第06講 圓與正多邊形單元復(fù)習(xí)與測試-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)核心考點+重難點講練與測試（滬教版）（解析版）

第06講圓與正多邊形單元復(fù)習(xí)與測試【考點剖析】一．垂徑定理（共1小題）1．如圖，已知A、B、C、D四點都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個說法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝2∠COD，正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，∴，故①正確；連接AB，AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②錯誤；∴，∴OC⊥BD，故③正確；∵，∴∠AOD＝3∠BOC，故④不正確；故選：B．【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共2小題）2．（2022春?嘉定區(qū)期中）如圖，已知⊙O中，直徑AB平分弦CD，且交CD于點E，如果OE＝BE，那么弦CD所對的圓心角是120度．【分析】連接OC，BC，OD，利用等邊三角形的判定得出△OCB是等邊三角形，進(jìn)而得出∠COB＝60°，進(jìn)而解答即可．【解答】解：連接OC，BC，OD，∵直徑AB平分弦CD，OE＝BE，∴OC＝BC＝OB，∴△OCB是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，即弦CD所對的圓心角是120°，故答案為：120【點評】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定得出△OCB是等邊三角形．3．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）如圖，⊙O的半徑長為5，AB為⊙O的直徑，弦AC的長為8，點D為的中點．求弦DC的長．【分析】利用垂徑定理和勾股定理的知識求解，得DE⊥AC，且AE＝EC，由勾股定理得：DC＝＝即可．【解答】解：連接DO并延長交AC于點E，∵點D為弧ABC的中點，∵DE⊥AC，且AE＝EC，AC＝8，．AE＝EC＝4∵DO＝AO＝5，∴OE＝3，∴DE＝8，∴在Rt△DEC中，DC＝＝．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．三．圓周角定理（共6小題）4．（2022春?普陀區(qū)校級期中）如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，點P是弦BC上一點，聯(lián)結(jié)OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的長．【分析】過點O作OD⊥BC，利用垂徑定理即勾股定理求解即可．【解答】解：過點O作OD⊥BC，∴∠CDO＝∠BDO＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠POD＝45°，∴OD＝DP，設(shè)OD＝x，則DP＝x，∵PC＝1，∴CD＝1+x，∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，∴CD＝BD＝1+x，∵⊙O的直徑AB＝10，∴OB＝5，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，即52＝x2+（1+x）2，∴x＝3或x＝﹣4（舍去），即OD＝3，∴BD＝CD＝4，∴BC＝8．【點評】此題考查了垂徑定理，熟記垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，已知⊙O中，弦AB＝8，點P是弦AB上一點，OP＝3，∠OPB＝45°．（1）求OB的長；（2）過點P作弦CD與弦AB垂直，求證：AB＝CD．【分析】（1）過點O作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝AB＝4，根據(jù)sin45°＝，得到OE的長，根據(jù)勾股定理即可得出OB的長；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)先證明OE＝OF，根據(jù)弦心距相等即可得到弦相等．【解答】解：（1）過點O作OE⊥AB于E，則AE＝BE＝AB＝4，∵OP＝3，∠OPB＝45°，sin45°＝，∴OE＝3×＝3，∴OB＝＝＝5；（2）證明：過點O作OF⊥CD于F，∵CD⊥AB，∴∠FPE＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠FPO＝45°，∴∠FPO＝∠OPE，∴OP平分∠EPF，∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE＝OF，∴AB＝CD．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握在同圓或等圓中，根據(jù)弦心距相等得到弦相等是解題的關(guān)鍵．6．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，E是弧BC的中點，OE交弦BC于點D．如果BC＝2，DE＝1，那么AB的長為6．【分析】根據(jù)垂徑定理得出OE⊥BC，BD＝CD，根據(jù)勾股定理得出OD2+BD2＝OB2，求出（r﹣1）2+（）2＝r2，求出r，再求出AB即可．【解答】解：設(shè)OB＝r，則OD＝r﹣1，∵E是弧BC的中點，OE過圓心O，BC＝2，∴OE⊥BC，BD＝CD＝，∴∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，（r﹣1）2+（）2＝r2，解得：r＝3，即OB＝3，∴AB＝3+3＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識點，能根據(jù)垂徑定理得出OE⊥BC和BD＝CD是解此題的關(guān)鍵．7．（2022春?長寧區(qū)校級月考）如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，點P是弦BC上一點，聯(lián)結(jié)OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的長．【分析】過O作OD⊥BC于D，求出∠OPB＝∠POD，根據(jù)等腰三角形的判定得出PD＝OD，設(shè)PD＝OD＝x，則根據(jù)垂徑定理得出BD＝CD＝x+1，再個勾股定理求出x即可．