù)，則會(huì)出現(xiàn)/“He刖"+2")的情況，致使同一個(gè)點(diǎn)無(wú)法保證得到單值的解。

將式(4-50)代入式(4-48)可得

2dR(r)dR(r)，ciz工、,、,、

r—V-+r———+(/7,r--m~)=0(4-51)

dr2dr'

上式為加階貝塞爾方程，加階貝塞爾方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

x2y"+xy'+(A2x2-/n)y=0(4-52)

式中，4為常數(shù)，根為方程的解的階數(shù)，方程的解為貝塞爾函數(shù)。為了便于求解式(4-51)

這個(gè)貝塞爾方程，在此對(duì)幾個(gè)常數(shù)進(jìn)行定義

。蟲(chóng)膜嫦-加嚴(yán)4(4-53)

卬=(力2-42/2度a(4-54)

V2=U2+W2(4-55)

其中々、“分別為纖芯和包層中的折射率，即為真空中的傳播常數(shù)。。為纖芯半徑，夕為

軸向傳播常數(shù)。U稱為纖芯的“歸一化橫向傳輸常數(shù)”(或叫做歸一化橫向相位常數(shù))，W

稱為包層的“歸一化橫向傳輸常數(shù)”(或叫做歸一化橫向衰減常數(shù))，V稱為“歸一化頻率”

或“歸一化波導(dǎo)常數(shù)”。V是一個(gè)重要的綜合性參數(shù)，光纖的很多特性都與歸一化頻率有關(guān)，

下節(jié)將會(huì)具體講述。

在式(4-51)中，當(dāng)?shù)?k“一夕2>0時(shí),方程為機(jī)階貝塞爾方程。當(dāng)以=勺2"—夕2<0

時(shí)，方程為，〃階變態(tài)貝塞爾方程。

在纖芯中勺比較大，1=%2勺2一42>0,即在纖芯中的解為

R(r)=AJm(-r)+A'Nm(-r)(4-56)

aa

在包層中%比較小，4=%2裙_/2<0,即在包層中的解為

WW

R⑺=CK,“(一r)+C7W,(—r)(4.57)

aa

上面兩式中，J,“(°r)是機(jī)階貝第一類(lèi)塞爾函數(shù)，Nm(且r)是加階第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。

aa

4（2ur）和N,“（utr）都是振蕩函數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。/,“（w一，）是加階第一類(lèi)變態(tài)貝塞爾

aaa

W

函數(shù)，K“,（一r）是加階第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。這兩類(lèi)貝塞爾函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)。下面簡(jiǎn)要介

a

紹這四類(lèi)貝塞爾函數(shù)的特點(diǎn)：

圖4-40階、1階、2階、3階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)（J類(lèi)）

小宗量漸近式為

J°(X)2°>1

大宗量漸近式為

圖4-50階、1階、2階、3階第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)（N類(lèi)）

小宗量漸近式為

大宗量漸近式為

圖4-60階、1階、2階、3階第一類(lèi)變態(tài)貝塞爾函數(shù)（I類(lèi)）

小宗量漸近式為

圖4-70階、1階、2階、3階第二類(lèi)變態(tài)貝塞爾函數(shù)(K類(lèi))

小宗量漸近式為

X

K,”(X)qjJ(/八l)!(!J

大宗量漸近式為

K,"(X)X—>oo、&,X

兀X

綜上所述，小宗量情形時(shí)(X-0),J,“(X)取有限值，而N,“(X)發(fā)散。由于實(shí)際中纖

芯中的場(chǎng)強(qiáng)必須是有限值，光波在纖芯的橫截面上形成駐波，故決定了纖芯中應(yīng)該振蕩解,

所以，式(4-56)中應(yīng)該選取第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)J,”

在大宗量情形時(shí)(X-00),/?,(X)是隨X增大而單調(diào)遞增，K,,(X)是隨X的增加

而單調(diào)遞減。實(shí)際中包層中的場(chǎng)強(qiáng)不可能隨著半徑增大而遞增到無(wú)窮大，所以，式(4?57)中

應(yīng)選取第二類(lèi)變態(tài)貝塞爾函數(shù)K,」一廠o

于是纖芯和包層中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的縱向分量分別為

(4-58)

