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第24章 圓(解析版)_第2頁(yè)
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2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練第24章《圓》知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)點(diǎn)01:圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1.圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線,叫做圓.

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

細(xì)節(jié)剖析:

①圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小;確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心,再確定半徑,二者缺一不可;

②圓是一條封閉曲線.2.圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性:圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形,繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合;圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)中心是圓心.

在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距,這四組量中的任意一組相等,那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對(duì)稱(chēng):圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸.

(3)垂徑定理及推論:

①垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③弦的垂直平分線過(guò)圓心,且平分弦對(duì)的兩條弧.

④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心,且垂直平分此弦.

⑤平行弦?jiàn)A的弧相等.

細(xì)節(jié)剖析:

在垂經(jīng)定理及其推論中:過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧,在這五個(gè)條件中,知道任意兩個(gè),就能推出其他三個(gè)結(jié)論.(注意:“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí),平分的弦不能是直徑)3.兩圓的性質(zhì)

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦,相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).4.與圓有關(guān)的角

(1)圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì):圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

(2)圓周角:頂點(diǎn)在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì):

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑;半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ);外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

細(xì)節(jié)剖析:

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件:①頂點(diǎn)在圓上;②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識(shí)點(diǎn)02:與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為,OP=,則有

點(diǎn)P在⊙O外;點(diǎn)P在⊙O上;點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

細(xì)節(jié)剖析:

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的,即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系;知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2.判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法

當(dāng)時(shí),在⊙O上.

3.直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R,點(diǎn)O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和⊙O相交.

4.切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定:

①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì):

①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心.

(3)切線長(zhǎng):從圓外一點(diǎn)作圓的切線,這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).

(4)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5.圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為,圓心距.

(1)和沒(méi)有公共點(diǎn),且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離

.

(2)和沒(méi)有公共點(diǎn),且的每一個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)含

(3)和有唯一公共點(diǎn),除這個(gè)點(diǎn)外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切.

(4)和有唯一公共點(diǎn),除這個(gè)點(diǎn)外,的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切.

(5)和有兩個(gè)公共點(diǎn)相交.

知識(shí)點(diǎn)03:三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心:是三角形三條角平分線的交點(diǎn),它是三角形內(nèi)切圓的圓心,在三角形內(nèi)部,它到三角形三邊的距離相等,通常用“I”表示.

(2)三角形的外心:是三角形三邊中垂線的交點(diǎn),它是三角形外接圓的圓心,銳角三角形外心在三角形內(nèi)部,直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn),鈍角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,通常用O表示.

(3)三角形重心:是三角形三邊中線的交點(diǎn),在三角形內(nèi)部;它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍,通常用G表示.

(4)垂心:是三角形三邊高線的交點(diǎn).細(xì)節(jié)剖析:

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓,但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形;

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí),面積法是常用的,即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半,即(S為三角形的面積,P為三角形的周長(zhǎng),r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等;(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形,圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),外角等于內(nèi)對(duì)角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形,圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.

知識(shí)點(diǎn)04:圓中有關(guān)計(jì)算

1.圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式:,周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為,半徑為R,弧長(zhǎng)為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形,底面半徑為R,母線長(zhǎng)為的圓柱的體積為,側(cè)面積為,全面積為.

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形,底面半徑為R,母線長(zhǎng)為,高為的圓錐的側(cè)面積為,全面積為,母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細(xì)節(jié)剖析:

(1)對(duì)于扇形面積公式,關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的,即;

(2)在扇形面積公式中,涉及三個(gè)量:扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角,知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用,它與三角形面積公式有點(diǎn)類(lèi)似,可類(lèi)比記憶;

