第24章 圓（解析版）

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練第24章《圓》知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)01：圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

細(xì)節(jié)剖析：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對(duì)稱(chēng)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦?jiàn)A的弧相等.

細(xì)節(jié)剖析：

在垂經(jīng)定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

細(xì)節(jié)剖析：

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識(shí)點(diǎn)02：與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

細(xì)節(jié)剖析：

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法

當(dāng)時(shí)，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心.

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒(méi)有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離

.

(2)和沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)含

(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切.

(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切.

(5)和有兩個(gè)公共點(diǎn)相交.

知識(shí)點(diǎn)03：三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).細(xì)節(jié)剖析：

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.

知識(shí)點(diǎn)04：圓中有關(guān)計(jì)算

1．圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細(xì)節(jié)剖析：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類(lèi)似，可類(lèi)比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01：垂徑定理1．（2022?荊門(mén)）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（）A．36 B．24 C．18 D．72解：如圖，連接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC＝，∴CD＝2CE＝6，∴四邊形ACBD的面積＝．故選：A．2．（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，AD⊥BC，連接AB、CD，當(dāng)AB＝2，CD＝6時(shí)，則⊙O半徑長(zhǎng)為2．解：如圖，連接CO，延長(zhǎng)CO交⊙O于H，連接BH，DH，BD．∵CH是直徑，∴∠CBH＝∠CDH＝90°，∴CB⊥BH，∵CB⊥AD，∴AD∥BH，∴∠CDB＝∠DBH，∴＝，∴DH＝BA＝2，而CD＝6，根據(jù)勾股定理CH＝＝2，故答案為2．3．（2022?煙臺(tái)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，則CD的長(zhǎng)為4．解：過(guò)O作OI⊥CD于I，連接OD，則∠OID＝∠OIP＝90°，∵AP＝4，BP＝12，∴直徑AB＝4+12＝16，即半徑OD＝OA＝8，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣4＝4，∵∠IPO＝∠APC＝30°，∴OI＝OP＝＝2，由勾股定理得：DI＝＝＝2，∵OI⊥CD，OI過(guò)圓心O，∴DI＝CI＝2，即CD＝DI+CI＝4，故答案為：4．4．（2022?開(kāi)福區(qū)一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：四邊形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．（1）證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝AB，AE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，∴四邊形ADOE是正方形；（2）解：連接OA，∵AC＝2cm，∴AE＝1cm，在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），答：⊙O的半徑是cm．5．（2021秋?嘉祥縣期末）如圖，線段AB＝10，AC＝8，點(diǎn)D，E在以AB為直徑的半圓O上，且四邊形ACDE是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F，求AE的長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，連接OE，則OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四邊形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．6．（2021?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圓O的半徑長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OD，∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，在Rt△OEM中，∵OE＝4，∴，，∵，∴，∵OM過(guò)圓心，OM⊥CD，∴CD＝2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的長(zhǎng)為，⊙O的半徑長(zhǎng)為．7．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門(mén)，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門(mén)的半徑為（）A． B．2m C． D．3m解：如圖，取圓心為O，連接OA，設(shè)⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD＝AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r＝，∴該拱門(mén)的半徑為m，故選：A．考點(diǎn)02：圓周角定理8．（2022?梁子湖區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AO⊥BC于點(diǎn)E，若∠BDC＝150°，AE長(zhǎng)為2+，則弦BC的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．2 D．4解：連接AB、AC、OB、OC，∵∠BDC＝150°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴△BOC為等邊三角形，∵AO⊥BC，∴OB＝OC＝BC，BE＝CE＝BC，∠BOE＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，∴BE＝CE＝r，OB＝r，OD＝r，∵AE長(zhǎng)為2+，∴r+r＝2+，∴r＝2．故選：A．9．（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．52° D．64°解：連接OC，∵CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，∴，∴∠COB＝∠BOD，∵∠A＝26°，∴∠COB＝2∠A＝52°，∴∠BOD＝52°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．