(4-59)

(4-60)

(4-61)

將式(4?58)、(4-59)代入式(4?36)、(4-37)、(4?38)、(4-39),可得纖芯中電場(chǎng)與磁場(chǎng)的

各橫向分量

1A&〃+Bj明~(4-62)

\目UJ[_a\aJr羋\a鄧…)

(4-63)

u

一A/—r(4-64)

r7a7

(4-65)

式中“J,J"1是/且j的一階導(dǎo)數(shù)。

a\aJ\a)

將式(4-60)、(4-61)代入式(4-36)、(4-37)、(4-38)、(4-39)可得纖芯中電場(chǎng)與磁場(chǎng)

的各橫向分量

%=/⑶C亨K，O2號(hào)弓4)卜i)(4-69)

式中—K：/電力是K,(—1的一階導(dǎo)數(shù)。

ayaJ\a7

4.3.4利用邊界條件求出波導(dǎo)方程(本征方程)

根據(jù)光波在光纖中傳導(dǎo)的邊界條件：纖芯與包層分界面上切向分量連續(xù)，在界面處(r=a)

四個(gè)切向分量連續(xù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4-70)

Ezi~匾

(4-71)

號(hào)二線2

HL%(4-72)

(4-73)

"以=42

將上述八個(gè)切向分量的表達(dá)式代入式(4-70)、(4-71)、(4-72)、(4-73),并在式中令r=a,

消去/(”一生)，則可建立如下四個(gè)方程：

(4-74)

紇分量AJm(U)-CKm(W)=0

4分量

(4-75)

Cj^Km(W)-D^^K'm(W)=0

(4-76)

七分量BJm(U)-DKm(W)=0

4分量

J停,嗎嗎,：（s+均%4（u）]+

'aaJ（4-77）

'M[。噌Km，"H口吟K,.（W）卜0

若上述方程中A、B、C、。存在非零解，則其系數(shù)矩陣滿足（設(shè)系數(shù)矩陣為M）：

det[A/]=O

具體表達(dá)式為

%u)0-K,“(W)0

今MS-加〃0，；,（。）-鬻'Km（W）一普K,；,(w)

=0(4-78)

0J<u）o-K,“(W)

汝巧？：,（u）-筌/.(U)優(yōu)K：,(w)

將上式展開(kāi)并化簡(jiǎn)后得

'I4(U)?IK：,(w)￡j"u)?/'(卬)、

八22

CO〃（）。(4-79)

[uJm(U)WKm(w))[ujm(u)WKin(W))

整理后利用下面的推導(dǎo)

￡"(U)?M")卜2J；“(U)?[JK")

蘇氏UJ,“(U)WK,"(W),WK,,,”)

U-皿2

k；%(S?K：“(W)始K：,(W)

應(yīng)

k；UJm(U)WK?SW)UJ,“(U)WK,“(W)

加(?+?)%1+\

后(>+羽)

j22

為*+畀基法擊H話+*q

式（4-79）可以寫(xiě)成如下形式:

癡1111XI1][1J'M)I1K；,(W)]1?K：,(W)、

2222

[uW)[n^UW)[uJm(U)WK,"(W)人WK,"(W))

(4-80)

(說(shuō)明：通過(guò)上面的變換進(jìn)而將特征方程寫(xiě)成式(4-80)的形式是為了更好的對(duì)下面的矢量

模進(jìn)行分析)。

為簡(jiǎn)便計(jì)算，記

j一%U)

(4-81)

UJ，U)

K:K,：(W)

(4.82)

WKm(W)

將式(4-81)、(4-82)代入式(4-80)得

["七_(dá)%+K=病\力+國(guó)+擊)383)

上述由系數(shù)矩陣行列式等于零所得到的方程稱作“條件方程”，即階躍光纖的“本征方程”,

夕、。、W是方程的本征值，也稱特征值，是在給定邊界條件下使該方程有解的某參數(shù)的

可能值。此方程決定了波導(dǎo)中的模式，以及與每個(gè)模式相聯(lián)系的￡、U、W的容許值。本

征方程可以獲得精確解。

由式(4-83)可以看出，本征方程得到的每一個(gè)解，即任何一個(gè)基波函數(shù)，都由相應(yīng)本

征值所決定。每個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的波函數(shù)，稱為“特征函數(shù)”，每個(gè)特征函數(shù)對(duì)應(yīng)于

