第04講 圖形的軸對稱、等腰三角形（2大考點5種解題方法）（原卷版）

第04講圖形的軸對稱、等腰三角形（2大考點5種解題方法）考點考向考點考向一．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應(yīng)點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．二．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．三．作圖-軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的，一般的方法是：①由已知點出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．四．軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．五．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．考點考點精講一．軸對稱的性質(zhì)（共4小題）1．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，點A與點E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．122．（2021秋?臨海市期末）如圖，在△ABC中，點P為AB和BC垂直平分線的交點，點Q與點P關(guān)于AC對稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個角是50°，則∠B＝度．3．（2021秋?溫州校級期中）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點B關(guān)于直線AD的對稱點B′落在AC的延長線上，若BC垂直平分AB′，則的值為（）A． B． C． D．24．（2021秋?椒江區(qū)校級期中）如圖，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E為CD的中點，若∠AEB＝120°，則AB的最大值為．二．軸對稱圖形（共2小題）5．（2021秋?開化縣期末）如圖圖案中，成軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（2021秋?湖州期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個涂黑，使得3個涂黑的正方形成軸對稱圖形，則選擇的方法有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種三．作圖-軸對稱變換（共6小題）7．（2021秋?衢江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根據(jù)上述信息在圖中畫平面直角坐標(biāo)系，并求出△ABC的面積；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，作出△ABC關(guān)于y軸對稱圖形△A1B1C1．8．（2021秋?東陽市期末）如圖都是3×3的正方形網(wǎng)格，點A、B、C均在格點上．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對稱，且M、N為格點．（2）在圖②中，畫一個△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對稱，且D、E、F為格點，并寫出符合條件的三角形共有個．9．（2021秋?開化縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點在網(wǎng)格的格點上．（1）寫出點A，B的坐標(biāo)：A，B．．（2）在圖中作△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1．（3）求△ABC的面積．10．（2021秋?嵊州市期末）已知點A（2，3），點B與點A關(guān)于y軸對稱，點C與點A關(guān)于x軸對稱．（1）在所給的平面直角坐標(biāo)系中作出△ABC．（2）求線段BC的長．11．（2021秋?臺州期末）如圖，△ABC的頂點分別為A（1，3），B（4，5），C（1，5），先將△ABC以第一象限的角平分線所在直線為對稱軸通過軸對稱得到△A′B′C′，再將△A′B′C′以x軸為對稱軸通過軸對稱得到△A″B″C″．（1）畫出△A″B″C″；（2）寫出A″，B″，C″三點的坐標(biāo)；（3）一般地，某一點P（x，y）經(jīng)過這樣的兩次軸對稱變換后得到的點P″的坐標(biāo)為．12．（2021秋?余姚市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的位置如圖所示，（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′（其中點A′，B′，C′分別是點A，B，C的對應(yīng)點，不?畫法）；（2）寫出點A′，B′，C′的坐標(biāo)．四．軸對稱-最短路線問題（共5小題）13．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖所示，點P為∠O內(nèi)一定點，點A，B分別在∠O的兩邊上，若△PAB的周長最小，則∠O與∠APB的關(guān)系為（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APB C．∠O+∠APB＝180° D．2∠O+∠APB＝180°14．（2021春?郯城縣期中）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C． D．15．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B，C，P為線段BC上一點，連結(jié)PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，則AP+DP的最小值為．16．（2021秋?諸暨市期中）如圖，△ABC中，AD垂直BC于點D，且AD＝BC，BC上方有一動點P滿足，則點P到B、C兩點距離之和最小時，∠PBC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°17．（2021秋?