河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

武強(qiáng)中學(xué)20232024學(xué)年度下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷高二出題人：郝敬先一、單選題（每小題5分）1．某話劇有5名女演員和2名男演員，演出結(jié)束后，全體演員站成一排登臺(tái)謝幕，若2名男演員不相鄰，則不同的排法有（

）A．3600種 B．2400種 C．360種 D．240種2．現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的10名特種兵中選出4人去參加搶險(xiǎn)，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為（

）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，若，（

）A． B． C． D．4．將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．10 D．155．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次正面向上的數(shù)字為，第二次正面向上的數(shù)字為，記事件“為偶數(shù)”，事件“”，則（

）A．B． C． D．6．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0123Pa若離散型隨機(jī)變量，則（

）．A． B． C． D．7．若展開式的常數(shù)項(xiàng)等于，則（

）A． B． C．2 D．38．設(shè)集合，，那么集合中滿足的元素的個(gè)數(shù)為（

）A．60 B．100 C．120 D．130二、多選題（每小題6分，部分選對(duì)得部分分）9．若隨機(jī)變量，下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．期望C．期望 D．方差10．下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．11．在二項(xiàng)式的展開式中，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．常數(shù)項(xiàng)是 B．各項(xiàng)系數(shù)和是64C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是32三、填空題（每小題5分）12．若，則的值為.13．2023年冬天我國(guó)多地爆發(fā)流感，已知在三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，則這個(gè)人患流感的概率為.14．甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)下車，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車，從同一公交站點(diǎn)下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是．四、解答題15．（13分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為．(1)求常數(shù)a的值；(2)求和．16．（15分）已知.求：(1)；(2)；(3).17．（15分）某學(xué)校派出6名同學(xué)參加省教育廳主辦的理科知識(shí)競(jìng)賽，分為數(shù)學(xué)競(jìng)賽，物理競(jìng)賽和化學(xué)競(jìng)賽，該校每名同學(xué)只能參加其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽，且每個(gè)學(xué)科至少有一名學(xué)生參加．(1)求該校派出的6名學(xué)生總共有多少種不同的參賽方案？(2)若甲同學(xué)主攻數(shù)學(xué)方向，必須選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽，乙同學(xué)主攻物理方向，必須選擇物理競(jìng)賽，則這6名學(xué)生一共有多少種不同的參賽方案？18．（17分）中醫(yī)藥學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)的瑰寶，也是打開中華文明寶庫(kù)的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對(duì)中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機(jī)向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問(wèn)卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績(jī)?cè)趦?nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度低，成績(jī)?cè)趦?nèi)代表對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高.(1)從這100位市民中隨機(jī)抽取1人，求抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機(jī)抽取3人，記為對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.19．（17分）某袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為X．(1)寫出X的分布列，并求出和的值；(2)若取出一個(gè)白球得一分，取出一個(gè)黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．參考答案：1．A【分析】利用插空法，先排女演員，再讓男演員插空排列.【詳解】先將5名女演員排成一排，再將2名男演員插空進(jìn)去，共有種排法．故選：A.2．A【分析】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”，然后使用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】記分別表示“甲被選中”和“乙被選中”.由于一共有10名特種兵，而要從中選出4名，故.而從10名特種兵選出4名時(shí)，如果甲和乙被選中，則剩余2個(gè)被選中的人可從甲和乙之外的8名特種兵中任意選擇2名，故選取方式有種，從而.故，A正確.故選：A.3．C【分析】計(jì)算，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，.故選：C4．B【分析】對(duì)每個(gè)盒子放入2個(gè)球，再看余下2個(gè)球的去向即可得解.【詳解】依題意，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有種方法，放入兩個(gè)盒子有種方法，所以不同放法的種數(shù)為.故選：B5．D【分析】分別列舉出事件、事件、事件的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率公式求解即可.【詳解】由題意知，事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個(gè)，事件包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有25個(gè)，則事件與事件同時(shí)發(fā)生的基本事件有，，，，，，，，，，，共11個(gè)，所以.