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系:.考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)提優(yōu)練考點(diǎn)01:垂徑定理1.(2022?荊門(mén))如圖,CD是圓O的弦,直徑AB⊥CD,垂足為E,若AB=12,BE=3,則四邊形ACBD的面積為()A.36 B.24 C.18 D.72解:如圖,連接OC,∵AB=12,BE=3,∴OB=OC=6,OE=3,∵AB⊥CD,在Rt△COE中,EC=,∴CD=2CE=6,∴四邊形ACBD的面積=.故選:A.2.(2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考)如圖,在⊙O中,AD⊥BC,連接AB、CD,當(dāng)AB=2,CD=6時(shí),則⊙O半徑長(zhǎng)為2.解:如圖,連接CO,延長(zhǎng)CO交⊙O于H,連接BH,DH,BD.∵CH是直徑,∴∠CBH=∠CDH=90°,∴CB⊥BH,∵CB⊥AD,∴AD∥BH,∴∠CDB=∠DBH,∴=,∴DH=BA=2,而CD=6,根據(jù)勾股定理CH==2,故答案為2.3.(2022?煙臺(tái)模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=4,BP=12,∠APC=30°,則CD的長(zhǎng)為4.解:過(guò)O作OI⊥CD于I,連接OD,則∠OID=∠OIP=90°,∵AP=4,BP=12,∴直徑AB=4+12=16,即半徑OD=OA=8,∴OP=OA﹣AP=8﹣4=4,∵∠IPO=∠APC=30°,∴OI=OP==2,由勾股定理得:DI===2,∵OI⊥CD,OI過(guò)圓心O,∴DI=CI=2,即CD=DI+CI=4,故答案為:4.4.(2022?開(kāi)福區(qū)一模)如圖,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分別為D、E.(1)求證:四邊形ADOE是正方形;(2)若AC=2cm,求⊙O的半徑.(1)證明:∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴AD=AB,AE=AC,∵AB=AC,∴AD=AE,∵∠ADO=∠A=∠AEO=90°,∴四邊形ADOE是正方形;(2)解:連接OA,∵AC=2cm,∴AE=1cm,在Rt△AOE中,OA==(cm),答:⊙O的半徑是cm.5.(2021秋?嘉祥縣期末)如圖,線段AB=10,AC=8,點(diǎn)D,E在以AB為直徑的半圓O上,且四邊形ACDE是平行四邊形,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F,求AE的長(zhǎng).解:過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G,連接OE,則OE=OA=,∠EGO=90°,∵四邊形ACDE是平行四邊形,∴DE=AC=8,DE∥AB,∵OF⊥DE,即∠OFE=90°,∴EF==4,∠FOG=∠OFE=90°,∴四邊形OFEG是矩形,∴OG=EF=4,∴AG=5﹣4=1,在Rt△OEG中,EG=,在Rt△AGE中,AE=.6.(2021?浦東新區(qū)模擬)如圖,已知AB是圓O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,∠CEA=30°,OE=4,DE=5,求弦CD及圓O的半徑長(zhǎng).解:過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)OD,∵∠CEA=30°,∴∠OEM=∠CEA=30°,在Rt△OEM中,∵OE=4,∴,,∵,∴,∵OM過(guò)圓心,OM⊥CD,∴CD=2DM,∴,∵,∴在Rt△DOM中,,∴弦CD的長(zhǎng)為,⊙O的半徑長(zhǎng)為.7.(2022?宣州區(qū)二模)如圖所示的是一圓弧形拱門(mén),其中路面AB=2m,拱高CD=3m,則該拱門(mén)的半徑為()A. B.2m C. D.3m解:如圖,取圓心為O,連接OA,設(shè)⊙O的半徑為rm,則OC=OA=rm,∵拱高CD=3m,∴OD=(3﹣r)m,OD⊥AB,∵AB=2m,∴AD=BD=AB=1m,∵OA2=AD2+OD2,∴r2=12+(3﹣r)2,解得:r=,∴該拱門(mén)的半徑為m,故選:A.考點(diǎn)02:圓周角定理8.(2022?梁子湖區(qū)二模)如圖,點(diǎn)A,B,C,D在⊙O上,AO⊥BC于點(diǎn)E,若∠BDC=150°,AE長(zhǎng)為2+,則弦BC的長(zhǎng)為()A.2 B. C.2 D.4解:連接AB、AC、OB、OC,∵∠BDC=150°,∴∠BAC=180°﹣∠BDC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,∴△BOC為等邊三角形,∵AO⊥BC,∴OB=OC=BC,BE=CE=BC,∠BOE=30°,設(shè)⊙O的半徑為r,∴BE=CE=r,OB=r,OD=r,∵AE長(zhǎng)為2+,∴r+r=2+,∴r=2.故選:A.9.(2022?南京模擬)如圖,在⊙O中,CD是⊙O上的一條弦,直徑AB⊥CD,連接AC、OD,∠A=26°,則∠D的度數(shù)是()A.26° B.38° C.52° D.64°解:連接OC,∵CD是⊙O上的一條弦,直徑AB⊥CD,∴,∴∠COB=∠BOD,∵∠A=26°,∴∠COB=2∠A=52°,∴∠BOD=52°,∴∠D=90°﹣∠BOD=90°﹣52°=38°.故選:B.10.(2022?姑蘇區(qū)校級(jí)一模)如圖,線段CD上一點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OD為半徑作圓,⊙O上一點(diǎn)A,連結(jié)AC交⊙O于B點(diǎn),連結(jié)BD,若BC=BD,且∠C=25°,則∠BDA=15°.解:設(shè)CD與⊙O相交于點(diǎn)E,連接BE,∵BC=BD,∴∠C=∠BCDC=25°,∴∠CBD=180°﹣∠C﹣∠BDC=130°,∵ED是⊙O的直徑,∴∠EBD=90°,∴∠BED=90°﹣∠BDC=65°,∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠A=180°﹣∠BED=115°,∴∠BDA=∠CBD﹣∠A=15°,故答案為:15°.11.