黑龍江省大慶市四中2023-2024學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

黑龍江省大慶市四中2023-2024學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線：（，）的焦距為.點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．32．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A． B． C． D．4．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，某同學(xué)通過(guò)下面的隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)的值：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對(duì)，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，再統(tǒng)計(jì)，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)來(lái)估計(jì)的值.若，則的估計(jì)值為（）A． B． C． D．6．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．7．設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（）（注：）A．1624 B．1024 C．1198 D．15609．某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．11．已知定點(diǎn)都在平面內(nèi)，定點(diǎn)是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，且，那么動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．雙曲線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．拋物線，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)12．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于____________．14．已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________15．已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，，則_______.16．如圖，己知半圓的直徑，點(diǎn)是弦（包含端點(diǎn)，）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的定義域和值域.19．（12分）已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且面面，分別為線段的中點(diǎn).為線段上的點(diǎn)，且.（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).21．（12分）如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）若，求證：⊥；（2）若二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)．22．（10分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由點(diǎn)到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點(diǎn)到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．2、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．3、C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋遥?，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，然后再利用隨機(jī)模擬方法得到，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的概率，二者概率相等即可估計(jì)出.【詳解】因?yàn)?，都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，所以有，，若，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)，則，由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一個(gè)中檔題.6、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.7、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱．

∵當(dāng)x≥1時(shí)，為減函數(shù)，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C8、B【解析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得.【詳解】依題意：1，4，8，14，23，36，54，……兩兩作差得：3，4，6，9，13，18，……兩兩作差得：1，2，3，4，5，……設(shè)該數(shù)列為，令，設(shè)的前項(xiàng)和為，又令，設(shè)的前項(xiàng)和為.易，，進(jìn)而得，所以，則，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的，所以是正確的；在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為，所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)差法得，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點(diǎn)為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.11、A【解析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.12、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.14、【解析】

，可得在時(shí)，最小值為，時(shí)，要使得最小值為，則對(duì)稱軸在1的右邊，且，求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，要想在處取最小，則對(duì)稱軸要滿足并且，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論，找到每段的最小值，然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.15、1【解析】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，又，所以，所以．故答案為1．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量，，，，中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來(lái)求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.16、1【解析】

建系，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，則，根據(jù)的范圍得出答案．【詳解】解：以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，設(shè)，則，，，，，，，顯然當(dāng)取得最大值4時(shí)，取得最小值1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】

（1）在直角梯形中，根據(jù)，，得為等邊三角形，再由余弦定理求得，滿足，得到，再根據(jù)平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系：假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，求得平面的一個(gè)法向量，再利用線面角公式求解.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點(diǎn)使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椤窘馕觥?/p>

（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值，再代入中即可得到結(jié)果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因?yàn)槭堑诙笙藿?，且，所?所以，所以.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?化簡(jiǎn)，得，因?yàn)?，且，，所以，所?所以函數(shù)的值域?yàn)?（注：或許有人會(huì)認(rèn)為“因?yàn)椋浴保鋵?shí)不然，因?yàn)?）【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問(wèn)題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于?？碱}型.19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，先證明，可證得，假設(shè)不為線段的中點(diǎn)，可得平面，這與矛盾，即得證；（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié).∴，，又平面，平面，∴.又分別為中點(diǎn)，，又，∴.假設(shè)不為線段的中點(diǎn)，則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線，從而平面，這與矛盾，所以為線段的中點(diǎn).（2）以為原點(diǎn)，由條件面面，∴，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為所以取，則，.同法可求得平面的法向量為∴，由圖知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方