光纖波導(dǎo)中的一種電磁場(chǎng)分布，這種分布即稱為“模式”或“?！?，即波導(dǎo)中存在的一個(gè)特

定的傳導(dǎo)模。關(guān)于模式的具體分析在下節(jié)詳述。

4.4矢量模的分析

4.4.1模式的引入

一、模式的概念

用波動(dòng)理論分析階躍光纖時(shí)，最重要也是最基本的概念就是模式。所謂“模式”是指在

求解光纖中的波動(dòng)方程時(shí)，對(duì)應(yīng)于能滿足所給定邊界條件(各本征傳輸常數(shù))的本征解所對(duì)

應(yīng)的電磁場(chǎng)分布狀態(tài)，而光纖中的場(chǎng)解則是各模式場(chǎng)的線性疊加。

模式反映了波導(dǎo)結(jié)構(gòu)固有的電磁共振屬性，從電磁波分布的角度而言，模式可以用光纖

橫截面和縱截面上的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述。對(duì)于給定的光纖波導(dǎo)，其中能夠存在的模式及其

性質(zhì)是確定的，外界激勵(lì)源只能激勵(lì)起光纖中允許存在的模式而不會(huì)改變模式固有的性質(zhì)。

嚴(yán)格的說(shuō)，波動(dòng)方程的每一個(gè)特解就是一種電磁波模式，而通解則包含了滿足方程的所有可

能解，稱為“多模”。

二、模式的分類(lèi)

在求解模式之前，我們首先給出模式的基本分類(lèi)，該分類(lèi)與后面求解的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)。

根據(jù)電磁場(chǎng)的縱向分量弓和“Z的存在與否，可將模式進(jìn)行如下分類(lèi)：

(1)橫電磁模(TEM模，即transverseelectromagneticmode)：Ez—Hz—()。

(2)橫電模(TE模,即transverseelectricmode)：Ez=0,Hz0))

(3)橫磁模(TM模，即transversemagneticmode)：Ez^0,Hz=0。

(4)混合模(又叫hybridmode,包括HE模和EH模)：E20,Hz中0。

事實(shí)上，光纖中存在的模式多為"E?；蛴赡＃袝r(shí)也會(huì)出現(xiàn)7E?；蛄?模(關(guān)

于這幾種模后面都詳細(xì)的定義和分析)，而模則是一種理想的模式，在光纖中不存在。

插曲：

光波或其它電磁波等從一點(diǎn)向各方面發(fā)散出去形成球面，如果這種波從無(wú)限遠(yuǎn)處傳來(lái)，所形成的

球面就可以看作是一個(gè)平面，在光波中光線和波面垂直，平面波的光線可以看作是平行的。在離點(diǎn)波

源較遠(yuǎn)處，沿波的傳播方向取一局部范圍來(lái)看，在這范圍內(nèi)的波面都是平行的，這樣的波可近似看成

平面波。如射到地面的太陽(yáng)光波可看成平面波。TE波,TM波，TEM波是屬于電磁波的三種模式。TE

波指電矢量方向與傳播方向垂直，或者說(shuō)傳播方向上沒(méi)有電矢量。TM波是指磁矢量方向與傳播方向垂直。

TEM波指電矢量方向與磁矢量方向都與傳播方向垂直。而HE波和EH波則是在光纖波導(dǎo)中所特有的概

念，它們的電矢量和磁矢量都不和傳播方向垂直，都在傳播方向上有分量。

對(duì)于波在光纖中到底存不存在的問(wèn)題，可以通過(guò)下面的方法進(jìn)行驗(yàn)證：因?yàn)檫@種

波在z方向上沒(méi)有分量，則結(jié)合式(4-13)至式(4-16)來(lái)看，只有使加=0才能滿足條

件。即有序〃￡—￡2=0,于是可以得到力=。掠。與此同時(shí)，式(4-18)和式(4-19)

則變成:

濟(jì)滑。

上面兩式即是E.和H.的橫向拉普拉斯方程，這表明導(dǎo)波系統(tǒng)中TEM波在橫截面上的場(chǎng)分

ZZ

量滿足拉普拉斯方程。因此其分布應(yīng)該與靜態(tài)場(chǎng)中相同邊界條件下的場(chǎng)分布相同。正是由于

這一點(diǎn)，我們斷定凡能維持二維靜態(tài)場(chǎng)的導(dǎo)波系統(tǒng)，都能傳輸TEN波。例如二線傳輸線、

同軸線等。也即為了傳輸血/波必須要有二個(gè)以上的導(dǎo)體。

空心金屬波導(dǎo)管內(nèi)部，由于不能維持二維靜態(tài)場(chǎng)，故不能傳輸汨0波。這是波導(dǎo)管中

電磁波顯著的特點(diǎn)之一。而光纖波導(dǎo)內(nèi)部則更無(wú)法維持靜態(tài)場(chǎng)，故光纖中也不能傳輸7EM

波。關(guān)于力波的詳細(xì)討論可參考《導(dǎo)波光學(xué)》一北京理工版。

由于電磁場(chǎng)模式的矢量解法過(guò)程繁瑣，所以對(duì)于大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用光纖都采用近似解。

對(duì)階躍型光纖，最常用的近似方法就是標(biāo)量近似法。對(duì)弱導(dǎo)光纖來(lái)說(shuō)，支持傳輸模式的縱向

場(chǎng)分量比橫向場(chǎng)分量要小得多，即|七|=|耳|、\Hz\=|",|，它們的比值很小，但又不等

于零，而且在弱導(dǎo)光纖中傳播的橫向電磁場(chǎng)的偏振狀態(tài)保持不變，這種形態(tài)的電磁波非常接

近橫電磁波(7EM),稱為準(zhǔn)電磁波(TEM).這種波的橫向電場(chǎng)和橫向磁場(chǎng)之比近似于介

質(zhì)的波阻抗，即

耳_I_Z()

瓦一寸工一丁

式中，下標(biāo)表示垂直于z方向的橫向，Z0=J風(fēng)是自由空間的波阻抗。由于其量綱

具有電阻的性質(zhì)故由此得名。

三、模式的特點(diǎn)

(1)疊加性：光波導(dǎo)中總的場(chǎng)分布是所有模式的線性疊加，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，

相當(dāng)于對(duì)光波導(dǎo)中的場(chǎng)進(jìn)行傅里葉展開(kāi)，展開(kāi)項(xiàng)就是各種模式。

(2)正交性：一個(gè)正規(guī)光波導(dǎo)的不同模式之間滿足正交關(guān)系，這是因?yàn)槟Ｊ绞乔蠼?/p>

光纖中波動(dòng)方程所得到的本征解，而正交性則是本征解的一個(gè)重要特征。

（3）有序性：模式可用波動(dòng)方程的一系列特征解表示，這些解是離散可排序的。排

序方法一般有兩種：一是以傳播常數(shù)月的大小排序，夕愈大序號(hào)愈小；二是以（團(tuán)，〃）

兩個(gè)自變量排序，可有兩列序號(hào)。

（4）穩(wěn)定性：一個(gè)模式沿縱向（沿z軸方向）傳輸時(shí)，在某種條件下其場(chǎng)分布形式可

以保持不變，這時(shí)稱該模式具有穩(wěn)定性。

四、射線和模式

鑒于前一章已經(jīng)用幾何光學(xué)方法或稱為射線追蹤方法對(duì)光的傳播特性進(jìn)行過(guò)研究,在分

析模式之前，先討論射線和模式之間的關(guān)系。在光纖的半徑與波長(zhǎng)之比很大時(shí)，由幾何光學(xué)

方法可以得到光纖導(dǎo)波特性很好的近似結(jié)果，這就是所謂的“短波長(zhǎng)極限”。盡管射線方法

僅在零波長(zhǎng)極限時(shí)才嚴(yán)格成立，但對(duì)于多模光纖這樣包含大量導(dǎo)波模式的非零波長(zhǎng)系統(tǒng)，射

線方法仍可以提供相當(dāng)精確的結(jié)果，而且是極有價(jià)值的。與嚴(yán)格的模式分析方法比較，射線