第06章 重點突破訓練：實數的性質與計算（解析版）

第06章重點突破訓練：實數的性質與計算類型一：實數計算典例：（2019·丹東市第十七中學初二期中）小明和小華做游戲，游戲規(guī)則如下：（1）每人每次抽取四張卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的數或算式；如果抽到底板帶點的卡片，那么減去卡片上的數或算式．（2）比較兩人所抽的4張卡片的計算結果，結果大者為勝者．請你通過計算判斷誰為勝者？【答案】（1）；；（2）小華獲勝．【解析】解：（1）小明抽到卡片的計算結果：﹣﹣+=3﹣﹣2+=；小華抽到卡片的計算結果：﹣3+﹣=2﹣+3﹣=，（2）∵＜，∴小華獲勝．方法或規(guī)律點撥此類題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．鞏固練習1、（2019·富順第三中學校初一期中）計算：（1）；（2）【答案】（1）原式；（2）原式=【解析】解：（1）原式==；（2）原式===．2、（2018·內蒙古初一期末）計算：【答案】-【解析】解：原式．3、（2019·武漢市第十四中學初一期中）計算：（1）﹣+﹣；（2）|﹣|﹣（﹣）﹣|﹣2|．【答案】（1）1；（2）2﹣2．【解析】解：（1）原式=2﹣﹣+1=1；（2）原式=﹣+﹣2+=2﹣2．4、（2019·營山縣化育初級中學校初一期末）計算：.【答案】【解析】解：原式==類型二：以數軸為基礎的實數問題典例：（2019·全國初一單元測試）如圖所示，數軸上表示1和對應點分別為A、B，點B到點A的距離等于點C到點O的距離相等，設點C表示的數為x.(1)請你寫出數x的值；(2)求(x－)2的立方根．【答案】（1）x＝－1；（2）1【解析】解：(1)因為點A、B分別表示1，，所以AB＝－1，即x＝－1；(2)因為x＝－1，所以(x－)2＝(－1－)2＝(－1)2＝1，故(x－)2的立方根為1.方法或規(guī)律點撥考查的是實數與數軸及兩點間的距離，熟知實數與數軸上的點是一、一對應關系是解答此題的關鍵．鞏固練習1、（2019·湖南初二月考）如圖，數軸的正半軸上有A，B，C三點，表示1和的對應點分別為A，B，點B到點A的距離與點C到原點的距離相等，設點C所表示的數為．(1)請你直接寫出的值；(2)求的平方根.【答案】(1)x=-1;(2)1.【解析】（1）∵點A、B分別表示1，，∴AB=-1，即x=-1；（2）∵x=-1，∴原式=(x?)2=(?1?)2＝1，∴1的立方根為1．2、（2019·紹興市越城區(qū)馬山中學初一期中）在數軸上表示下列各數，并回答問題：－2，|－2.5|，－，(－2)2.(1)將上面的幾個數用“＜”連接起來；(2)求數軸上表示|－2.5|和－的這兩點之間的距離．【答案】數軸詳見解析；（1）－＜－2＜|－2.5|＜(－2)2；（2）5.5.【解析】解：各點在數軸上的位置如圖所示：(1)－＜－2＜|－2.5|＜(－2)2.(2)|－2.5|－(－)＝2.5＋3＝5.5.故數軸上表示|－2.5|和－的這兩點之間的距離為5.5.3、如圖，數軸上表示1，2的對應點分別是A、B，點A關于B的對稱點為C則C點表示的數是多少？【答案】2-2【解析】∵數軸上表示1，2的對應點分別為A、B，∴AB=2設B點關于點A的對稱點為點C為x，則有2+x解可得x=2-2故點C所對應的數為2-2類型三：實數的估算典例：（2019·杭錦旗城鎮(zhèn)初級中學初一期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數部分，事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是的小數部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整數部分為2，小數部分為（﹣2）．請解答：（1）的整數部分是，小數部分是．（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求a+b﹣的值．（3）已知x是3+的整數部分，y是其小數部分，直接寫出x﹣y的值．【答案】（1）3；﹣3；（2）4；（3）x﹣y=7﹣．【解析】（1）∵3＜＜4，∴的整數部分是3，小數部分是﹣3；故答案為：3；﹣3．（2）∵2＜＜3，∴a=﹣2，∵6＜＜7，∴b=6，∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．