【解答】解：過O作OD⊥BC于D，則∠ODP＝∠ODB＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠POD＝∠OPB＝45°，∴PD＝OD，設(shè)PD＝OD＝x，∵直徑AB＝2，∴OB＝OA＝，∵OD⊥BC，OD過圓心O，∴BD＝CD，∵PC＝1，∴BD＝CD＝x+1，在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2，即（x+1）2+x2＝（）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（不符合題意，舍去），即BD＝CD＝2+1＝3，即BC＝3+3＝6．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．8．（2022春?長寧區(qū)校級期中）已知：如圖，在△ABC中，以邊CA長為半徑的⊙C交邊AB于點D、邊BC于點E，聯(lián)結(jié)DE．如果∠EDB＝45°，BD＝5，BE＝．求：（1）∠C的度數(shù)；（2）⊙C的半徑長及弦AD的長．【分析】（1）如圖1，作一個的圓周角∠AFE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形ADEF對角互補(bǔ)可得∠F＝45°，最后由圓周角定理可得∠C的度數(shù)；（2）如圖2，作輔助線構(gòu)建直角三角形，證明DH＝EH，設(shè)DH＝a，則EH＝a，BH＝5﹣a，根據(jù)勾股定理可得a1＝2，a2＝3，分情況計算可得答案．【解答】解：（1）如圖1，在優(yōu)弧上取一點F，連接AF，EF，∵∠EDB＝45°，∴∠ADE＝180°﹣45°＝135°，∵∠F+∠ADE＝180°，∴∠F＝45°，∴∠C＝2∠F＝90°；（2）如圖2，過點E作EH⊥AB于H，過點C作CG⊥AB于G，∴AG＝DG，∵∠BDE＝45°∴DH＝EH，設(shè)DH＝a，則EH＝a，BH＝5﹣a，由勾股定理得：EH2+BH2＝BE2，∴a2+（5﹣a）2＝（）2，∴a1＝2，a2＝3，當(dāng)a＝2時，EH＝2，BH＝3，∵∠ACG+∠BCG＝∠BCG+∠B，∴∠B＝∠ACG，∴tan∠ACG＝tanB，∴＝，設(shè)AG＝2x，CG＝3x，∴AC＝CE＝x，∴tanB＝＝，∴＝，∴x＝2，∴⊙O的半徑AC＝x＝2，AD＝4x＝8．當(dāng)a＝3時，EH＝3，BH＝2，∵tan∠ACG＝tanB，∴＝，設(shè)AG＝3x，CG＝2x，∴AC＝CE＝x，∴tanB＝＝，∴＝，∴x＝﹣3，此種情況不符合題意，綜上，⊙O的半徑AC＝2，AD＝8．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，勾股定理等知識，會利用正切的定義和勾股定理列方程進(jìn)行幾何計算是解決問題的關(guān)鍵．9．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖1，點C是半圓AB上一點（不與A、B重合），OD⊥BC交弧BC于點D，交弦BC于點E，連接AD交BC于點F．（1）如圖1，如果AD＝BC，求∠ABC的大?。唬?）如圖2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）連接OF，⊙O的直徑為4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的長．【分析】（1）連接OC，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系定理和圓周角定理解得即可；（2）連接AC，利用垂徑定理和勾股定理解答即可；（3）利用分類討論的思想方法，分①當(dāng)DF＝OF時，②當(dāng)DF＝OD＝2時兩種情況解答：利用平行線分線段成比例定理，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）連接OC，如圖，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）連接AC，如圖，∵OD⊥BC，∴E是BC中點，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．設(shè)AC＝3x，則DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①當(dāng)DF＝OF時，如圖，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②當(dāng)DF＝OD＝2時，如圖，設(shè)OE＝x，則DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．過點O作OH⊥AD于H，則AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．綜上所述，AD長或2．【點評】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理和圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．四．點與圓的位置關(guān)系（共1小題）10．（2022?嘉定區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝2，以點A為圓心，半徑為8的圓記作圓A，那么下列說法正確的是（）A．點C在圓A內(nèi)，點B在圓A外 B．點C在圓A上，點B在圓A外 C．點C、B都在圓A內(nèi) D．點C、B都在圓A外【分析】由解直角三角形求出AC＝4，由AC和AB與圓的半徑的大小關(guān)系，即可判斷出點C和點B與⊙A的位置關(guān)系，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanA＝2，∴，即，∴AC＝4，∴AC＜8，∴點C在⊙A的內(nèi)部，∵AB＞BC，∴AB＞8，∴點B在⊙A的外部，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形，點與圓的位置關(guān)系，掌握解直角三角形和會判斷點與圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．五．三角形的外接圓與外心（共1小題）11．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的長是10．【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADO＝90°，從而可得OD∥BC，進(jìn)而可得AD＝DB＝AB＝4，AE＝EF，然后利用三角形的中位線定理可得CF＝2OE，最后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出OA的長，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴AD＝DB＝AB＝4，AE＝EF，∴OE是△AFC的中位線，∴CF＝2OE，在Rt△ADO中，AO＝＝＝5，∴CF＝2OE＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握垂徑定理，以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．