(2022?宜興市校級(jí)二模)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)C(x,y)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),以AC為直徑作⊙E,若過(guò)點(diǎn)且平行于x軸的直線被⊙E所截的弦GH長(zhǎng)為.則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣x2+4x;經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=k(x﹣2)+1(k<0)與點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的圖象交于B,D兩點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)),F(xiàn)為該圖象的最高點(diǎn),若△ADF的面積是△ABF面積的3倍,則k=﹣2.解:∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,),過(guò)點(diǎn)E作EM⊥GH于點(diǎn)M,連接EH,∴MH=GH=.∵點(diǎn)M在過(guò)點(diǎn)(0,)且平行于x軸的直線上,∴EM=﹣=,∵AC=,∴EC=EH=AC=,在Rt△EMH中,EH2=EM2+MH2,即(=)2=()2+()2,整理得x2﹣4x+y=0,即y=﹣x2+4x,∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+4x,故點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為y=﹣x2+4x,如圖,過(guò)點(diǎn)B作BR⊥FA于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DN⊥FA于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)B,D的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,4),∵△ADF的面積是△ABF面積的3倍,即DN=3BR,∴x2﹣2=3(2﹣x1),整理得3x1+x2=8,聯(lián)立,解得,代入3x1+x2=8,解得k=﹣2或2(舍去).故答案為:y=﹣x2+4x;﹣2.12.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考)如圖,AB為半圓O的直徑,CD=AB=2,AD,BC交于點(diǎn)E,且E為CB的中點(diǎn),F(xiàn)為弧AC的中點(diǎn),連接EF,求EF的長(zhǎng).解:連接OE、OF、AC、OC、OD,AC與OF相交于H點(diǎn),如圖,∵CD=AB,∴CD=OC=OD,∴△OCD為等邊三角形,∴∠COD=60°,∴∠CAD=∠COD=30°,∵AB為半圓O的直徑,∴∠ACB=90°,∵E為CB的中點(diǎn),∴OE⊥BC,∵F為弧AC的中點(diǎn),∴OF⊥AC,CH=AH,∴四邊形OECH為矩形,∴∠EOF=90°,OE=CH=AC,設(shè)CE=x,則BE=x,在Rt△ACE中,∵∠CAE=30°,∴AC=CE=x,在Rt△ACB中,(x)2+(2x)2=(4)2,解得x=4,∴AC=4,∴OE=2,在Rt△OEF中,EF===2.13.(2022?西安模擬)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠ADC=90°.連接BD,作CF⊥BD,分別交BD,⊙O于點(diǎn)E,F(xiàn),連接BF,交AD于點(diǎn)M,AB=BC.(1)求證:BF∥CD.(2)當(dāng)AD+CD=5時(shí),求線段BD的長(zhǎng).解:(1)∵AB=BC,∴,∵∠ADC=90°.∴∠ADB=∠BDC=45°,∵CF⊥BD,∴∠DCF=45°,又∠F=∠BDC=45°,∴∠F=∠DCF=45°,∴BF∥CD;(2)如圖:延長(zhǎng)AD至點(diǎn)N,使得DN=DC,連接NC,∵∠ADC=90°,DN=DC,∴∠N=∠DCN=45°,∴sinN=,∵AD+CD=5,∴AD+DN=AN=5,∴∠N=∠BDC,∵∠DAC=∠DBC,∴△NAC∽△DBC,∴,∴,解得:BD=5,∴線段BD的長(zhǎng)為5.考點(diǎn)03:切線的判定與性質(zhì)14.(2022?社旗縣一模)如圖,直線交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心,以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P,當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A. B.或 C. D.或解:∵直線y=﹣x﹣3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,∴令x=0,得y=﹣3,令y=0,得x=﹣4,∴A(﹣4,0),B(0,﹣3),∴OA=4,OB=3,∴AB=5,設(shè)⊙P與直線AB相切于D,連接PD,則PD⊥AB,PD=1,∵∠ADP=∠AOB=90°,∠PAD=∠BAO,∴△APD∽△ABO,∴,即,∴AP=,∴OP=或OP=,∴P(﹣,0)或P(﹣,0),故選:B.15.(2022?新河縣二模)如圖,在直線l上有相距7cm的兩點(diǎn)A和O(點(diǎn)A在點(diǎn)O的右側(cè)),以O(shè)為圓心作半徑為1cm的圓,過(guò)點(diǎn)A作直線AB⊥l.將⊙O以2cm/s的速度向右移動(dòng)(點(diǎn)O始終在直線l上),則⊙O與直線AB在()秒時(shí)相切.A.3 B.3.5 C.3或4 D.3或3.5解:當(dāng)點(diǎn)O到AB的距離為1cm時(shí),⊙O與AB相切,∵開(kāi)始時(shí)O點(diǎn)到AB的距離為7,∴當(dāng)圓向右移動(dòng)7﹣1或7+1時(shí),點(diǎn)O到AB的距離為1cm,此時(shí)⊙O與AB相切,∴t==3(s)或t==4(s),即⊙O與直線AB在3秒或4秒時(shí)相切.