（3）∵2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴3+的整數部分為x=5，小數部分為y=3+﹣5=﹣2．則x﹣y=5﹣（﹣2）=5﹣+2=7﹣．方法或規(guī)律點撥本題考查了估算無理數的大小，解決本題的關鍵是熟記估算無理數的方法．鞏固練習1、2019·益陽市第十七中學初一期末）對于實數a，我們規(guī)定：用符號表示不大于的最大整數，稱為a的根整數，例如：，=3．(1)仿照以上方法計算：=______；=_____．(2)若，寫出滿足題意的x的整數值______．如果我們對a連續(xù)求根整數，直到結果為1為止．例如：對10連續(xù)求根整數2次=1，這時候結果為1．(3)對100連續(xù)求根整數，____次之后結果為1．(4)只需進行3次連續(xù)求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的是____．【答案】（1）2；6；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【解析】解：（1）∵22=4，62=36，72=49,∴6＜＜7，∴[]=[2]=2，[]=6，故答案為2，6；（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案為1，2，3；（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案為3；（4）最大的正整數是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，∴對255只需進行3次操作后變?yōu)?，∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴對256只需進行4次操作后變?yōu)?，∴只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數中，最大的是255，故答案為255．2、（2019·江蘇初二期中）閱讀理解∵在，即，∴.∴的整數部分為1，小數部分為.解決問題已知是的整數部分，是的小數部分，求的平方根.【答案】平方根為【解析】∵，即4<<5，∴1<-3<2，∴-3的整數部分為1，小數部分為-4，即a=1，b=-4，∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，16的平方根是±4，即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.3、（2019·溫州外國語學校初一期中）已知2a-1的算術平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整數部分，求a+2b-c的平方根．【答案】a+2b－c的平方根為.【解析】解：∵2a?1的算術平方根是3，3a+b?1的平方根是±4，∴解得∵9<13<16，∴∴的整數部分是3，即c=3，∴原式6的平方根是4、（2019·揚州市梅嶺中學初二期中）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－9的立方根是2，c是的整數部分，求a＋b＋c的平方根．【答案】±3【解析】解：根據題意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根為±3．類型四：與平方根、立方根相關求解問題典例：（2019·成都市新都區(qū)東湖初級中學初二期中）已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.【答案】±4．【解析】解：∵2m+2的平方根是±4，∴2m+2=16，解得：m=7；∵3m+n+1的平方根是±5，∴3m+n+1=25，即21+n+1=25，解得：n=3，∴m+3n=7+3×3=16，∴m+3n的平方根為：±4．方法或規(guī)律點撥此類問題主要考查平方根，算術平方根，立方根，熟練掌握其知識點與區(qū)別是解此題的關鍵.鞏固練習1、（2019·河南初二期中）已知a+1的算術平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2，求a+b+c的平方根．【答案】±4．【解析】解：∵a+1的算術平方根是1，∴a+1=1，即a=0；∵﹣27的立方根是b﹣12，∴b﹣12=﹣3，即b=9；∵c﹣3的平方根是±2，∴c﹣3=4，即c=7；∴a+b+c=0+9+7=16，則a+b+c的平方根是±4．