8.6.2直線與平面垂直(第2課時)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.2直線與平面垂直第2課時

直線與平面垂直的性質(zhì)

回顧與引入

我們前面研究了直線與平面垂直的定義和判定定理，在判定定理中給出了直線與平面垂直的充分條件，也就就直線，平面具有怎樣的位置關(guān)系時直線與平面才能垂直.

思考1：接下來首先請大家回顧一下直線與平面垂直的定義和判定定理：1.與平面垂直的定義:

一般地，如果直線

l

與平面

α

內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α垂足平面α

的垂線直線l的垂面

其中直線l

叫做平面α

的垂線，

平面α

叫做直線l

的垂面．

直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P

叫做垂足.2.直線與平面垂直的判定定理:

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．即簡述：nmlαP

思考2：請大家回顧一下直線與平面平行，平面與平面平行的性質(zhì)所研究的問題.類似地，你認(rèn)為直線與平面垂直的性質(zhì)所要研究的問題是什么？

以a?α為前提，研究a、α與空間中的其它直線、平面具有怎樣的關(guān)系，并且主要研究其中的平行和垂直情況。思考3：根據(jù)上一節(jié)課的知識，你首先想到的是什么？

若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于平面內(nèi)

的任意直線.即線面垂直的定義所反映出來的性質(zhì)：返回知識探究

問題1：明確了直線與平面垂直的性質(zhì)要研究的問題以后，大家對直線與平面垂直的性質(zhì)還有哪一些猜想？試類比于探究直線與平面平行性質(zhì)的思路和方法來探究一下？

問題1：明確了直線與平面垂直的性質(zhì)要研究的問題以后，大家對直線與平面垂直的性質(zhì)還有哪一些猜想？試類比于探究直線與平面平行性質(zhì)的思路和方法來探究一下？

問題2：在以上這些性質(zhì)中，哪一條最能體現(xiàn)直線與平面垂直關(guān)系的本質(zhì)特征？第2條.

因為在這條性質(zhì)中，反映了直線與平面的垂直關(guān)系與直線間的平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理1.內(nèi)容:垂直于同一個平面的兩條直線平行．即

思考(1)：這個定理體現(xiàn)了直線、平面位置關(guān)系上怎樣的聯(lián)系？它可以用來解決什么樣的問題？

這個定理揭示了“平行”和“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以由兩條直線與同一平面垂直來判定這兩條直線相互平行.2.作用:判定直線與直線平行思考(2)：你認(rèn)要直接證明這個定理存在哪一些困難？返回已知:a⊥α,b⊥α.求證:a//b求證：垂直于同一個平面的兩條直線平行證明：假設(shè)a與b不平行.記b∩α=O,過O作b′//a.則b,b′可確定平面

β.設(shè)β∩α＝c，則

a⊥c，b⊥c.∵

b′//a，由a⊥α,b⊥α得∴

b′⊥c.

這與“

在同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂垂直”矛盾．

即在平面

β

內(nèi)，過點O有兩條直線

b，b′與

c垂直

.

∴假設(shè)不成立，a//b.思考(3)：請你再總結(jié)一下反證法的一般過程？第1步，反設(shè).第2步，歸謬.第3步，否定假設(shè)，肯定原結(jié)論.假設(shè)結(jié)論不成立或結(jié)論的否定成立.利用假設(shè)推導(dǎo)出矛盾或錯誤結(jié)論.反證法的一般步驟返回例1.如圖，直線

l//α.求證：直線l上各點到平面α的距離相等.例析

思考(1):“直線l上各點到平面α的距離相等”可轉(zhuǎn)化為什么問題？

直線l上任意兩點到平面α的距離相等.

思考(2):

如何才能證明“直線l上任意兩點到平面α的距離相等”？

只需在直線l上任取兩點如A、B，過A、B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1，然后證明

AA1=BB1即可.思考(3):

如何才能證明“AA1=BB1”？由線面垂直的性質(zhì)定理易知AA1//BB1,又由題意知，AB//α,因此這個問題就轉(zhuǎn)化為我們前面所學(xué)的一個命題：“夾在一個平面和它的平行直線間的平行線段相等”.例1.如圖,直線

l//α.求證:直線l上各點到平面α的距離相等.

證明：

在直線l上任取兩點如A、B，過A、B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1.

由線面垂直的性質(zhì)定理得AA1//BB1.

設(shè)AA1和BB1確定的平面為β，則α∩β＝A1B1∵直線

A，B為直線l任意的兩點，∴直線

l上各點到平面α的距離相等．

思考(4):由此你能想到如何定義直線到平面的距離嗎？平面到平面的距離呢？直線到平面的距離

如果一條直線與一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離都相等，我們把這個距離叫做這條直線到這個平面的距離.平面到平面的距離

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.平面到平面的距離點到平面的距離直線到平面的距離

思考(5):直線到平面的距離嗎，平面到平面的距離，點到平面的距離可以怎樣轉(zhuǎn)化？

思考(6):在柱體，臺體中，哪個量反映兩個平行平面間的距離？柱體，臺體的高.例析練習(xí)3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F(xiàn)是EB

的中點．求證：DF∥平面ABC．課堂小結(jié)1.直線與平面垂直的性質(zhì)要研究的問題是什么？我們是如何想到的？2.直線與與平面垂直的性質(zhì)定理是怎樣的？為什么我們要把這個性質(zhì)作為性質(zhì)定理？3.本節(jié)課中，我們又用到了反證法，你能總結(jié)一下反證法的思路嗎？其中要注意什么？如何構(gòu)建矛盾？4.在證明或求解一個用文字語言表述的命題或問題時大致的步驟是怎樣的？

第一步，根據(jù)題意作出圖形，并標(biāo)注出已知條件；

第二步，寫出“已知”，“求證”等，將條件和結(jié)論明確、簡潔