故選:C.16.(2021秋?海州區(qū)期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,以CD為直徑作⊙O.將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使所得矩形A'B'CD'的邊A'B'與⊙O相切,切點(diǎn)為E,邊CD'與⊙O相交于點(diǎn)F,則CF的長(zhǎng)為()A.6﹣ B.4 C.5 D.3解:連接OE,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G,作OH⊥B′C于點(diǎn)H,則∠OEB′=∠OHB′=90°,∵矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所得矩形為A′B′CD′,∴∠B′=∠B′CD′=90°,AB=CD=6,BC=B′C=4,∴四邊形OEB′H和四邊形EB′CG都是矩形,OE=OD=OC=3,∴B′H=OE=3,∴CH=B′C﹣B′H=1,∴CG=B′E=OH==2,∵四邊形EB′CG是矩形,∴∠OGC=90°,即OG⊥CD′,∴CF=2CG=4,故選:B.17.(2022?晉江市模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)B是直線y=﹣x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以A為圓心,以線段AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A,當(dāng)⊙A與直線y=﹣x相切時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,﹣1).解:如圖:過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA,垂足為M,當(dāng)⊙A與直線y=﹣x相切時(shí),則AB⊥OB,∴∠ABO=90°,∵點(diǎn)A(2,0),∴OA=2,∵點(diǎn)B是直線y=﹣x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,﹣m),∴OM=BM=m,∴∠MOB=45°,∴∠OAB=90°﹣∠MOB=45°,∴△AOB是等腰直角三角形,∴AB=OB,∵BM⊥OA,∴OM=AM=OA,∴BM=OA=1,∴OM=BM=1,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,﹣1),故答案為:(1,﹣1).18.(2022?宜興市一模)如圖,在四邊形ABCD中,AD=CD=2,CB=AB=6,∠BAD=∠BCD=90°,點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng),⊙O為△DCE的外接圓,當(dāng)⊙O與AD相切時(shí),⊙O的半徑為2;當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí),其半徑為或10﹣6.解:如圖,⊙O與AD相切,連接OD,連接CO并延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)F,∵點(diǎn)O到AD的距離等于⊙O的半徑,且OD是⊙O的半徑,∴OD就是點(diǎn)O到AD的距離,∴AD⊥OD,∴∠ODA=90°,∵AD=CD=2,CB=AB=6,BD=BD,∴△ABD≌△CBD(SSS),∵∠BAD=∠BCD=90°,∴tan∠ADB==,∴∠ADB=∠CDB=60°,∴∠ABD=∠CBD=30°,∠ADC=120°,∴∠ABC=60°,∵OD=OC,∴∠OCD=∠ODC=120°﹣90°=30°,∴∠ODF=30°,∠FOD=∠OCD+∠ODC=60°,∴∠OFD=90°,∴OF=OD=OC,DF=OD?sin60°=OD=OC,∵DF2+CF2=CD2,且CD=2,∴(OC)2+(OC+OC)2=(2)2,∴OC=2或OC=﹣2(不符合題意,舍去),∴⊙O的半徑為2;如圖,點(diǎn)O在CD邊上,∵∠BCD=90°,∴BC⊥OC,∴⊙O與BC相切于點(diǎn)C,∵AD=CD=2,∴OC=OD=CD=×2=,∴⊙O的半徑為.如圖,⊙O與AD相切于點(diǎn)G,連接OG、OD,OC,作OL⊥AD于點(diǎn)L,設(shè)⊙O的半徑為r,∵∠OGA=∠OLA=∠A=90°,∴四邊形OGAL是矩形,∴AL=OG=OD=OC=r,∴DL=2﹣r,作OH⊥CD于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,作KM⊥BC于點(diǎn)M,則DH=CH=CD=,∵∠KMC=∠MCH=∠KHC=90°,∴四邊形MKHC是矩形,∴KM=CH=,∵∠BMK=90°,∠KBM=60°,∴=sin∠KBM=sin60°=,∴,∴BK=2,∵KH∥BC,∴∠OKG=∠ABC=60°,∵∠OGK=90°,∴=tan∠OKG=tan60°=,∴KG=OG=r,∴OL=AG=6﹣2﹣r=4﹣r,∵∠OLD=90°,∴OL2+DL2=OD2,∴(4﹣r)2+(2﹣r)2=r2,整理得r2﹣20r+84=0,解得r=10﹣6,r=10+6(不符合題意,舍去),∴⊙O的半徑為10﹣6,綜上所述,⊙O的半徑為或10+6,故答案為:2;或10﹣6.19.(2021秋?南皮縣校級(jí)月考)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M是AB的中點(diǎn),P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),連接PM,以點(diǎn)P為圓心,PM長(zhǎng)為半徑作⊙P.(1)當(dāng)BP=3時(shí),點(diǎn)C在⊙P上;(填“上“內(nèi)“或“外“)(2)當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí),BP的長(zhǎng)為3或4.