故選：B．10．（2022?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，線段CD上一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，⊙O上一點(diǎn)A，連結(jié)AC交⊙O于B點(diǎn)，連結(jié)BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，則∠BDA＝15°．解：設(shè)CD與⊙O相交于點(diǎn)E，連接BE，∵BC＝BD，∴∠C＝∠BCDC＝25°，∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝130°，∵ED是⊙O的直徑，∴∠EBD＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠BDC＝65°，∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°﹣∠BED＝115°，∴∠BDA＝∠CBD﹣∠A＝15°，故答案為：15°．11．（2022?宜興市校級(jí)二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C（x，y）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直徑作⊙E，若過(guò)點(diǎn)且平行于x軸的直線被⊙E所截的弦GH長(zhǎng)為．則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣x2+4x；經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y＝k（x﹣2）+1（k＜0）與點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖象交于B，D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)），F(xiàn)為該圖象的最高點(diǎn)，若△ADF的面積是△ABF面積的3倍，則k＝﹣2．解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），過(guò)點(diǎn)E作EM⊥GH于點(diǎn)M，連接EH，∴MH＝GH＝．∵點(diǎn)M在過(guò)點(diǎn)（0，）且平行于x軸的直線上，∴EM＝﹣＝，∵AC＝，∴EC＝EH＝AC＝，在Rt△EMH中，EH2＝EM2+MH2，即（＝）2＝（）2+（）2，整理得x2﹣4x+y＝0，即y＝﹣x2+4x，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+4x，故點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為y＝﹣x2+4x，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BR⊥FA于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥FA于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)B，D的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4），∵△ADF的面積是△ABF面積的3倍，即DN＝3BR，∴x2﹣2＝3（2﹣x1），整理得3x1+x2＝8，聯(lián)立，解得，代入3x1+x2＝8，解得k＝﹣2或2（舍去）．故答案為：y＝﹣x2+4x；﹣2．12．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為半圓O的直徑，CD＝AB＝2，AD，BC交于點(diǎn)E，且E為CB的中點(diǎn)，F(xiàn)為弧AC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)．解：連接OE、OF、AC、OC、OD，AC與OF相交于H點(diǎn)，如圖，∵CD＝AB，∴CD＝OC＝OD，∴△OCD為等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴∠CAD＝∠COD＝30°，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵E為CB的中點(diǎn)，∴OE⊥BC，∵F為弧AC的中點(diǎn)，∴OF⊥AC，CH＝AH，∴四邊形OECH為矩形，∴∠EOF＝90°，OE＝CH＝AC，設(shè)CE＝x，則BE＝x，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，∴AC＝CE＝x，在Rt△ACB中，（x）2+（2x）2＝（4）2，解得x＝4，∴AC＝4，∴OE＝2，在Rt△OEF中，EF＝＝＝2．13．（2022?西安模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝90°．連接BD，作CF⊥BD，分別交BD，⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF，交AD于點(diǎn)M，AB＝BC．（1）求證：BF∥CD．（2）當(dāng)AD+CD＝5時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．解：（1）∵AB＝BC，∴，∵∠ADC＝90°．∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵CF⊥BD，∴∠DCF＝45°，又∠F＝∠BDC＝45°，∴∠F＝∠DCF＝45°，∴BF∥CD；（2）如圖：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)N，使得DN＝DC，連接NC，∵∠ADC＝90°，DN＝DC，∴∠N＝∠DCN＝45°，∴sinN＝，∵AD+CD＝5，∴AD+DN＝AN＝5，∴∠N＝∠BDC，∵∠DAC＝∠DBC，∴△NAC∽△DBC，∴，∴，解得：BD＝5，∴線段BD的長(zhǎng)為5．考點(diǎn)03：切線的判定與性質(zhì)14．（2022?社旗縣一模）如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A． B．或 C． D．或解：∵直線y＝﹣x﹣3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，設(shè)⊙P與直線AB相切于D，連接PD，則PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴，即，∴AP＝，∴OP＝或OP＝，∴P（﹣，0）或P（﹣，0），故選：B．15．（2022?新河縣二模）如圖，在直線l上有相距7cm的兩點(diǎn)A和O（點(diǎn)A在點(diǎn)O的右側(cè)），以O(shè)為圓心作半徑為1cm的圓，過(guò)點(diǎn)A作直線AB⊥l．將⊙O以2cm/s的速度向右移動(dòng)（點(diǎn)O始終在直線l上），則⊙O與直線AB在（）秒時(shí)相切．A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5解：當(dāng)點(diǎn)O到AB的距離為1cm時(shí)，⊙O與AB相切，∵開(kāi)始時(shí)O點(diǎn)到AB的距離為7，∴當(dāng)圓向右移動(dòng)7﹣1或7+1時(shí)，點(diǎn)O到AB的距離為1cm，此時(shí)⊙O與AB相切，∴t＝＝3（s）或t＝＝4（s），即⊙O與直線AB在3秒或4秒時(shí)相切．故選：C．16．（2021秋?海州區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A'B'CD'的邊A'B'與⊙O相切，切點(diǎn)為E，邊CD'與⊙O相交于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為（）A．6﹣ B．4 C．5 D．3解：連接OE，延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G，作OH⊥B′C于點(diǎn)H，則∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所得矩形為A′B′CD′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，∴四邊形OEB′H和四邊形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OE＝3，∴CH＝B′C﹣B′H＝1，∴CG＝B′E＝OH＝＝2，∵四邊形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故選：B．