義烏市期中）如圖，A、B兩個小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，它們到河流的距離AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)要在河流邊修建一自來水廠分別向兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬元．（1）請在河流上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費用最少．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）最低費用為多少？五．等腰三角形的性質(zhì)（共7小題）18．（2021秋?嵊州市期末）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延長BC到D，在∠ACD內(nèi)作射線CE，使得∠ECD＝15°．過點A作AF⊥CE，垂足為F．若AF＝，則AB的長為（）A． B．2 C．4 D．619．（2021秋?臺州期末）如圖，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．65° C．70° D．75°20．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度數(shù)．21．（2021秋?東陽市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D為BC邊上的一點，E點在AC邊上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，則∠CDE＝（）A．14° B．35° C．20° D．30°22．（2021秋?東陽市期末）若等腰三角形中有兩邊長分別為4和5，則這個三角形的周長為（）A．13 B．12 C．12或13 D．13或1423．（2021秋?長興縣期中）已知一個三角形的三條邊的長分別為：n+6，3n，n+2（n為正整數(shù)）．若這個三角形是等腰三角形，求它的三邊的長．24．（2021秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，連結(jié)CD，BE，BD＝BC＝BE．（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度數(shù)；（2）設(shè)∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020·浙江紹興市·）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2020·臺州市書生中學(xué)八年級期中）下面選項中的四邊形不是軸對稱圖形的是（）A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形3．（2020·浙江八年級期末）下列圖形屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（2019·浙江寧波市·八年級期中）下列圖形不是軸對稱圖形的是（）A．線段 B．等腰三角形 C．角 D．有一個內(nèi)角為的直角三角形5．（2021·浙江）若等腰三角形的頂角為，則它腰上的高線與底邊的夾角等于（）A． B． C． D．6．（2021·浙江八年級期末）如圖，，點B和點C是對應(yīng)頂點，，記，當(dāng)時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．7．（2021·浙江八年級期末）在中，，若，則為（）A． B． C．或 D．8．（2021·浙江八年級期末）如圖所示，是將長方形紙片沿折疊得到的，圖中（包括實線、虛線在內(nèi)）共有全等三角形（）對A．2 B．3 C．4 D．59．（2021·臨海市外國語學(xué)校）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．65° D．70°10．（2021·衢州市實驗學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級期末）下列四個標(biāo)志是關(guān)于安全警示的標(biāo)志，在這些標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．11．（2020·浙江省臨海市臨海中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC紙片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△ADE的周長為是（）A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm二、填空題12．（2021·諸暨市濱江初級中學(xué)八年級期中）已知等腰三角形有一邊長為5，一邊長為2，則周長為_____．13．（2021·浙江八年級期末）如圖，在中，的中垂線交于點D，交于點E，如果的周長為22，那么的周長為_______．14．（2021·浙江）已知等腰的一個內(nèi)角為，則的度數(shù)為________．15．（2020·浙江紹興市·）將圖1中紙片的A點以為折線往下折，A點恰好落在上，如圖2所示，再分別以圖2的為折線，將C，D兩點往上折，使得A、B、C、D、E五點均在同一平面上，如圖3所示，若圖1中的，則圖3中的度數(shù)____度．16．（2020·浙江八年級期末）如圖，將正方形沿對折，使得與重合，得到折痕后展開點分別在邊上，再沿折疊，使得點落到點．折痕與相交于點．若，則為________度．17．（2021·浙江八年級期末）在中，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示放置，頂點P在線段上滑動，三角尺的直角邊始終經(jīng)過點C，并且與的夾角，斜邊交于點D．在點P的滑動過程中，若是等腰三角形，則夾角的大小是_____18．（2021·浙江八年級期末）如圖，在中，，點D在邊上，關(guān)于直線，對稱，的角平分線交邊于點G、連接，當(dāng)?shù)闹档扔赺______時，為等腰三角形．19．（2020·浙江杭州市·）給出如下三個圖案，它們具有的公共特點是：________．（寫出1個即可）20．（2020·浙江紹興市·八年級月考）如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是_____________．21．（2020·浙江金華市·）如圖，在中，，，為邊上的點，連接．如果將沿直線翻折后，點恰好落在邊的中點處，那么點到的距離