解:(1)∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M是AB的中點(diǎn),∴BM=AB=4,∠B=90°,∵PB=3,BC=8,∴PC=5,∵PM===5,∴PM=PC,∴點(diǎn)C在⊙P上,故答案為:上;(2)如圖1,當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí),設(shè)PC=PM=x,在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,∴x2=42+(8﹣x)2,∴x=5,∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.如圖2,當(dāng)⊙P與邊AD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為K,連接PK,則PK⊥AD,四邊形PKDC是矩形.∴PM=PK=CD=2BM,∴BM=4,PM=8,在Rt△PBM中,PB==4.綜上所述,BP的長(zhǎng)為3或4,故答案為:3或4.20.(2022?五華區(qū)校級(jí)模擬)如圖,AB為⊙O直徑,C,D為⊙O上的兩點(diǎn),且∠ACD=2∠A,CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:CE是⊙O的切線;(2)若DE=2CE,AC=4,求⊙O的半徑.(1)證明:連接OC,∵CE⊥DE,∴∠E=90°,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠ACD=2∠A,∴∠ACD=2∠ACO,∴∠ACO=∠DCO,∴∠A=∠DCO,∵∠A=∠D,∴∠D=∠DCO,∴OC∥DE,∴∠E+∠OCE=180°,∴∠OCE=90°,∵OC是⊙O的半徑,∴直線CE與⊙O相切;(2)解:連接BC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°,∵∠OCB+∠BCE=∠OCE=90°,∴∠ACO=∠BCE,∵∠D=∠A=∠ACO,∴∠D=∠BCE,又∠BEC=∠CED=90°,∴△BCE∽△CDE,∵==2,∴BC=CE,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵OC∥ED,∴∠OCB=∠CBE,∴∠CBE=∠OBC,∵∠E=∠ACB=90°,∴△BEC∽△BCA,∴=,∴==,∵AC=4,∴AB=2,∴OA=,即⊙O的半徑為.21.(2022?金水區(qū)校級(jí)模擬)如圖,AE是半圓O的直徑,D是半圓O上不同于A,E的一點(diǎn),作∠FAD=∠DAE,過(guò)點(diǎn)D作DC⊥AF于點(diǎn)C,CD的延長(zhǎng)線與AE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B.(1)求證:CD是半圓O所在圓的切線;(2)若,AC=4,求⊙O的半徑.(1)證明:如圖,連接OD,則OD=OA,∴∠ODA=∠DAE,∵∠FAD=∠DAE,∴∠ODA=∠FAD,∴OD∥AC,∵DC⊥AF于點(diǎn)C,∴∠ODB=∠ACB=90°,∵OD是⊙O的半徑,且CD⊥OD,∴CD是半圓O所在圓的切線.(2)解:設(shè)OD=OA=OE=2m,則AE=4m,∵,AC=4,∴BE=AE=×4m=m,∴OB=BE+OE=3m,AB=BE+AE=5m,∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴===,∴OD=×4=,∴⊙O的半徑長(zhǎng)是.22.(2022?河南模擬)如圖所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,E是AC的中點(diǎn),連接ED.點(diǎn)F在上.且FO⊥AB,連接BF并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)連接AF,試說(shuō)明AF、BG的數(shù)量關(guān)系.解:(1)證明:如圖1,連接OD,AD,∵AB為⊙O直徑,點(diǎn)D在⊙O上,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵E是AC的中點(diǎn),∴DE=AE,∴∠EAD=∠EDA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠OAD+∠EAD=∠BAC=90°,∴∠ODA+∠EDA=90°,即∠ODE=90°,∵OD是半徑,∴DE是⊙O的切線;(2),理由如下:如圖2,∵FO⊥AB,AG⊥AB,∴FO∥AG,∵O為AB的中點(diǎn),∴F是BG的中點(diǎn),∵∠BAC=90°,∴.考點(diǎn)04:切線長(zhǎng)定理23.(2021秋?西崗區(qū)期末)如圖,P為⊙O外一點(diǎn),PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B,CD切⊙O于點(diǎn)E,分別交PA、PB于點(diǎn)C、D,若PA=8,則△PCD的周長(zhǎng)為()A.8 B.12 C.16 D.20解:∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B,CD切⊙O于點(diǎn)E,∴PA=PB=6,AC=EC,BD=ED,∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16,即△PCD的周長(zhǎng)為16.故選:C.24.(2020?河北模擬)如圖,⊙O內(nèi)切于正方形ABCD,O為圓心,作∠MON=90°,其兩邊分別交BC,CD于點(diǎn)N,M,若CM+CN=4,則⊙O的面積為()A.π B.2π C.4π D.0.5π解:設(shè)⊙O與正方形ABCD的邊CD切于E,與BC切于F,連接OE,OF,則四邊形OECF是正方形,∴CF=CE=OE=OF,∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°,∵∠MON=90°,∴∠EOM=∠FON,∴△OEM≌△OFN(ASA),∴EM=NF,∴CM+CN=CE+CF=4,∴OE=2,∴⊙O的面積為4π,故選:C.25.(2022?拱墅區(qū)模擬)如圖,AB、AC、BD是⊙O的切線,切點(diǎn)分別是P、C、D.若AB=10,AC=6,則BD的長(zhǎng)是()A.3 B.4 C.5 D.6解:∵AC、AP為⊙O的切線,∴AC=AP=6,∵BP、BD為⊙O的切線,∴BP=BD,∴BD=PB=AB﹣AP=10﹣6=4.故選:B.26.(2021秋?