六．直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）12．（2021?楊浦區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，以點A（2，1）為圓心，1為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【分析】本題可先求出圓心到x軸的距離，再根據(jù)半徑比較，若圓心到x軸的距離大于圓心距，x軸與圓相離；小于圓心距，x軸與圓相交；等于圓心距，x軸與圓相切．【解答】解：∵點A（2，1）到x軸的距離為1，圓的半徑＝1，∴點A（2，1）到x軸的距離＝圓的半徑，∴圓與x軸相切；故選：B．【點評】此題考查的是圓與直線的關(guān)系，即圓心到直線的距離大于圓心距，直線與圓相離；小于圓心距，直線與圓相交；等于圓心距，則直線與圓相切．13．（2021?崇明區(qū)二模）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點A與點B，如果⊙O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為3cm，線段OA＝5cm，線段OB＝3cm，即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點A在⊙O外．點B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．14．（2021?奉賢區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點O在邊AB上，且BO＝2OA．以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（）A．6 B．10 C．15 D．16【分析】根據(jù)勾股定理得到AB＝＝30，求得OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴AB＝＝30，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OD＝6，OE＝16，當(dāng)⊙O過點C時，連接OC，根據(jù)勾股定理得OC＝＝2，如圖，∵以點O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點，∴r＝6或10或16或2，故選：C．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．七．切線的性質(zhì)（共3小題）15．（2021春?徐匯區(qū)校級月考）如圖，⊙M與x軸相切于原點，平行于y軸的直線交⊙M于P、Q兩點，P點在Q點的下方．若點P的坐標(biāo)是（2，1），則圓心M的坐標(biāo)是（0，2.5）．【分析】先連接MP，過P作PA⊥y軸于A，再設(shè)M點的坐標(biāo)是（0，b），且b＞0，由于PA⊥y軸，利用勾股定理易得AP2+AM2＝MP2，即22+（b﹣1）2＝b2，解即可．【解答】解：連接MP，過P作PA⊥y軸于A，設(shè)M點的坐標(biāo)是（0，b），且b＞0，∵PA⊥y軸，∴∠PAM＝90°，∴AP2+AM2＝MP2，∴22+（b﹣1）2＝b2，解得b＝2.5，故答案是（0，2.5）．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，并知道MP＝OM．16．（2021?寶山區(qū)三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以點A為圓心，1為半徑作⊙A，將⊙A繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°），若⊙A與直線BC相切，則∠α的余弦值為．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠A′DC＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到CA′＝CA＝3，根據(jù)余弦的定義計算，得到答案．【解答】解：設(shè)將⊙A繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，點A至點A′時，⊙A′與直線BC相切相切于點D，連接A′D，則∠A′DC＝90°，A′D＝1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CA′＝CA＝3，∴cos∠CA′D＝＝，∵AC∥A′D，∴α＝∠CA′D，∴∠α的余弦值為，故答案為：．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．17．（2020秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的切線，切點為A，連接AO、BO，BO與⊙O交于點C，延長BO與⊙O交于點D，連接AD．若∠ABO＝36°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．54° B．36° C．32° D．27°【分析】由切線的性質(zhì)得出∠OAB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝∠OAD，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵AB為⊙O的切線，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC＝∠AOB＝27°；故選：D．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．八．圓與圓的位置關(guān)系（共4小題）18．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果兩圓的直徑分別為6和14，圓心距為4，那么這兩圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【分析】求出兩圓的半徑，求出7﹣3和7+3的值，與4比較即可．【解答】解：∵兩圓直徑分別為6和14，∴兩圓半徑分別為3和7，∵圓心距為4，7﹣3＝4，∴兩圓位置關(guān)系為內(nèi)切．故選：B．【點評】本題考查了對兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：外離時d＞R+r；相交時R﹣r＜d＜r+R；外切時d＝R+r；內(nèi)切時d＝R﹣r．19．（2020秋?奉賢區(qū)期末）如果⊙O1和⊙O2內(nèi)含，圓心距O1O2＝4，⊙O1的半徑長是6，那么⊙O2的半徑r的取值范圍是（）A．0＜r＜2 B．2＜r＜4 C．r＞10 D．0＜r＜2或r＞10【分析】首先由題意知⊙O1與⊙O2兩圓內(nèi)含，則知兩圓圓心距d＜R﹣r，分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：根據(jù)題意兩圓內(nèi)含，故知r﹣6＞4或者6﹣r＞4，解得0＜r＜2或r＞10．