2022-2023學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：哈密頓正則方程

哈密頓正則方程質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩則因?yàn)閷?duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)x,y,z的廣義力Fx,Fy,Fz與勢(shì)能函數(shù)V有如下關(guān)系:用泊松括號(hào)表示的正則方程2這樣同理可得如果有勢(shì)力為有心力，并令坐標(biāo)原點(diǎn)取在力心，則因此由泊松括號(hào)性質(zhì)1可得為正則方程的首次積分，即質(zhì)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中Lx、Ly,、Lz都保持恒量，這實(shí)際上就是熟知的質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)力心的動(dòng)量矩在三個(gè)直角坐標(biāo)軸方向分別守恒。用泊松括號(hào)表示的正則方程3泊松定理（雅可比-泊松定理）定理：已知函數(shù)：

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和函數(shù)ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正則方程的首次積分，則函數(shù)(

,ψ)=C3也是它的首次積分。(

,ψ)為函數(shù)

及ψ所構(gòu)成的泊松括號(hào)。證明：已知

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正則方程的首次積分，因此則4由泊松括號(hào)性質(zhì)(10)，函數(shù)H,

,ψ構(gòu)成泊松恒等式：可得則即可推得即則也是正則方程的首次積分泊松定理（雅可比-泊松定理）5泊松定理的說(shuō)明若系統(tǒng)存在能量積分H=h，且已知另一首次積分

(qj,pj,t)=C，則由泊松定理可得(

,H)=C1也是正則方程的首次積分因此，

(qj,pj,t)=C，則即上式說(shuō)明，若系統(tǒng)存在能量積分，則正則方程的首次積分對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)亦是其首次積分；推廣下去，函數(shù)，，…也都是首次積分。泊松定理（雅可比-泊松定理）6應(yīng)用泊松定理求首次積分的說(shuō)明根據(jù)定理，似乎只要已知正則方程的兩個(gè)首次積分，便可連續(xù)應(yīng)用泊松定理求出正則方程的全部首次積分，但事實(shí)并非如此。因?yàn)橛眠@樣的方法得到的首次積分常常為原積分的線性組合或恒等式，不是獨(dú)立的，因此，不能由它再求出新的積分。內(nèi)旋積分系的概念設(shè)f1,f2,…,fs

是正則變量qj，pj的函數(shù)，且是正則方程的一組首次積分。若(fν,fμ)=0(ν,μ=1,2,…,s)則不能由這組首次積分得到新的首次積分，這組積分為內(nèi)旋積分系。例如，不受力作用的自由質(zhì)點(diǎn)，它的能量積分和三個(gè)動(dòng)量積分成為內(nèi)旋積分系。泊松定理（雅可比-泊松定理）7例5質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，受有心力的作用，如取力心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)Ox及Oy軸的動(dòng)量矩守恒，試用泊松定理證明質(zhì)點(diǎn)M對(duì)Oz軸的動(dòng)量矩Lz=常數(shù)，即守恒。解：取質(zhì)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)x,y,z為廣義坐標(biāo)，按質(zhì)點(diǎn)對(duì)Ox及Oy軸的動(dòng)量矩守恒條件，得到它的正則方程的兩個(gè)首次積分Lx,Ly均為正則方程的首次積分。根據(jù)泊松定理(Lx,Ly)=C也為首次積分，即泊松定理（雅可比-泊松定理）8故對(duì)Oz軸的動(dòng)量距守恒，即Lz

=C泊松定理（雅可比-泊松定理）9則變量r及其偏導(dǎo)數(shù)可以從方程中分離出來(lái)，于是有:此時(shí)，可設(shè)解的形式為得10可積分得因此，該系統(tǒng)的Hamilton-Jacobi方程的全積分為:11由于Hamilton函數(shù)H中不顯含時(shí)間t，在這種情況下存在能量積分，所以即*由于H函數(shù)中不