第12講等邊三角形（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（滬教版）（解析版）

第12講等邊三角形（核心考點(diǎn)講與練）一．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．二．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．一．七巧板（共1小題）1．（2019秋?奉賢區(qū)期中）七巧板是我們民間流傳最廣的一種古典智力玩具，由正方形分割而成（如圖），圖中6號(hào)部分的面積是正方形面積的（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：6號(hào)部分的平行四邊形是由兩個(gè)小等腰直角三角形構(gòu)成，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：＝＝2，所以小等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為＝，面積為××＝，所以6號(hào)部分的平行四邊形的面積是×2＝，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為4，所以圖中6號(hào)部分的面積是正方形面積的＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了七巧板，正方形的性質(zhì)．能夠正確的識(shí)別圖形，明確6號(hào)部分的平行四邊形是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成是解題的關(guān)鍵．二．等邊三角形的性質(zhì)（共6小題）2．（2020秋?上海期末）若把一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的等邊△ABC向右平移a厘米，則平移后所得三角形的周長(zhǎng)為6厘米．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)槠揭浦桓淖儓D形方向和距離，不改變圖形的大小，所以平移后所得三角形的周長(zhǎng)為2×3＝6（厘米）．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．3．（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線m、n上測(cè)得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度數(shù)是40°．【分析】過(guò)A點(diǎn)作AP∥m，如圖，則n∥AP，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PAE＝20°，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝60°，所以∠BAP＝40°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF的度數(shù)．【解答】解：過(guò)A點(diǎn)作AP∥m，如圖，∵m∥n，∴n∥AP，∴∠PAE＝∠AEG＝20°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣20°＝40°，∵PA∥m，∴∠ADF＝∠BAP＝40°．故答案為40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，作PA∥m是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了平行線的性質(zhì)．4．（2020秋?靜安區(qū)期末）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)是1的等邊三角形ABC，將它沿直線l作順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，求滾動(dòng)100次，B點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程（結(jié)果保留π）．【分析】根據(jù)圖形得出三角形每滾動(dòng)三次為一個(gè)循環(huán)，先求解三次滾動(dòng)后頂點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路程，再求解即可．【解答】解：由題意得：三角形每滾動(dòng)三次為一個(gè)循環(huán)，∴100÷3＝33…1，而第一次滾動(dòng)B后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為，第二次滾動(dòng)B后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為，第三次滾動(dòng)B后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為，∴第100次滾動(dòng)B后點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為33×+＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式、軌跡等知識(shí)點(diǎn)，能正確運(yùn)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．5．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知直線l1∥l2，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線l1、l2上，如果邊AB與直線l1的夾角∠1＝26°，那么邊BC與直線l2的夾角∠2＝34度．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠BCA＝60°，再由平行線的性質(zhì)得∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，則∠1+∠2＝60°，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，∵直線l1∥l2，∴∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠1＝26°，∴∠2＝60°﹣26°＝34°，故答案為：34．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，證出∠1+∠2＝60°是解題的關(guān)鍵．6．（2020秋?上海期末）邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形的面積是9cm2．【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得D為BC的中點(diǎn)，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根據(jù)勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，即可求三角形ABC的面積，即可解題．【解答】解：如圖，等邊三角形高線即中線，故D為BC中點(diǎn)，∵AB＝6cm，∴BD＝3cm，∴AD＝＝3，∴等邊△ABC的面積＝BC?AD＝×6×3＝9（cm2）．故答案為：9cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算AD的值是解題的關(guān)鍵．