高陽(yáng)縣期末)如圖,△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片,BC=5cm,⊙O是它的內(nèi)切圓,小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN,則剪下的三角形的周長(zhǎng)為()A.12cm B.7cm C.6cm D.隨直線MN的變化而變化解:設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn),∵△ABC是一張三角形的紙片,AB+BC+AC=17cm,⊙O是它的內(nèi)切圓,點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn),BC=5cm,∴BD+CE=BC=5cm,則AD+AE=7cm,故DM=MF,F(xiàn)N=EN,∴AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).故選:B.27.(2021秋?興化市月考)如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O,過(guò)點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F,交AD邊于點(diǎn)E,若△CDE的周長(zhǎng)為12,則直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14.解:設(shè)AE的長(zhǎng)為x,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∵CE與半圓O相切于點(diǎn)F,∴AE=EF,BC=CF,∵EF+FC+CD+ED=12,∴AE+ED+CD+BC=12,∵AD=CD=BC=AB,∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4;在Rt△CDE中,ED2+CD2=CE2,即(4﹣x)2+42=(4+x)2,解得:x=1,∴AE+EF+FC+BC+AB=14,∴直角梯形ABCE周長(zhǎng)為14.故答案為:14.28.(2015秋?宜興市校級(jí)期中)如圖,△ABC是一張三角形的紙片,⊙O是它的內(nèi)切圓,點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn),已知AD=10cm,小明準(zhǔn)備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形(△AMN),則剪下的△AMN的周長(zhǎng)為20cm.解:∵△ABC是一張三角形的紙片,⊙O是它的內(nèi)切圓,點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn),AD=10cm,∴設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn),故DM=MF,F(xiàn)N=EN,AD=AE,∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).故答案是:20cm.29.(2013?西藏模擬)如圖,AD、AE、CB都是⊙O的切線,切點(diǎn)分別為D、E、F,AD=4cm,則△ABC的周長(zhǎng)是8cm.解:∵AD、AE、CB均為⊙O的切線,D、E、F分別為切點(diǎn),∴CE=CF,BD=BF,AE=AD=4cm,∴△ABC的周長(zhǎng)為:AC+BC+AB=AC+CF+BF+AB=AC+CE+BD+AB=AE+AD=8cm.故答案為:8cm.30.(2021秋?原州區(qū)期末)如圖,PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C,DE分別交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切線長(zhǎng)為8cm,那么△PDE的周長(zhǎng)為16cm.解:∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C,∴PA=PB,DA=DC,EC=EB;∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16cm;∴△PDE的周長(zhǎng)為16cm.故答案為16cm.31.(2011秋?海淀區(qū)期中)如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,CD、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,則CE=2.解:∵CD、CE分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E,∴CD=CE,∵∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴AD=CE,∵AD=2,∴CE=2.故答案為:2.32.(2021?濱??h一模)如圖,PA、PB是⊙O的切線,CD切⊙O于點(diǎn)E,△PCD的周長(zhǎng)為12,∠APB=60°.求:(1)PA的長(zhǎng);(2)∠COD的度數(shù).解:(1)∵CA,CE都是圓O的切線,∴CA=CE,同理DE=DB,PA=PB,∴三角形PCD的周長(zhǎng)=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,即PA的長(zhǎng)為6;(2)∵∠P=60°,∴∠PCE+∠PDE=120°,∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°,∵CA,CE是圓O的切線,∴∠OCE=∠OCA=∠ACD;同理:∠ODE=∠CDB,∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°,∴∠COD=180﹣120°=60°.33.(2018秋?硚口區(qū)期末)如圖,AB為⊙O直徑,PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A、C,PQ⊥PA,PQ交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.