第7章 銳角三角函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

第7章銳角三角函數(shù)（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·江蘇·洪澤新區(qū)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，則tanB等于（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，各邊都擴(kuò)大5倍，則銳角A的正切函數(shù)值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定3．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)期末）如圖，在4×4的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．34．（2022·江蘇·靖江市濱江學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C為網(wǎng)格交點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇·無(wú)錫市錢橋中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，則BC的長(zhǎng)為（

）A．6 B．7.5 C．8 D．12.56．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知一個(gè)不等臂蹺蹺板AB長(zhǎng)3米，支撐柱OH垂直地面，當(dāng)AB的一端A著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，如圖1；當(dāng)AB的另一端B著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，如圖2，則支撐柱OH的高為（）米．A．0.4 B．0.5 C． D．0.67．（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）的值為（

）A． B． C． D．8．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）．A． B．C． D．9．（2022·江蘇鹽城·九年級(jí)期末）在中，，，，則的（

）A．3 B．4 C．6 D．810．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)期末）在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB=，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．11．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期中）小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB為20米，則斜坡AB的坡度為（

）A．30° B． C． D．二、填空題12．（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）在中，，是斜邊上的中線，，，則的值是______．13．（2022·江蘇·靖江市濱江學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如果是銳角，且，那么的值是_____．14．（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）已知是銳角，，則=______°．15．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期末）比較大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．16．（2022·江蘇·洪澤新區(qū)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若一斜坡的坡角為60°，則它的坡度________三、解答題17．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在中，求的值．18．（2022·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)益民路分校九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：．19．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：4°．20．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，，分別是，，的對(duì)邊．(1)已知，，求；(2)已知，，求．21．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心九年級(jí)階段練習(xí)）如圖要測(cè)量古塔的高度，在塔前平地上點(diǎn)、處觀測(cè)塔尖，仰角分別為和，、之間的距離為21m，求古塔的高度．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，）【典型】一、單選題1．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．二、填空題2．（2022·江蘇南通·九年級(jí)期末）如圖，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，_．三、解答題3．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平平臺(tái)DE構(gòu)成．已知天橋高度BC≈4.8米，引橋水平跨度AC=8米．（1）求水平平臺(tái)DE的長(zhǎng)度；（2）若與地面垂直的平臺(tái)立枉MN的高度為3米，求兩段樓梯AD與BE的長(zhǎng)度之比．（參考：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）4．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過(guò)，沿河兩岸的濱河路風(fēng)情線是蘭州最美的景觀之一．?dāng)?shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小林在南濱河路上的A，B兩點(diǎn)處，利用測(cè)角儀分別對(duì)北岸的一觀景亭D進(jìn)行了測(cè)量．如圖，測(cè)得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求觀景亭D到南濱河路AC的距離約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）5．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸，交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是BO的中點(diǎn)且（1）求直線AC的解析式；（2）若點(diǎn)M是直線AC的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).6．（2021·江蘇鹽城·一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖①，連接，點(diǎn)在拋物線上，且滿足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，點(diǎn)為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，直線、分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)、．請(qǐng)問(wèn)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，和，請(qǐng)按下列要求畫圖并填空．（1）平移線段，使點(diǎn)平移到點(diǎn)，畫出平移后所得的線段，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為______；（2）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段，并直接寫出的值為______；（3）在軸上找出點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為______．8．（2022·江蘇徐州·一模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，且，求的正切值；(3)若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)一模）如圖，在Rt中，，是的平分線，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，連接，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【易錯(cuò)】一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是角平分線AD、BE的交點(diǎn)，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．二．填空題（共4小題）2．（2022春?泰興市校級(jí)月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C對(duì)邊，若3a＝4b，則sinB的值是．3．（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）已知sinθ＝，則銳角θ＝．4．（2022?寶應(yīng)縣一模）如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行．請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算回答，電梯最大通行高度BC為m．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）5．（2022?泗陽(yáng)縣一模）在銳角△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，∠C＝α．則cosα＝．三．解答題（共13小題）6．（2022?宜興市校級(jí)二模）計(jì)算：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0．（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．7．（1）計(jì)算：﹣|﹣|+（﹣2）﹣1﹣3tan45°；（2）化簡(jiǎn)：（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）．8．（2022?洪澤區(qū)一模）如圖，一條河的兩岸平行，小剛在A點(diǎn)處觀測(cè)河對(duì)岸C點(diǎn)的一棵樹，測(cè)得∠CAE＝60°；他沿河岸走了30米到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)觀測(cè)河對(duì)岸D點(diǎn)的另一棵樹，測(cè)得∠DBE＝45°，已知河寬50米，求兩棵樹之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）9．