7．（2021春?楊浦區(qū)期末）甲、乙兩人沿邊長(zhǎng)為60米的等邊三角形ABC的邊按A→B→C→A的方向行走，甲每分鐘走65米，乙每分鐘走50米，設(shè)甲在頂點(diǎn)A時(shí)，乙在頂點(diǎn)C，幾分鐘后甲、乙兩人可第一次行走在同一條邊上？（不含甲、乙兩人在三角形相鄰頂點(diǎn)時(shí)的情形）【分析】把甲和乙經(jīng)過(guò)的路徑排成一條直線，因?yàn)榧自诤竺?，且甲的速度快，所以甲剛好到一邊時(shí)，乙還沒(méi)有出去到另一條線，列出甲和乙路程與時(shí)間的式子，求出時(shí)間即可．【解答】解：把甲和乙經(jīng)過(guò)的路徑排成一條直線，即ABCABCABC.....．設(shè)t分鐘時(shí)甲乙在同一條邊上，則有甲在頂點(diǎn)，乙在甲后面的邊上，∴65t＝60k（k是正整數(shù)），且60k＜50t+120＜60（k+1），∴，∴取k＝5，∴t＝＝，∴分鐘時(shí)甲、乙兩人可第一次行走在同一條邊上．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查路程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是要考慮清楚甲乙同線時(shí)甲剛好在頂點(diǎn)．三．等邊三角形的判定（共3小題）8．（2021春?閔行區(qū)期末）在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形狀為等邊三角形．【分析】可利用等腰三角形的判定，說(shuō)明三角形的三條邊都相等，亦可利用等腰三角形的性質(zhì)，說(shuō)明該三角形的三個(gè)角都相等．【解答】解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C，∴BA＝BC．又∵AB＝AC，AB＝AC＝BC．所以△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．（法二）在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C．所以△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．9．（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件使得△ABC成為等邊三角形，這個(gè)條件可以是∠A＝60°（只要寫出一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得答案．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，再添加∠A＝60°可得△ABC是等邊三角形，故答案為：∠A＝60°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法：（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．10．（2019春?虹口區(qū)期末）說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因?yàn)镈F平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠ADC．角平分線意義因?yàn)椤螩DA＝120°（已知）所以∠FDC＝60°．因?yàn)镈F∥BE（已知）所以∠FDC＝∠BEC．（兩直線平行，同位角相等）所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，進(jìn)而得出△BEC為等邊三角形．【解答】解：因?yàn)镈F平分∠CDA，（已知）所以∠FDC＝∠ADC．（角平分線意義）因?yàn)椤螩DA＝120°，（已知），所以∠FDC＝60°．因?yàn)镈F∥BE，（已知），所以∠FDC＝∠BEC．（兩直線平行，同位角相等），所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知），所以△BCE為等邊三角形．（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）故答案為：ADC；角平分線意義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠FDC＝∠BEC是解題關(guān)鍵．四．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）11．（2020春?寶山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、CA上，△DEF是等邊三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等邊三角形嗎？試說(shuō)明理由．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，根據(jù)平角的定義得到∠ADF＝∠BED＝∠CFE，由三角形的內(nèi)角和得到∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE，于是得到結(jié)論．【解答】解：△ABC是等邊三角形，理由：∵△DEF是等邊三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平角的定義．熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△CDE，P、Q分別為AD、BE的中點(diǎn)．（1）試判斷△CPQ的形狀并說(shuō)明理由．（2）如果將等邊△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CPQ的形狀會(huì)改變嗎？請(qǐng)你將圖2中的圖形補(bǔ)畫完整并說(shuō)明理由．【分析】（1）由“有一內(nèi)角為60°的等腰三角形為等邊三角形”進(jìn)行判斷與證明；（2）通過(guò)全等三角形△ACD≌△BCE、△ACP≌△BCQ的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)推知△CPQ的兩邊PC＝QC、內(nèi)角∠PCQ＝60°，從而確定△CPQ是等邊三角形．【解答】解：（1）如圖1，△CPQ是等邊三角形．理由如下：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠C＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴AC﹣DC＝BC﹣EC，即AD＝BE．∵P、Q分別為AD、BE的中點(diǎn)，∴PD＝EQ，∴CD+DP＝CE+EQ，即CP＝CQ，∴△CPQ是等邊三角形；（2）如果將等邊△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CPQ的形狀不會(huì)改變．理由如下：如圖2，∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∵∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE，∴在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，即∠CAP＝∠CBQ．