故選：D．【點評】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．兩圓外離，則P＞R+r；外切，則P＝R+r；相交，則R﹣r＜P＜R+r；內(nèi)切，則P＝R﹣r；內(nèi)含，則P＜R﹣r．20．（2020秋?閔行區(qū)期末）已知⊙A與⊙B的半徑分別是6和8，圓心距AB＝2，那么⊙A與⊙B的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．內(nèi)含【分析】求出兩圓半徑的和與差，再與圓心距比較大小，確定兩圓位置關(guān)系；設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為d：外離，則d＞R+r；外切，則d＝R+r；相交，則R﹣r＜d＜R+r；內(nèi)切，則d＝R﹣r；內(nèi)含，則d＜R﹣r．【解答】解：因為8﹣6＝2，圓心距AB＝2，所以d＝R﹣r，所以兩圓內(nèi)切．故選：B．【點評】考查了圓與圓的位置關(guān)系，本題利用了兩圓內(nèi)切，則d＝R﹣r．21．（2020秋?崇明區(qū)期末）如果大小不同的兩個圓外切時的圓心距為5厘米，并且它們內(nèi)切時的圓心距為1厘米，那么其中較大圓的半徑為3厘米．【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系是內(nèi)切，則圓心距＝兩圓半徑之差，外切，則圓心距＝兩圓半徑之和，列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)大圓半徑為x厘米，小圓的半徑為y厘米，∵兩個圓外切時的圓心距為5厘米，并且它們內(nèi)切時的圓心距為1厘米，∴，解得x＝3，∴大圓半徑為3厘米，故答案為3．【點評】此題主要考查了兩圓的位置關(guān)系，用到的知識點為：兩圓內(nèi)切，圓心距＝兩圓半徑之差，外切時，r+R＝d．九．正多邊形和圓（共21小題）22．（2022?浦東新區(qū)二模）如果正多邊形的中心角是36°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是10．【分析】一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：由題意可得：邊數(shù)為360°÷36°＝10，則它的邊數(shù)是10．故答案為10．【點評】本題考查了正多邊形的計算，根據(jù)多邊形中心角的個數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系解題，本題是一個基本的問題．23．（2022?徐匯區(qū)二模）如果一個正多邊形的中心角等于72°，那么這個正多邊形的對稱軸共有5條．【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等，列式計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：這個多邊形的邊數(shù)是360°÷72°＝5，∴這個正多邊形的對稱軸共有5條．故答案為：5．【點評】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算，掌握正多邊形的中心角和邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（2022?金山區(qū)二模）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n＝12．【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，則∠BOC＝30°，即可得到n的值．【解答】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AB，AC分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，∴n＝＝12，即BC恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．【點評】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．25．（2022?虹口區(qū)二模）如果正三角形的邊心距是2，那么它的半徑是4．【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出：∠ACO＝∠OCB＝30°，進(jìn)而得出CO即可．【解答】解：（1）過點O作OD⊥BC于點D，∵⊙O的內(nèi)接正三角形的邊心距為2，∴OD＝2，由正三角形的性質(zhì)可得出：∠ACO＝∠OCB＝30°，∴CO＝2DO＝4，故答案為：4．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠ACO＝∠OCB＝30°是解題關(guān)鍵．26．（2022?長寧區(qū)二模）已知一個正多邊形的中心角為45°，邊長為5，那么這個正多邊形的周長等于40．【分析】先利用中心角求出正多邊形的邊數(shù)，再利用正多邊形的性質(zhì)求出正多邊形的周長．【解答】解：∵該正多邊形的中心角為45°，∴正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°＝8，∴該正多邊形的周長為5×8＝40．故答案為40．【點評】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，數(shù)記正多邊形的中心角與邊長的關(guān)系是解題關(guān)鍵．27．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為．【分析】設(shè)O是正六邊形的中心，AB是正六邊形的一邊，OC是邊心距，則△OAB是正三角形，△OAB的面積的六倍就是正六邊形的面積．【解答】解：設(shè)O是正六邊形的中心，AB是正六邊形的一邊，OC是邊心距，∠AOB＝60°，OA＝OB＝3，則△OAB是正三角形，∵OC＝OA?sinA＝，∴S△OAB＝AB?OC＝＝，∴正六邊形的面積為，故答案為：．【點評】本題考查的正多邊形和圓，理解正六邊形被半徑分成六個全等的等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．28．（2022?長寧區(qū)模擬）已知正六邊形外接圓的半徑為3，那么它的邊心距為．【分析】根據(jù)正六邊形的特點，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識解決．【解答】解：如圖，連接OA、OB；過點O作OG⊥AB于點G．在Rt△AOG中，∵OA＝3，∠AOG＝30°，∴OG＝OA?cos30°＝3×＝．故答案為：．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．29．（2022?