17．（2022?晉江市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線y＝﹣x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，以線段AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1）．解：如圖：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA，垂足為M，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時(shí)，則AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵點(diǎn)A（2，0），∴OA＝2，∵點(diǎn)B是直線y＝﹣x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，﹣m），∴OM＝BM＝m，∴∠MOB＝45°，∴∠OAB＝90°﹣∠MOB＝45°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝OB，∵BM⊥OA，∴OM＝AM＝OA，∴BM＝OA＝1，∴OM＝BM＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1），故答案為：（1，﹣1）．18．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為2；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為或10﹣6．解：如圖，⊙O與AD相切，連接OD，連接CO并延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)F，∵點(diǎn)O到AD的距離等于⊙O的半徑，且OD是⊙O的半徑，∴OD就是點(diǎn)O到AD的距離，∴AD⊥OD，∴∠ODA＝90°，∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠OFD＝90°，∴OF＝OD＝OC，DF＝OD?sin60°＝OD＝OC，∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合題意，舍去），∴⊙O的半徑為2；如圖，點(diǎn)O在CD邊上，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥OC，∴⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∵AD＝CD＝2，∴OC＝OD＝CD＝×2＝，∴⊙O的半徑為．如圖，⊙O與AD相切于點(diǎn)G，連接OG、OD，OC，作OL⊥AD于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，∴四邊形OGAL是矩形，∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，∴DL＝2﹣r，作OH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，作KM⊥BC于點(diǎn)M，則DH＝CH＝CD＝，∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，∴四邊形MKHC是矩形，∴KM＝CH＝，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，∴＝sin∠KBM＝sin60°＝，∴，∴BK＝2，∵KH∥BC，∴∠OKG＝∠ABC＝60°，∵∠OGK＝90°，∴＝tan∠OKG＝tan60°＝，∴KG＝OG＝r，∴OL＝AG＝6﹣2﹣r＝4﹣r，∵∠OLD＝90°，∴OL2+DL2＝OD2，∴（4﹣r）2+（2﹣r）2＝r2，整理得r2﹣20r+84＝0，解得r＝10﹣6，r＝10+6（不符合題意，舍去），∴⊙O的半徑為10﹣6，綜上所述，⊙O的半徑為或10+6，故答案為：2；或10﹣6．19．（2021秋?南皮縣校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M是AB的中點(diǎn)，P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作⊙P．（1）當(dāng)BP＝3時(shí)，點(diǎn)C在⊙P上；（填“上“內(nèi)“或“外“）（2）當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長(zhǎng)為3或4．解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M是AB的中點(diǎn)，∴BM＝AB＝4，∠B＝90°，∵PB＝3，BC＝8，∴PC＝5，∵PM＝＝＝5，∴PM＝PC，∴點(diǎn)C在⊙P上，故答案為：上；（2）如圖1，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，設(shè)PC＝PM＝x，在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如圖2，當(dāng)⊙P與邊AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4．綜上所述，BP的長(zhǎng)為3或4，故答案為：3或4．20．（2022?五華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB為⊙O直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半徑．（1）證明：連接OC，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠ACD＝2∠A，∴∠ACD＝2∠ACO，∴∠ACO＝∠DCO，∴∠A＝∠DCO，∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠DCO，∴OC∥DE，∴∠E+∠OCE＝180°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CE與⊙O相切；（2）解：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠BCE＝∠OCE＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠D＝∠A＝∠ACO，∴∠D＝∠BCE，又∠BEC＝∠CED＝90°，∴△BCE∽△CDE，∵＝＝2，∴BC＝CE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵OC∥ED，∴∠OCB＝∠CBE，∴∠CBE＝∠OBC，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴＝＝，∵AC＝4，∴AB＝2，∴OA＝，即⊙O的半徑為．21．（2022?金水區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AE是半圓O的直徑，D是半圓O上不同于A，E的一點(diǎn)，作∠FAD＝∠DAE，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥AF于點(diǎn)C，CD的延長(zhǎng)線與AE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B．（1）求證：CD是半圓O所在圓的切線；（2）若，AC＝4，求⊙O的半徑．（1）證明：如圖，連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAE，∵∠FAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AC，∵DC⊥AF于點(diǎn)C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且CD⊥OD，∴CD是半圓O所在圓的切線．（2）解：設(shè)OD＝OA＝OE＝2m，則AE＝4m，∵，AC＝4，∴BE＝AE＝×4m＝m，∴OB＝BE+OE＝3m，AB＝BE+AE＝5m，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝＝＝，∴OD＝×4＝，∴⊙O的半徑長(zhǎng)是．