2022-2023學年高二物理競賽課件：哈密頓正則方程

哈密頓正則方程質點的動量矩則因為對應于廣義坐標x,y,z的廣義力Fx,Fy,Fz與勢能函數(shù)V有如下關系:用泊松括號表示的正則方程2這樣同理可得如果有勢力為有心力，并令坐標原點取在力心，則因此由泊松括號性質1可得為正則方程的首次積分，即質點M在運動過程中Lx、Ly,、Lz都保持恒量，這實際上就是熟知的質點在有心力作用下運動時，對力心的動量矩在三個直角坐標軸方向分別守恒。用泊松括號表示的正則方程3泊松定理（雅可比-泊松定理）定理：已知函數(shù)：

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和函數(shù)ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正則方程的首次積分，則函數(shù)(

,ψ)=C3也是它的首次積分。(

,ψ)為函數(shù)

及ψ所構成的泊松括號。證明：已知

(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C1和ψ(q1,q2,…,qk,p1,p2,…,pk,t)=C2是正則方程的首次積分，因此則4由泊松括號性質(10)，函數(shù)H,

,ψ構成泊松恒等式：可得則即可推得即則也是正則方程的首次積分泊松定理（雅可比-泊松定理）5泊松定理的說明若系統(tǒng)存在能量積分H=h，且已知另一首次積分

(qj,pj,t)=C，則由泊松定理可得(

,H)=C1也是正則方程的首次積分因此，

(qj,pj,t)=C，則即上式說明，若系統(tǒng)存在能量積分，則正則方程的首次積分對時間的導數(shù)亦是其首次積分；推廣下去，函數(shù)，，…也都是首次積分。泊松定理（雅可比-泊松定理）6應用泊松定理求首次積分的說明根據(jù)定理，似乎只要已知正則方程的兩個首次積分，便可連續(xù)應用泊松定理求出正則方程的全部首次積分，但事實并非如此。因為用這樣的方法得到的首次積分常常為原積分的線性組合或恒等式，不是獨立的，因此，不能由它再求出新的積分。內旋積分系的概念設f1,f2,…,fs

是正則變量qj，pj的函數(shù)，且是正則方程的一組首次積分。若(fν,fμ)=0(ν,μ=1,2,…,s)則不能由這組首次積分得到新的首次積分，這組積分為內旋積分系。例如，不受力作用的自由質點，它的能量積分和三個動量積分成為內旋積分系。泊松定理（雅可比-泊松定理）7例5質量為m的質點M，受有心力的作用，如取力心為坐標原點O，則質點運動時對Ox及Oy軸的動量矩守恒，試用泊松定理證明質點M對Oz軸的動量矩Lz=常數(shù)，即守恒。解：取質點M的直角坐標x,y,z為廣義坐標，按質點對Ox及Oy軸的動量矩守恒條件，得到它的正則方程的兩個首次積分Lx,Ly均為正則方程的首次積分。根據(jù)泊松定理(Lx,Ly)=C也為首次積分，即泊松定理（雅可比-泊松定理）8故對Oz軸的動量距守恒，即Lz

=C泊松定理（雅可比-泊松定理）9則變量r及其偏導數(shù)可以從方程中分離出來，于是有:此時，可設解的形式為得10可積分得因此，該系統(tǒng)的Hamilton-Jacobi方程的全積分為:11由于Hamilton函數(shù)H中不顯含時間t，在這種情況下存在能量積分，所以即*由于H函數(shù)中不