徐匯區(qū)模擬）如果一個正六邊形的邊心距的長度為cm，那么它的半徑的長度為2cm．【分析】如圖，作OB⊥AB于B點，連接AO，利用解直角三角形求得AB的值后即可求得周長．【解答】解：作OB⊥AB于B點，連接AO，則OB＝，∠AOB＝30°，∴AB＝OB×tan∠AOB＝×tan30°＝1（cm），∴邊長＝2cm，∴它的半徑的長度為2cm．故答案為：2．【點評】本題考查了正多邊形的有關(guān)的計算，解題的關(guān)鍵是正確地構(gòu)造直角三角形．30．（2022?寶山區(qū)模擬）正五邊形的一個中心角等于72度．【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正n邊形的圓中心角為：，則代入求解即可．【解答】解：正十邊形的中心角為：＝72°．故答案為：72°．【點評】此題考查了正多邊形的中心角的知識．題目比較簡單，注意熟記定義．31．（2022春?金山區(qū)校級月考）正五邊形的中心角的度數(shù)是72°．【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正n邊形的圓中心角為，則代入求解即可．【解答】解：正五邊形的中心角為：＝72°．故答案為：72°．【點評】此題考查了正多邊形的中心角的知識．題目比較簡單，注意熟記定義．32．（2022春?徐匯區(qū)校級月考）若正四邊形的半徑是1，則它的邊長是．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由四邊形ABCD是正四邊形，可得∠AOB＝90°，然后由勾股定理求得它的邊長．【解答】解：如圖：根據(jù)題意得：OA＝OB＝1，∵四邊形ABCD是正四邊形，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝．即它的邊長是：．故答案為：．【點評】此題考查了正多邊形與圓的知識．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．33．（2022?黃浦區(qū)校級二模）如果一個正九邊形的邊長為a，那么這個正九邊形的半徑是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正多邊形與圓的中心角的計算方法以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計算即可．【解答】解：如圖，設(shè)圓內(nèi)接正九邊形的一條邊為AB＝a，連接OA、OB，∴∠AOB＝＝40°，過點O作OM⊥AB，交AB于點M，則AM＝BM＝a，∠AOM＝20°，在Rt△OAM中，∵sin∠AOM＝，∴OA＝＝＝，故選：C．【點評】本題考查正多邊形和圓，解直角三角形，掌握正多邊形的中心角的計算方法以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．34．（2022春?長寧區(qū)校級期中）已知正六邊形的邊長為6cm，那么它的邊心距等于3cm．【分析】已知正六邊形的邊長為6，欲求邊心距，可通過邊心距、邊長的一半和內(nèi)接圓半徑構(gòu)造直角三角形，通過解直角三角形求出邊心距．【解答】解：如圖，在Rt△AOG中，OA＝6cm，∠AOG＝30°，∴OG＝OA?cos30°＝6×＝3（cm）．故答案為：3．【點評】此題主要考查正多邊形的計算問題，屬于常規(guī)題．解答時要注意以下問題：①熟悉正六邊形和正三角形的性質(zhì)；②作出半徑和邊心距，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的知識解答．35．（2022春?虹口區(qū)校級期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，設(shè)＝，＝，那么向量＝2+．【分析】連接CF．利用三角形法則：＝+，求出即可．【解答】解：連接CF．∵多邊形ABCDEF是正六邊形，AB∥CF，CF＝2BA，∴＝2，∵＝+，∴＝2+，故答案為：2+．【點評】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考常考題型．36．（2022春?青浦區(qū)期中）已知正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為144°，則正多邊形的邊長與半徑的比值為．【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360°求出正多邊形的邊數(shù)，過點O作OC⊥AB于點C，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形求解．【解答】解：∵正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)為144°，∴正多邊形每個外角的度數(shù)為36°，∴360÷36＝10（邊），如圖，∠AOB＝360°÷10＝36°，過點O作OC⊥AB于點C，∵OA＝OB，OC⊥AB∴∠AOC＝18°，AB＝2AC，設(shè)半徑為1，∵sin18°＝＝AC，∴AB＝2AC＝2sin18°，∴正多邊形的邊長與半徑的比值為＝2sin18°＝．故答案為：．【點評】本題考查了正多邊形和圓，根據(jù)多邊形的外角和是360°求出正多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．37．（2022?奉賢區(qū)二模）如果一個矩形經(jīng)過一個多邊形的各頂點，那么我們把這個矩形叫做這個多邊形的外接矩形，如圖，矩形ABCD是正六邊形EFGHPQ的外接矩形，如果正六邊形EFGHPQ的邊長為2，那么矩形ABCD長邊與短邊的比是（）A．2： B．2： C．3： D．：1【分析】根據(jù)正六邊形、矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出矩形ABCD的長邊與短邊，進(jìn)而求出答案．【解答】解：∵正六邊形EFGHPQ，∴∠EFG＝120°，∴∠AFE＝180°﹣120°＝60°，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，EF＝2，∴AF＝EF＝1，AE＝EF＝，由對稱性可知，AE＝DE＝，AF＝BG＝1，∴AD＝2，AB＝1+2+1＝4，∴矩形ABCD長邊與短邊的比是4：2＝2：，故選：A．【點評】本題考查正多邊形與圓，矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提．38．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，已知點G是正六邊形ABCDEF對角線FB上的一點，滿足BG＝3FG，聯(lián)結(jié)FC，如果△EFG的面積為1，那么△FBC的面積等于4．【分析】連接CE，先利用正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BFE＝∠CEF＝90°，進(jìn)而可判斷出BF∥CE；再利用平行線的性質(zhì)：兩平行線之間的距離處處相等可得＝＝3，即可計算出△GBC的面積；最后再次利用該平行線的性質(zhì)可得S△FBC＝S△GBC+S△GEF計算即可得答案．