22．（2022?河南模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，連接ED．點(diǎn)F在上．且FO⊥AB，連接BF并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接AF，試說(shuō)明AF、BG的數(shù)量關(guān)系．解：（1）證明：如圖1，連接OD，AD，∵AB為⊙O直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∵OD是半徑，∴DE是⊙O的切線；（2），理由如下：如圖2，∵FO⊥AB，AG⊥AB，∴FO∥AG，∵O為AB的中點(diǎn)，∴F是BG的中點(diǎn)，∵∠BAC＝90°，∴．考點(diǎn)04：切線長(zhǎng)定理23．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．20解：∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長(zhǎng)為16．故選：C．24．（2020?河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（）A．π B．2π C．4π D．0.5π解：設(shè)⊙O與正方形ABCD的邊CD切于E，與BC切于F，連接OE，OF，則四邊形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面積為4π，故選：C．25．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵AC、AP為⊙O的切線，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD為⊙O的切線，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故選：B．26．（2021秋?高陽(yáng)縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．27．（2021秋?興化市月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過(guò)點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F，交AD邊于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為12，則直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14．解：設(shè)AE的長(zhǎng)為x，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∵CE與半圓O相切于點(diǎn)F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14．故答案為：14．28．（2015秋?宜興市校級(jí)期中）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，已知AD＝10cm，小明準(zhǔn)備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形（△AMN），則剪下的△AMN的周長(zhǎng)為20cm．解：∵△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，AD＝10cm，∴設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．29．（2013?西藏模擬）如圖，AD、AE、CB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為D、E、F，AD＝4cm，則△ABC的周長(zhǎng)是8cm．解：∵AD、AE、CB均為⊙O的切線，D、E、F分別為切點(diǎn)，∴CE＝CF，BD＝BF，AE＝AD＝4cm，∴△ABC的周長(zhǎng)為：AC+BC+AB＝AC+CF+BF+AB＝AC+CE+BD+AB＝AE+AD＝8cm．故答案為：8cm．30．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長(zhǎng)為8cm，那么△PDE的周長(zhǎng)為16cm．解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周長(zhǎng)為16cm．故答案為16cm．31．（2011秋?海淀區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，則CE＝2．解：∵CD、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E，∴CD＝CE，∵∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴AD＝CE，∵AD＝2，∴CE＝2．故答案為：2．32．（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長(zhǎng)為12，∠APB＝60°．求：（1）PA的長(zhǎng)；（2）∠COD的度數(shù)．解：（1）∵CA，CE都是圓O的切線，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周長(zhǎng)＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的長(zhǎng)為6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圓O的切線，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．33．（2018秋?硚口區(qū)期末）如圖，AB為⊙O直徑，PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q．（1）求證：OQ＝PQ；（2）連BC并延長(zhǎng)交PQ于點(diǎn)D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的長(zhǎng)．（1）證明：連接OP．∵PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A，C，∴PA＝PC，OA⊥PA，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OPA≌△OPC（SSS），∴∠AOP＝∠POC，∵QP⊥PA，∴QP∥BA，∴∠QPO＝∠AOP，∴∠QOP＝∠QPO，∴OQ＝PQ．（2）設(shè)OA＝r．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠B，∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC，∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r，∵PC是⊙O的切線，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，∴（6+r）2＝62+（2r）2，r＝4或0（舍棄），∴OP＝＝4，∵OB＝PD，OB∥PD，∴四邊形OBDP是平行四邊形，∴BD＝OP＝4．34．（2012秋?姜堰市校級(jí)月考）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點(diǎn)為Q，交PA、PB于點(diǎn)E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°①求△PEF的周長(zhǎng)；②求∠EOF的度數(shù)．解：①∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，又∵直線EF是⊙O的切線，∴EB＝EQ，F(xiàn)Q＝FA，∴△PEF的周長(zhǎng)＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；②連接OE，OF，則OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，則∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．35．（2008秋?