2、（2017·山東初一期中）已知2a－1的平方根是±3，3a－b＋2的算術平方根是4，求a＋3b的立方根．【答案】2.【解析】解∵2a-1的平方根是±3∴a=5∵3a-b+2的算術平方根是4，a=5∴b=1∴a＋3b=8∴a＋3b的立方根是2即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.3、（2019·青縣第二中學初一期中）已知2a﹣1的平方根是±3，的算術平方根是b，求a+b的平方根．【答案】±3．【解析】∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵的算術平方根是b，即16的算術平方根是b，∴b＝4，∴±±3．4、（2019·黑龍江樺南實驗中學初一期末）我們知道a＋b＝0時，a3＋b3＝0也成立，若將a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我們能否得出這樣的結論：若兩個數的立方根互為相反數，則這兩個數也互為相反數．(1)試舉一個例子來判斷上述猜測結論是否成立；(2)若與互為相反數，求1－的值．【答案】（1）成立；（2）-1【解析】（1）8和-8的立方根分別為2和-2；2和-2互為相反數，則8和-8也互為相反數（舉例符合題意即可），成立.（2）根據（1）的結論，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,則=1-2=-1.故答案為-1.類型五：實數的實際應用典例：（2019·安徽初一期中）某地氣象資料表明:當地雷雨持續(xù)的時間t(h)可以用下面的公式來估計:t2=,其中d(km)是雷雨區(qū)域的直徑.(1)如果雷雨區(qū)域的直徑為9km,那么這場雷雨大約能持續(xù)多長時間?(2)如果一場雷雨持續(xù)了1h,那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是多少(結果精確到0.1km)?【答案】（1）0.9h（2）9.7km【解析】解：(1)當d＝9時，則t2＝，因此t＝＝0.9.答：如果雷雨區(qū)域的直徑為9km，那么這場雷雨大約能持續(xù)0.9h.(2)當t＝1時，則＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.答：如果一場雷雨持續(xù)了1h，那么這場雷雨區(qū)域的直徑大約是9.7km.方法或規(guī)律點撥此類問題首先要根據題意構造方程或算式，再根據平方根、立方根性質求解．鞏固練習1、（2019·全國初一單元測試）一個底面半徑為4cm的圓柱形玻璃杯裝滿水，杯的高度為cm，現將這杯水倒入一個正方體容器中，正好占正方體容器容積的，求這個正方體容器的棱長．(玻璃杯及正方體容器的厚度忽略不計，圓柱體積＝底面積×高)【答案】16cm【解析】設正方體容器的棱長為xcm，根據題意可得：π×42×＝x3，解得：x＝16，答：這個正方體容器的棱長為16cm.2、（2019·全國初一單元測試）解答下列應用題：⑴某房間的面積為17.6m2，房間地面恰好由110塊相同的正方形地磚鋪成，每塊地磚的邊長是多少？⑵已知第一個正方體水箱的棱長是60cm，第二個正方體水箱的體積比第一個水箱的體積的3倍還多81000cm3，則第二個水箱需要鐵皮多少平方米？【答案】（1）每塊地磚的邊長是0.4m；（2）需要鐵皮4.86m2.【解析】（1）每塊地磚的面積為17.6÷110＝0.16（㎡）所以正方形地磚的邊長為答：每塊地磚的邊長是0.4m.（2）由題意可知，第一個正方體水箱的體積為603=216000（cm）3，所以第二個正方體水箱的體積為3216000+81000=729000（cm）3，所以第二個正方體水箱的棱長為=90（cm）3，所以需要鐵皮.90=4.86m2.3、（2019·全國初一單元測試）芳芳同學手中有一塊長方形紙板和一塊正方形紙板，其中長方形紙板的長為3dm，寬為2dm，且兩塊紙板的面積相等．(1)求正方形紙板的邊長(結果保留根號)．(2)芳芳能否在長方形紙板上截出兩個完整的，且面積分別為2dm2和3dm2的正方形紙板？判斷并說明理由．(提示：≈1.414，≈1.732)【答案】（1）dm；（2）不能；【解析】解：(1)因為正方形紙板的面積與長方形紙板的面積相等，所以可得：正方形的邊長為dm；(2)不能；因為兩個正方形的邊長的和約為3.1dm，可得：3.1＞3，所以不能在長方形紙板上截出兩個完整的