【解答】解：如圖，連接CE，正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為：180×（6﹣2）÷6＝120°，∴∠A＝∠AFE＝120°，∵AF＝AB，∴∠AFB＝∠ABF＝（180﹣120）÷2＝30°，∴∠BFE＝∠AFE﹣∠BFE＝120﹣30＝90°，同理可得∠CEF＝90°，∴∠BFE+∠CEF＝180°，∴BF∥CE，∴＝，即，∴S△GBC＝3，∴S△FBC＝S△GBC+S△GEF＝3+1＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握等高不等底的兩個三角形面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．39．（2022?松江區(qū)二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是5．【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°和正多邊形的中心角相等，列式計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：這個多邊形的邊數(shù)是360°÷72°＝5，故答案為：5．【點評】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算，掌握正多邊形的中心角和邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．40．（2022春?浦東新區(qū)期中）一個正n邊形的一個內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則n＝6．【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)中心角的求法求出中心角的度數(shù)列方程求解即可．【解答】解：∵正n邊形的一個內(nèi)角和＝（n﹣2）?180°，∴正n邊形的一個內(nèi)角＝，∵正n邊形的中心角＝，∴＝2×，解得，n＝6．（經(jīng)檢驗可知n＝6是原方程的解）故答案為：6．【點評】此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形的內(nèi)角和公式及中心角的求法．41．（2022春?長寧區(qū)校級月考）半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為．【分析】欲求△ABC的邊長，把△ABC中BC邊當(dāng)弦，作BC的垂線，在Rt△BOD中，求BD的長；根據(jù)垂徑定理知：BC＝2BD，從而求正三角形的邊長．【解答】解：如圖所示．在Rt△BOD中，OB＝1，∠OBD＝30°，∴BD＝cos30°×OB＝×1＝．∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝2×＝．故它的內(nèi)接正三角形的邊長為．故答案為：．【點評】本題考查了正三角形和外接圓，要知道圓心既是內(nèi)心也是外心，所以BO平分∠ABC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)相結(jié)合，得出結(jié)論．42．（2022春?黃浦區(qū)期中）中心角為60°的正多邊形有6條對稱軸．【分析】利用360度除以中心角的度數(shù)即可求得多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)正n邊形有n條對稱軸即可求解．【解答】解：正多邊形的邊數(shù)是＝6．則正多邊形有6條對稱軸．故答案是：6．【點評】本題考查了多邊形的計算以及正多邊形的性質(zhì)，理解正n邊形有n條對稱軸是關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．三點確定一個圓 C．相等的圓心角所對弦相等 D．直徑為圓中最長的弦【答案】D【分析】畫出反例圖形即可判斷A、C；根據(jù)當(dāng)三點在同一直線上時，過三點不能做一個圓，即可判斷B，根據(jù)弦和直徑的定義即可判斷D．【詳解】A.如圖，AB為弦時，直徑CD和AB不垂直，故本選項錯誤；B.不在同一條直線上三點確定一個圓，當(dāng)三點在同一直線上時，過三點不能做一個圓，故本選項錯誤；C.如圖，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本選項錯誤；D.直徑是圓中最長的弦，故本選項錯誤.故選D.【點睛】考查確定圓的條件，圓的認(rèn)識，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，難度不大.2．如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD=2，tan∠OAB=，則AB的長是（）A．4 B．2 C．8 D．4【答案】C【詳解】試題解析：連接OC，∵大圓的弦AB切小圓于點C，∴OC⊥AB，∴AB=2AC，∵OD=2，∴OC=2，∵tan∠OAB=，∴AC=4，∴AB=8，故選C．考點：切線的性質(zhì)．3．如圖點I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC=130°，則∠BAC=（）A．65°

B．50°

C．80°

D．100°【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外接圓得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°．故選C．【點睛】本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)數(shù)解此題的關(guān)鍵．4．已知⊙O半徑為3，M為直線AB上一點，若MO=3，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相切或相離 D．相切或相交【答案】D【詳解】試題解析“因為垂線段最短，所以圓心到直線的距離小于等于3．此時和半徑3的大小不確定，則直線和圓相交、相切都有可能．故選D．點睛：直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系：若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．5．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，，若∠DAB=58o，則∠CAB=（）A．20o B．22o C．24o D．26o【答案】D【詳解】試題解析：連結(jié)BD，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-58°=32°，∵，∴∠DAC=∠ABD=32°，∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=58°-32°=26°．故選D．考點：1．圓心角、弧、弦的關(guān)系；2．圓周角定理．6．如圖，已知∠POQ=30°，點A、B在射線OQ上（點A在點O、B之間），半徑長為2的⊙A與直線OP相切，半徑長為5的⊙B與⊙A內(nèi)含，那么OB的取值范圍是（