恩平市校級(jí)期中）如圖，P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，C是上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周長(zhǎng)；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度數(shù)．解：（1）∵DA，DC都是圓O的切線，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周長(zhǎng)＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周長(zhǎng)是8；（2）連接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF為圓直徑∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周長(zhǎng)為8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度數(shù)為70°．考點(diǎn)05：正多邊形和圓36．（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長(zhǎng)相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°解：∵正方形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是90°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是＝120°，∴∠1＝120°﹣90°＝30°，故選C．37．（2022?石家莊三模）如圖，邊長(zhǎng)相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積是2，那么非陰影部分面積是（）A．6 B． C． D．8解：∵正方形面積是2，∴其邊長(zhǎng)為：，如圖，將正八邊形的每一條邊延長(zhǎng)可得正方形ABCD，∵正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°﹣＝135°，∴∠AEF＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE＝EF?sin45°＝×＝1，∴AB＝+1×2＝+2．∴正八邊形的面積為：S正方形ABCD﹣4S△AEF＝＝，∴非陰影部分面積是S正八邊形﹣S正方形＝﹣2＝2+．故選：C．38．（2022?沙灣區(qū)模擬）已知圖標(biāo)（如圖）是由圓的六個(gè)等分點(diǎn)連接而成，若圓的半徑為1，則陰影部分的面積等于．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)F．∵如圖是由圓的六等分點(diǎn)連接而成，∴△ABC與△ADE是等邊三角形，∵圓的半徑為1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案為：．39．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M，則的值為2．解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案為：2．40．（2022?咸安區(qū)模擬）如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥y軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n＝2024時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1）．解：根據(jù)題意，連接OA，在正六邊形ABCDEF中，∠AOB＝60°，∴△AOB是等腰三角形，OA＝OB＝AB＝2，∴∠AOH＝30°，AH＝AF＝2＝1，∴OH＝＝，∵正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置，2024÷6＝337...2，∴當(dāng)n＝2024時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1），故答案為：（﹣，1）．41．（2022春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的⊙O，點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P，O，Q三點(diǎn)處于同一條直線時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．（1）求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度；（2）若M為弦PB的中點(diǎn)，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CM的最大值．解：（1）∵點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng)，∴可以假設(shè)∠COQ＝n，∠BOP＝2n，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠BCO＝2∠A＝120°，∵P，O，Q共線，∴120°﹣n+2n＝180°，∴n＝60°，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度＝＝；（2）如圖，取OB的中點(diǎn)J，連接JM，JC，過(guò)點(diǎn)J作JH⊥BC于點(diǎn)H．∵OB＝OC＝2，∠BOC＝120°，∴BC＝OB＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，∵BJ＝OJ＝1，∴JH＝BJ＝，BH＝，∴CH＝，∴CJ＝＝＝，∵BM＝MP．BJ＝OJ，∴JM＝OP＝1，∴CM≤JM+CJ＝1+，∴CM的最大值為1+．42．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形，R＝6．求正方形ABCD的邊長(zhǎng)和邊心距．解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半徑為6的圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，邊心距為．43．（2019秋?墾利區(qū)期中）七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：（1）如圖1，等邊三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N，使BM＝AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN＝CM，且∠NOC＝60°，試說(shuō)明：∠NOC＝60°．（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、DM，那么∠DON＝90度，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、EM，那么AN＝EM，且∠EON＝108度．（正n邊形內(nèi)角和（n﹣2）×180°，正多邊形各內(nèi)角相等）（1）證明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC＝60°，∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；（3）解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．故答案為：90°，EM，108°．考點(diǎn)06：扇形面積的計(jì)算44．（2022?山西模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AO是△ABC的中線．以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作半圓，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，交BC于點(diǎn)F，G．則圖中陰影部分的面積為（）A．2﹣π B． C．4﹣π D．π解：連接DO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，如圖，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，∴＝30°，∴＝2，BO＝＝＝2，∴S△ABO＝＝2＝2，∵∠ABO＝60°，∴∠AOH＝30°，∴＝＝1，AH＝＝＝，∴S△ADO＝＝＝，∵∠DOF＝90°﹣60°＝30°，DO＝2，S