(1)求證:OQ=PQ;(2)連BC并延長(zhǎng)交PQ于點(diǎn)D,PA=AB,且CQ=6,求BD的長(zhǎng).(1)證明:連接OP.∵PA、PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A,C,∴PA=PC,OA⊥PA,∵OA=OC,OP=OP,∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP=∠POC,∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.(2)設(shè)OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,∴QC=QD=6,∵QO=QP,∴OC=DP=r,∵PC是⊙O的切線,∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°,在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,∴(6+r)2=62+(2r)2,r=4或0(舍棄),∴OP==4,∵OB=PD,OB∥PD,∴四邊形OBDP是平行四邊形,∴BD=OP=4.34.(2012秋?姜堰市校級(jí)月考)如圖,PA、PB是⊙O的切線,切點(diǎn)分別是A、B,直線EF也是⊙O的切線,切點(diǎn)為Q,交PA、PB于點(diǎn)E、F,已知PA=12cm,∠P=40°①求△PEF的周長(zhǎng);②求∠EOF的度數(shù).解:①∵PA、PB是⊙O的切線,∴PA=PB,又∵直線EF是⊙O的切線,∴EB=EQ,F(xiàn)Q=FA,∴△PEF的周長(zhǎng)=PE+PF+EF=PE+PF+EB+FA=PA+PB=2PA=24cm;②連接OE,OF,則OE平分∠BEF,OF平分∠AFE,則∠OEF+∠OFE=(∠P+∠PFE)+∠(P+∠PEF)=(180°+40°)=110°,∴∠EOF=180°﹣110°=70°.35.(2008秋?恩平市校級(jí)期中)如圖,P是⊙O外的一點(diǎn),PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B,C是上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E.(1)若PA=4,求△PED的周長(zhǎng);(2)若∠P=40°,求∠AFB的度數(shù).解:(1)∵DA,DC都是圓O的切線,∴DC=DA,同理EC=EB,∵P是⊙O外的一點(diǎn),PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B∴PA=PB,∴三角形PDE的周長(zhǎng)=PD+PE+DE=PD+DC+PE+BE=PA+PB=2PA=8,即三角形PDE的周長(zhǎng)是8;(2)連接AB,∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=(180﹣40)=70°,∵BF⊥PB,BF為圓直徑∴∠ABF=∠PBF=90°﹣70°=20°∴∠AFB=90°﹣20°=70°.答:(1)若PA=4,△PED的周長(zhǎng)為8;(2)若∠P=40°,∠AFB的度數(shù)為70°.考點(diǎn)05:正多邊形和圓36.(2022春?新昌縣期末)如圖,在同一平面內(nèi),將邊長(zhǎng)相等的正六邊形、正方形的一邊重合,則∠1的度數(shù)為()A.18° B.25° C.30° D.45°解:∵正方形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是90°,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是=120°,∴∠1=120°﹣90°=30°,故選C.37.(2022?石家莊三模)如圖,邊長(zhǎng)相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起,已知正方形面積是2,那么非陰影部分面積是()A.6 B. C. D.8解:∵正方形面積是2,∴其邊長(zhǎng)為:,如圖,將正八邊形的每一條邊延長(zhǎng)可得正方形ABCD,∵正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°﹣=135°,∴∠AEF=45°,∴△AEF為等腰直角三角形,在Rt△AEF中,AE=EF?sin45°=×=1,∴AB=+1×2=+2.∴正八邊形的面積為:S正方形ABCD﹣4S△AEF==,∴非陰影部分面積是S正八邊形﹣S正方形=﹣2=2+.故選:C.38.(2022?沙灣區(qū)模擬)已知圖標(biāo)(如圖)是由圓的六個(gè)等分點(diǎn)連接而成,若圓的半徑為1,則陰影部分的面積等于.解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)F.∵如圖是由圓的六等分點(diǎn)連接而成,∴△ABC與△ADE是等邊三角形,∵圓的半徑為1,∴AH=,BC=AB=,∴AE=,AF=,∴圖中陰影部分的面積=S△ABC+3S△ADE=××+×××3=,故答案為:.39.(2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬)在正六邊形ABCDEF中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)M,則的值為2.解:∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴∠BCD=∠ABC=120°,AB=BC=CD,∴∠CBD=∠BDC=30°,∠BAC=∠BCA=30°,∴∠ABM=∠ABC﹣∠CBD=90°,∠CBD=∠BCA=30°,∴BM=CM,在Rt△ABM中,∠BAC=30°,∴AM=2BM,∴AM=2CM,∴=2,故答案為:2.40.(2022?咸安區(qū)模擬)如圖,邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,AF∥y軸,將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次,每次旋轉(zhuǎn)60°,當(dāng)n=2024時(shí),頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1).