）A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7【答案】A【分析】作⊙A半徑AD，根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，再確認(rèn)⊙B與⊙A相切時，OB的長，即可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)⊙A與直線OP相切時的切點為D，∴，∵∠POQ=30°，⊙A半徑長為2，即，∴，當(dāng)⊙B與⊙A相切時，設(shè)切點為C，如下圖，∵，∴，∴若⊙B與⊙A內(nèi)含，則OB的取值范圍為．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓與圓內(nèi)含和相切的關(guān)系是解題關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，是的直徑，，，則______．【答案】##40度【分析】根據(jù)圓周角定理（同弧或等弧所對的圓周角相等，均等于所對圓心角的一半）求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題是圓周角定理的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．8．圓上各點到圓心的距離都等于________

，到圓心距離等于半徑的點都在________

．【答案】

圓的半徑

圓上【分析】根據(jù)圓的定義求解．【詳解】解：圓上各點到圓心的距離都等于圓的半徑，到圓心的距離等于半徑的點都在圓上．故答案為圓的半徑，圓上．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．9．如圖，在中，，則______________．【答案】##40度【分析】根據(jù)同圓中等弧所對的圓周角相等，求出的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．【詳解】解：∵在中，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等弧所對的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．如果⊙O1與⊙O2內(nèi)含，O1O2＝4，⊙O1的半徑是3，那么⊙O2的半徑r的取值范圍是_____．【答案】##【分析】由題意，⊙O1與⊙O2內(nèi)含，則可知兩圓圓心距，據(jù)此代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，兩圓內(nèi)含，故，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了兩圓位置關(guān)系的知識，熟練掌握由數(shù)量關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．11．半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)圓的半徑為3，過圓心作于點，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形，連接，得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理，求出；得的面積，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的面積等于6個的面積，即可．【詳解】如圖：連接，∴是等腰三角形∵正多邊形的中心角為：∴是等邊三角形過圓心作于點∴∵∴∴在直角三角形中，∴∴∴∴正六邊形的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正多邊形中心角的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)．12．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB=10，CD=12，則四邊形ABCD的周長為____________．【答案】44；【詳解】∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AD+BC=AB+CD=10+12=22，∴四邊形ABCD的周長=22×2=44.故答案為.點睛：本題的解題要點是熟悉由切線長定理推得的“圓外切四邊形的兩組對邊之和相等”這個結(jié)論.13．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，如果AB=8，CD=6，那么OE=________【答案】【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE，在△OEC中，根據(jù)勾股定理求出OE即可．【詳解】解：連接OC．如圖所示：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=3，OC=OB=AB=4，在△OCE中，由勾股定理得：故答案為.【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理；關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，求出CE的長，用的數(shù)學(xué)思想是方程思想，把OE當(dāng)作一個未知數(shù)，題目較好．14．如圖，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC為直徑的圓，如果⊙O與⊙A相切，那么⊙A的半徑長為_______________________．【答案】【分析】分兩種情況：①如圖，與內(nèi)切，連接并延長交于，根據(jù)可得結(jié)論；②如圖，與外切時，連接交于，同理根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：有兩種情況，分類討論如下：①如圖1，與內(nèi)切時，連接并延長交于，與相內(nèi)切，為切點，，，根據(jù)勾股定理得：，；即的半徑為；②如圖2，與外切時，連接交于，同理得，即的半徑為，綜上，的半徑為或．故答案為：．【點睛】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線得出是的半徑．15．