∵P是AD的中點(diǎn)，Q是BE的中點(diǎn)，∴AP＝AD，BQ＝BE，∴AP＝BQ，∴在△ACP與△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴PC＝QC，∠BCQ＝∠ACP，∵∠BCQ+∠ACQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP+∠ACQ＝60°，∴∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的判定：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共1小題）1．（2016春?閔行區(qū)期末）如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點(diǎn)E、M在線段AC上，點(diǎn)G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°，∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°，∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°，∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平角的定義；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）2．（2019秋?閔行區(qū)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為9cm．【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC＝AC＝2，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD＝CF＝1.5，DF＝AC＝2，然后計(jì)算四邊形ABFD的周長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，∵等邊△ABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△DEF，∴AD＝CF＝1.5，DF＝AC＝2，∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝2+2+2+1.5+1.5＝9（cm）．故答案為9cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．也考查了平移的性質(zhì)．3．（2018秋?浦東新區(qū)期中）等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則它的周長(zhǎng)為3a．【分析】等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，進(jìn)而求出它的周長(zhǎng)．【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蔚娜呄嗟龋冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為a，所以它的周長(zhǎng)為3a．故答案為3a．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)．4．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）等邊三角形的面積為8，則它邊長(zhǎng)是4．【分析】作出等邊三角形邊上高，利用勾股定理可求出高的值，利用三角形的面積公式求解即可．【解答】解：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)AB＝BC＝AC＝x，則BD＝BC＝x，在Rt△ABD中，AD＝＝＝x，故邊長(zhǎng)為x的等邊三角形的面積為×x×x＝8，解得：x＝±4，舍去負(fù)值，得x＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求出等邊三角形一邊上的高是解決本題的突破點(diǎn)．5．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF．平移后，如果四邊形ABFD的周長(zhǎng)是22cm，那么平移的距離應(yīng)該是2cm．【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，得出四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AD+AB+BF+DF＝AD+CF+18＝22，即可得出答案．【解答】解：∵將邊長(zhǎng)為6cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AD+AB+BF+DF＝AD+CF+18＝22，AD＝CF，∴2AD＝4，解得：AD＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解題的關(guān)鍵．6．（2018秋?金山區(qū)期末）將邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形ABC向右平移一定的距離后得到三角形DEF，已知EC＝2cm，那么平移的距離為4cm．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝6cm，∵沿邊BC向右平移2cm得到△DEF，∴平移的距離為BE＝6﹣2＝4，故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．7．（2019?金山區(qū)二模）在△ABC中，AB＝AC，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件使得△ABC成為等邊三角形，這個(gè)條件可以是∠A＝60°（只要寫出一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得答案．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，再添加∠A＝60°可得△ABC是等邊三角形，故答案為：∠A＝60°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法：（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．三．解答題（共2小題）8．（2019春?崇明區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，邊AB＝6厘米，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1厘米/秒，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝3時(shí)，判斷AP與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時(shí)，求t的值；（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）判斷：AP⊥BC，理由如下：如圖1，∵t＝3，∴BP＝CP＝3，∵AB＝AC，∴AP⊥BC；（2）當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時(shí)，點(diǎn)P為AB中點(diǎn)或點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，則CB+CP＝9或CB+BA+CP＝15，∴t＝9或t＝15，∴當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時(shí)，t的值為9或15；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上，且點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，CP＝t，CQ＝1.5t則t+1.5t＝9，∴t＝3.6，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，且點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，BP＝t﹣6，BQ＝1.5t﹣12，則t﹣6+1.5t﹣12＝9，∴t＝10.8，所以當(dāng)t為3.6或10.8秒時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2019春?