故選：D.6．A【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出a，再根據(jù)隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知：解得，由，等價(jià)于，由表可知；故選：A.7．C【分析】先求出展開式中的系數(shù)，再乘以得展開式的常數(shù)項(xiàng)，解方程即可求解得答案.【詳解】解：展開式的通項(xiàng)公式為：，所以當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)為：，的展開式無(wú)常數(shù)項(xiàng)，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為：，解得：故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的求解，是中檔題.8．D【分析】明確集合中滿足的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，即可求得答案.【詳解】由題意知集合中滿足的元素的個(gè)數(shù)，即指中取值為1或1的個(gè)數(shù)和為1或2或3，故滿足條件的元素的個(gè)數(shù)為（個(gè)），故選：D9．AC【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望公式可判斷B選項(xiàng)；利用期望的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，則，，，由期望的性質(zhì)可得，由方差的性質(zhì)可得，AC對(duì)，BD錯(cuò).故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式驗(yàn)證．【詳解】對(duì)于A，，，A錯(cuò)；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，∴，D正確．故選：BCD．11．ACD【分析】寫出展開式的通項(xiàng)公式，判斷A，C項(xiàng)的正誤，通過(guò)賦值，判斷B，D兩項(xiàng)正誤.【詳解】通項(xiàng)公式，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為，所以A正確；令，已知各項(xiàng)系數(shù)和是，所以B錯(cuò)誤；第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以C正確；奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以D正確．故選：ACD．12．20【分析】通過(guò)已知得出的值，即可利用公式計(jì)算得出答案.【詳解】，，即，，，故答案為：20.13．/【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式和全概率公式結(jié)合題意求解即可.【詳解】設(shè)事件為“這個(gè)人患流感”，事件分別表示這個(gè)人選自三個(gè)地區(qū)，則由已知得，，所以由全概率公式得,故答案為：14．120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車和3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另人在另外一公交站點(diǎn)下車，兩種情況討論即可，【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車，共有種，3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另1人在另外一公交站點(diǎn)下車，共有種，故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是種.故答案為：120.15．(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)概率之和為1列出方程，求出a的值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出和的值.【詳解】（1）由題意得，解得.（2）由（1）知，，可得，16．(1)256(2)32896(3)65536【分析】（1）令即可得結(jié)果；（2）令，結(jié)合（1）中結(jié)果運(yùn)算求解；（3）根據(jù)二項(xiàng)展開式分析可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；結(jié)合（2）中結(jié)果分析求解.【詳解】（1）令，可得.（2）令，可得，則，所以.（3）因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，即，可知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；所以.17．(1)540種；(2)65種.【分析】（1）對(duì)參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分三種情況討論，先分組、再分配求出各組情況的方案數(shù)，最后相加；（2）對(duì)選擇化學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)分四種情況討論，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】（1）若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，1，4時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為1，2，3時(shí)，共有種參賽方案；若參加三個(gè)學(xué)科的人數(shù)分別為2，2，2時(shí)，共有種參賽方案；該校派出的6名學(xué)生總共有種不同的參賽方案．（2）若有4人選擇化學(xué)競(jìng)賽，則有1種參賽方案；若有3人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的一人有2種選法，則有種參賽方案；若有2人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的兩人各有2種選法，則有種參賽方案；若有1人選擇化學(xué)競(jìng)賽，余下的三人各有2種選法，則有種參賽方案；所以總共有種不同的參賽方案．18．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由表格得出成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，計(jì)算頻率，即可得出答案；（2）由表格得出41歲~50歲年齡段中，成績(jī)?cè)趦?nèi)以及內(nèi)的人數(shù)，求出概率，進(jìn)而得出，然后列出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）由表格可知，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，所以，抽到對(duì)中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.（2）根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為，成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為