（2022?如皋市一模）人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B，C是折疊梯的兩個(gè)著地點(diǎn)，D是折疊梯最高級(jí)踏板的固定點(diǎn)．圖2是它的示意圖，已知AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝42°，求點(diǎn)D離地面的高DE．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.61）10．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．（2022?泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過(guò)平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)．如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB＝118°，廠房高AB＝8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）12．（2022?高新區(qū)二模）圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過(guò)時(shí)智能閘機(jī)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過(guò)．圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的截面圖，扇形BAC和EDF是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對(duì)稱，BC和EF均垂直于地面，閘機(jī)通道的寬度（即BC與EF之間的距離）是66.4cm，半徑BA＝ED＝60cm，點(diǎn)A與點(diǎn)D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm．（1）求閘機(jī)的“兩圓弧翼扇形”展開最大時(shí)的圓心角的度數(shù)（即∠ABC或∠DEF的度數(shù)）；參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65（2）經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍，300人的團(tuán)隊(duì)通過(guò)一個(gè)智能閘機(jī)口比通過(guò)一個(gè)人工檢票口可節(jié)約5分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過(guò)的人數(shù)和一個(gè)人工撿票口平均每分鐘檢票人數(shù)．13．（2022?玄武區(qū)一模）如圖①，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖②是該款設(shè)備放置在水平桌面l上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，測(cè)量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求攝像頭到桌面l的距離DE的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）14．（2022?天寧區(qū)模擬）常州市某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無(wú)人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行25米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的垂直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上．其中tanα＝2，MC＝米．（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）15．（2022?邳州市一模）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC＝10cm，AB＝20cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，求點(diǎn)C到AE的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，）16．（2022?高郵市模擬）如圖1，某商場(chǎng)門口放置一臺(tái)可伸縮的測(cè)溫儀，底座AB與地面垂直，底座高AB＝30cm，連桿BC＝CD＝80cm，BC、CD與AB始終在同一平面內(nèi)．（1）如圖2，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿CD使∠BCD成平角，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC使∠ABC＝145°，求連桿CD的端點(diǎn)D離地面的高度DE．（2）如圖3，將圖2中的連桿BC固定，把連桿CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，此時(shí)連桿端點(diǎn)D離地面l的高度減小了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）17．（2022?宿豫區(qū)二模）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)學(xué)生測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為26.1cm（即MP的長(zhǎng)度），∠ABM＝113.6°．（1）求槍身BA的長(zhǎng)度；（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3cm～5cm．在圖2中，若測(cè)得∠BMN＝68.6°，學(xué)生與測(cè)溫員之間距離為50cm．問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)A與學(xué)生額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說(shuō)明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（參考數(shù)據(jù)sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）18．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，一條寬為0.5km的河的兩岸PQ，MN互相平行，河上有兩座垂直于河岸的橋CD，EF．測(cè)得公路AC的長(zhǎng)為6km，公路AC，AE與河岸PQ的夾角分別為45°，71.6°，公路BD，BF與河岸MN的夾角分別為60°，30°．（1）求兩座橋CD，EF之間的距離（精確到0.1km）；（2）比較路徑①：A﹣C﹣D﹣B和路徑②：A﹣E﹣F﹣B的長(zhǎng)短，則較短路徑為（填序號(hào)），兩路徑相差km（精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）【壓軸】一、填空題1．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是___________．2．（2022·江蘇·鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)益民路分校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，它是一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB=4，AC=2，現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在x軸上由點(diǎn)O開始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖3），并且保持點(diǎn)O在⊙G上，當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束、在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是_____．二、解答題3．（2022·江蘇·建湖縣匯杰初級(jí)中學(xué)三模）小華同學(xué)利用折紙?zhí)骄繄D形折疊過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理，點(diǎn)為矩形紙片邊上一點(diǎn)，小華將沿著折疊至，已知，請(qǐng)你幫助小華解決下列問(wèn)題：操作與實(shí)踐：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與交于點(diǎn)，求的面積．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；拓展與延伸：線段、射線分別與線段交于點(diǎn)，小華在折疊的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的形狀隨著長(zhǎng)度的變化而變化，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．4．（2022·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，已知⊙M與坐標(biāo)軸分別交于，，，D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l與y軸交于點(diǎn)．(1)①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為；(2)當(dāng)直線l與⊙M相切時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q為直線l（除點(diǎn)A外）上的動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出滿足條件的Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．5．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問(wèn)題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接，判斷與是否相等，并說(shuō)明理由；(3)如圖（2），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說(shuō)明理由；(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)時(shí)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．6．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q同時(shí)停止，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求t的值；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在P、Q兩點(diǎn)，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2022·江蘇·鹽城市鹿