解:根據(jù)題意,連接OA,在正六邊形ABCDEF中,∠AOB=60°,∴△AOB是等腰三角形,OA=OB=AB=2,∴∠AOH=30°,AH=AF=2=1,∴OH==,∵正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置,2024÷6=337...2,∴當(dāng)n=2024時(shí),頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣,1),故答案為:(﹣,1).41.(2022春?思明區(qū)校級(jí)期中)如圖,等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長(zhǎng)為2的⊙O,點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P,O,Q三點(diǎn)處于同一條直線時(shí),停止運(yùn)動(dòng).(1)求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度;(2)若M為弦PB的中點(diǎn),求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CM的最大值.解:(1)∵點(diǎn)P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運(yùn)動(dòng),∴可以假設(shè)∠COQ=n,∠BOP=2n,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=60°,∴∠BCO=2∠A=120°,∵P,O,Q共線,∴120°﹣n+2n=180°,∴n=60°,∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)總長(zhǎng)度==;(2)如圖,取OB的中點(diǎn)J,連接JM,JC,過(guò)點(diǎn)J作JH⊥BC于點(diǎn)H.∵OB=OC=2,∠BOC=120°,∴BC=OB=2,∠OBC=∠OCB=30°,∵BJ=OJ=1,∴JH=BJ=,BH=,∴CH=,∴CJ===,∵BM=MP.BJ=OJ,∴JM=OP=1,∴CM≤JM+CJ=1+,∴CM的最大值為1+.42.(2021秋?日喀則市月考)如圖,正方形ABCD是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形,R=6.求正方形ABCD的邊長(zhǎng)和邊心距.解:過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC,垂足為E.∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形,∴∠BOC==90°,∠OBC=45°,OB=6,∴BE=OE.在Rt△OBE中,∠BEO=90°,由勾股定理可得OE=BE=,∴BC=2BE=.即半徑為6的圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,邊心距為.43.(2019秋?墾利區(qū)期中)七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果,內(nèi)容如下:(1)如圖1,等邊三角形ABC中,在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N,使BM=AN,連接BN、CM,發(fā)現(xiàn)BN=CM,且∠NOC=60°,試說(shuō)明:∠NOC=60°.(2)如圖2,正方形ABCD中,在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N,使AM=BN,連接AN、DM,那么∠DON=90度,并說(shuō)明理由.(3)如圖3,正五邊形ABCDE中,在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N,使AM=BN,連接AN、EM,那么AN=EM,且∠EON=108度.(正n邊形內(nèi)角和(n﹣2)×180°,正多邊形各內(nèi)角相等)(1)證明:∵△ABC是正三角形,∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC,在△ABN和△BCM中,,∴△ABN≌△BCM(SAS),∴∠ABN=∠BCM,又∵∠ABN+∠OBC=60°,∴∠BCM+∠OBC=60°,∴∠NOC=60°;(2)解:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAM=∠ABN=90°,AD=AB,又∵AM=BN,∴△ABN≌△DAM(SAS),∴AN=DM,∠ADM=∠BAN,又∵∠ADM+∠AMD=90°,∴∠BAN+∠AMD=90°∴∠AOM=90°;即∠DON=90°;(3)解:∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠A=∠B,AB=AE,又∵AM=BN,∴△ABN≌△EAM(SAS),∴AN=ME,∴∠AEM=∠BAN,∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°.故答案為:90°,EM,108°.考點(diǎn)06:扇形面積的計(jì)算44.(2022?山西模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,AO是△ABC的中線.以O(shè)為圓心,OA長(zhǎng)為半徑作半圓,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,交BC于點(diǎn)F,G.則圖中陰影部分的面積為()A.2﹣π B. C.4﹣π D.π解:連接DO,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H,如圖,∵AB=AC=4,∠BAC=120°,∴=30°,∴=2,BO===2,∴S△ABO==2=2,∵∠ABO=60°,∴∠AOH=30°,∴==1,AH===,∴S△ADO===,∵∠DOF=90°﹣60°=30°,DO=2,S

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