已知⊙O是以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為1，函數(shù)y=x與⊙O交于點A，點P（x，0）在x軸上運動，過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，則x的范圍是__________．【答案】，且x≠0【詳解】考點：直線與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．分析：由題意得x有兩個極值點，過點P與⊙O相切時，x取得極值，作出切線，利用切線的性質(zhì)求解即可．解：將OA平移至P’D的位置，使P’D與圓相切，連接OD，由題意得，OD=1，∠DOP’=45°，∠ODP’=90°，故可得OP’=，即x的極大值為，同理當(dāng)點P在y軸左邊時也有一個極值點，此時x取得極小值，x=-，綜上可得x的范圍為：-≤x≤．又∵DP’與OA平行，∴x≠0，故答案為-≤x≤，且x≠016．在半徑為5cm的圓中，兩條平行弦的長度分別為6cm和8cm，則這兩條弦之間的距離為_______．【答案】1cm或7cm【詳解】兩條平行的弦可能在圓心的同旁或兩旁，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論圓心到兩條弦的距離分別為d1==4cm，d2==3cm．故兩條弦之間的距離d=d1-d2=1cm或d=d1+d2=7cm17．如圖，AB切⊙O于點B，BC∥OA，交⊙O于點C，若∠OAB=30°，BC=6，則劣弧BC的長為________．【答案】2π【分析】連接OB，OC，由AB為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOB為直角三角形，再由BC與OA平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠OBC為60度，又OB=OC，得到三角形BOC為等邊三角形，確定出∠BOC為60度，利用弧長公式即可求出劣弧BC的長．【詳解】解：連接OB，OC，∵AB為圓O的切線，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又∵OB=OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠BOC=60°，BO=CO=BC=6，則劣弧BC長=.故答案為2π.【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，⊙O的半徑為2，點A、C在⊙O上，線段BD經(jīng)過圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【詳解】試題解析：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，∴OB==，sin∠AOB=，∠AOB=30°．同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．∴∠AOC=∠AOB+（180°-∠COD）=30°+180°-60°=150°．在△AOB和△OCD中，有,∴△AOB≌△OCD（SSS）．∴S陰影=S扇形OAC．∴S扇形OAC=πR2=π×22=π．【點睛】本題考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出S陰影=S扇形OAC．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)拆補(bǔ)法將不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形，再套用規(guī)則圖形的面積公式進(jìn)行計算即可．三、解答題19．如圖，是的外接圓，平分的外角，，，垂足分別為點、，且．求證：【答案】證明見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，則，利用垂徑定理證明，進(jìn)而證明，則．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，證明是解題的關(guān)鍵．20．如圖，以線段為直徑的⊙交線段于點，點是弧AE的中點，交于點，°，，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：BC是⊙的切線；（3）求MD的長度．【答案】（1）30°；（2）先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值求得∠C的度數(shù)，再結(jié)合∠A的度數(shù)即可作出判斷；（3）【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出∠A的度數(shù)．（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．（3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運用三角函數(shù)的知識求出MD的長度．21．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的長．【答案】OE=4.8cm【分析】由⊙O為內(nèi)切圓，則AO、DO為角平分線，則∠AOD=90°，由勾股定理求得AD，再由切線的性質(zhì)得OE⊥AD，由三角形的面積公式求出OE的長．【詳解】解：∵AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，∴AO、DO為角平分線，∠ADC+∠BAD=180°，∴∠OAD+∠ODA=90°，∴∠AOD=90°，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD=10cm，∵OE⊥AD，∴AD?OE=OD?OA，∴OE=4.8cm．【點睛】本題考查了內(nèi)心的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，要熟練掌握．22．如圖，在△BCE中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF．（1）求證：CB是⊙O的切線；（2）若∠ECB=60°，AB=6，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）欲證明CB是⊙O的切線，只要證明BC⊥OB，可以證明△CDO≌△CBO解決問題．（2）首先證明S陰=S扇形ODF，然后利用扇形面積公式計算即可．【詳解】（1）證明：連接OD，與AF相交于點G，∵CE與⊙O相切于點D，∴OD⊥CE，∴∠CDO=90°，∵AD∥OC，∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOC=∠BOC，在△CDO和△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是⊙O的切線；（2）證明：由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC，∵∠ECB=60°，∴∠DCO=∠BCO=∠E