虹口區(qū)期末）說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因?yàn)镈F平分∠CDA（已知）所以∠FDC＝∠ADC．角平分線意義因?yàn)椤螩DA＝120°（已知）所以∠FDC＝60°．因?yàn)镈F∥BE（已知）所以∠FDC＝∠BEC．（兩直線平行，同位角相等）所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，進(jìn)而得出△BEC為等邊三角形．【解答】解：因?yàn)镈F平分∠CDA，（已知）所以∠FDC＝∠ADC．（角平分線意義）因?yàn)椤螩DA＝120°，（已知），所以∠FDC＝60°．因?yàn)镈F∥BE，（已知），所以∠FDC＝∠BEC．（兩直線平行，同位角相等），所以∠BEC＝60°，又因?yàn)镋C＝EB，（已知），所以△BCE為等邊三角形．（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）故答案為：ADC；角平分線意義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠FDC＝∠BEC是解題關(guān)鍵．題組B能力提升練一．填空題（共3小題）1．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個(gè)三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則規(guī)定優(yōu)比是較大邊與較小邊的比）．比如等邊三角形就是一個(gè)優(yōu)比為1的優(yōu)三角形．若△ABC是優(yōu)三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．則這個(gè)三角形的面積是或．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，作AH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H．分兩種情形：若AB＜BC，則AB+AC＝2BC＝8．若AB≥BC，則AC+BC＝2AB，分別利用參數(shù)構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：作AH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H．若AB＜BC，則AB+AC＝2BC＝8，設(shè)BH＝x，在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°，∴AB＝2x，AH＝BH＝x，∴AC＝8﹣2x，在Rt△ACH中，則有（x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2，解得x＝，∴AH＝，∴S△ABC＝?BC?AH＝×4×＝，若AB≥BC，則AC+BC＝2AB，設(shè)BH＝x，則AB＝2x，AH＝x，AC＝4x﹣4，在Rt△ACH中，則有（x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2，解得x＝或x＝0（舍去），∴S△ABC＝?BC?AH＝×4×＝，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了”優(yōu)三角形”以及”優(yōu)比”的定義，三角形的三邊關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建不等式或方程解決問(wèn)題．2．（2017秋?浦東新區(qū)期末）如果等邊三角形的邊長(zhǎng)為m厘米，那么這個(gè)三角形的面積等于m2平方厘米（用含m的代數(shù)式表示）．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可．【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為m厘米，可得等邊三角形的高是厘米，所以這個(gè)三角形的面積＝平方厘米；故答案為：m2【點(diǎn)評(píng)】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出等邊三角形的高．3．（2018春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是線段BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝60度．【分析】由△ABC為等邊三角形可得出AB＝AC、∠BAC＝60°，由∠AOB的度數(shù)利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠AOD＝60°，結(jié)合OD＝OA可得出△AOD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出AO＝AD、∠OAD＝60°，根據(jù)∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°可得出∠BAO＝∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可證出△BAO≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO即可求出∠BDC的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°．∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，∴∠AOD＝60°．又∵OD＝OA，∴△AOD為等邊三角形，∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，∴∠BAO＝∠CAD．在△BAO和△CAD中，，∴△BAO≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AOB＝120°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及角的計(jì)算，通過(guò)證明△BAO≌△CAD，找出∠ADC＝∠AOB＝120°是解題的關(guān)鍵．二．解答題（共6小題）4．（2019秋?瀘縣期末）等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論．【分析】先證△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再證∠PAQ＝60°，從而得出△APQ是等邊三角形．【解答】解：△APQ為等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC．在△ABP與△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】考查了等邊三角形的判定及全等三角形的判定方法．5．（2007春?靜安區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，連接BD，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝CD，連接DE．（1）∠E等于多少度？（2）說(shuō)明DB與DE相等的理由．【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝60°，由CE＝CD可知∠E＝∠EDC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出∠ABD＝∠DBC＝30°，在由在同一三角形中等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形（已知），∴∠ACB＝60°（等邊三角形性質(zhì)）．∵CE＝CD（已知），∴∠E＝∠EDC（等邊對(duì)等角）．∵∠ACB＝∠E+∠EDC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠E＝30°．（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°（等邊三角形性質(zhì)），∵D是AC的中點(diǎn)，∴∠ABD＝∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．∵∠E＝30°（已證），∴∠E＝∠DBC（等量代換），∴DB＝DE（等角對(duì)等邊）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟知等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．6．（2008春?閔行區(qū)期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上．（1）如果AD⊥BC，BE⊥AC，試證明∠APE＝60°的理由；（2）如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否還能成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一，可知∠DAC＝30°，在直角△AEP中，即可得出∠APE＝60°；（2）易證△ABD≌△BCE，得∠BAD＝∠CBE，又∠CBE+∠ABE＝60°，則∠BAD+∠ABE＝60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠APE＝60°；【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠DAC＝30°，∴在直角△AEP中，∠APE＝90°﹣30°＝60°；（2）解：仍然成立．理由如下：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，又∠CBE+∠ABE＝60°，∴∠APE＝∠BAD+∠ABE＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)熟記等腰三角形的三線合一及證明三角形全等的幾個(gè)判定方法．7．（2006秋?楊浦區(qū)期末）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點(diǎn)P．（1）當(dāng)△ABC為等邊三角形（如圖1）時(shí)，求證：EP＝DP；（2）當(dāng)△ABC不是等邊三角形，但∠ACB＝60°（如圖2）時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可以得到相等的線段和相等的角，進(jìn)而可以證明EP＝DP；（2）上題的結(jié)論仍然成立，并且具有類似的證明方法．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，AD平分∠CAB，∴PD⊥BC，同理，PE⊥AC，作PH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，∴PE＝PH，同理PD＝PH，∴PD＝PE；（2）EP＝DP依然成立．證明：不妨設(shè)∠CAB＜∠CBA，作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，則點(diǎn)H在線段CE上，點(diǎn)M在線段BD上，∵∠CAB和∠ACB的平分線AD、BE交于點(diǎn)P，∴PH＝PQ＝PM，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∠ACB＝60°，∴∠CAB+∠ABC＝120°，∵AD、BE分別平分∠CAB、∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝60°，∵∠CEP＝∠CAP+∠PAB+∠PBA＝∠CAP+60°，∠ADB＝∠CAP+∠ACD＝∠CAP+60°，∴∠CEP＝∠ADB，在△PHE和△PMD中，∠HEP＝∠MDP，∠EHP＝∠DMP＝90°，PH＝PM，∴△PHE≌△PMD，∴PE＝PD．（不同方法請(qǐng)相應(yīng)給分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的利用等邊三角形的性質(zhì)．8．（2015秋?諸城市期末）如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．（1）△DBC和△EAC會(huì)全等嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由；（2）試說(shuō)明AE∥BC的理由；（3）如圖（2），將（1）動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到邊BA的延長(zhǎng)線上，所作仍為等邊三角形，請(qǐng)問(wèn)是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．【分析】（1）要證兩個(gè)三角形全等，已知的條件有AC＝BC，CE＝CD，我們發(fā)現(xiàn)∠BCD和∠ACE都是60°減去一個(gè)∠ACD，因此兩三角形全等的條件就都湊齊了（SAS）；（2）要證AE∥BC，關(guān)鍵是證∠EAC＝∠ACB，由于∠ACB＝∠ACB，那么關(guān)鍵是證∠EAC＝∠ACB，根據(jù)（1）的全等三角形，我們不難得出這兩個(gè)角相等，也就得出了證平行的條件．（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過(guò)先證明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC＝∠B＝60°，又由∠ABC＝∠ACB＝60°，得出這兩條線段之間的內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得出平行的結(jié)論．【解答】解：（1）△DBC和△EAC會(huì)全等證明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）結(jié)論：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC為等邊三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DC