廣東省湛江市坡頭區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

廣東省湛江市坡頭區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義在R上的函數(shù)f（x），若對(duì)于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那么函數(shù)f（x）稱為“Ω函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①f（x）=cosx；②f（x）=2x；③f（x）=x|x|；④f（x）=ln（x2+1）．其中“Ω函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件可以得到，對(duì)于任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，從而得出f（x）在R上為增函數(shù)，這樣根據(jù)余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷每個(gè)函數(shù)在R上的單調(diào)性，從而便可得出“Ω函數(shù)”的個(gè)數(shù)．【解答】解：對(duì)于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立；∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立；∴f（x）在R上為增函數(shù)；①f（x）=cosx在R上沒有單調(diào)性，∴該函數(shù)不是“Ω函數(shù)”；②f（x）=2x在R上為增函數(shù)，∴該函數(shù)是“Ω函數(shù)”；③；∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，且02=﹣02；∴f（x）在R上為增函數(shù)，∴該函數(shù)是“Ω函數(shù)”；④令x2+1=t，t≥1，則y=lnt在[1，+∞）上單調(diào)遞增，而t=x2+1在R上沒有單調(diào)性；∴f（x）在R上沒有單調(diào)性，∴該函數(shù)不是“Ω函數(shù)”；∴“Ω函數(shù)”的個(gè)數(shù)是2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查增函數(shù)的定義，余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．2.已知全集U={1，2，3，4}且?UA={2}，則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為（）個(gè)．A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：B【考點(diǎn)】子集與真子集．【分析】根據(jù)?UA={2}，確定集合A={1，3，4}，然后確定集合A的真子集的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵?UA={2}，全集U={1，2，3，4}，∴集合A={1，3，4}，∵集合A含有3個(gè)元素，∴其真子集的個(gè)數(shù)為23﹣1=7個(gè)．故選：B．3.一幾何體的三視圖如下，則它的體積是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.同時(shí)投擲兩枚均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和是8的概率是 ()．參考答案：C5.設(shè)的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.函數(shù)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－∞,3] B．[－2,+∞) C．(－∞,2] D．(－∞,3]∪[4,+∞)參考答案：A因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸方程為，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選A.

7.下列函數(shù)y=x，y=x，y=x，y=x中，定義域?yàn)閧x∈R|x＞0}的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分別寫出這四個(gè)函數(shù)的定義域，即可得出所以符合條件的函數(shù)有幾個(gè)．【解答】解：函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=x的定義域?yàn)閧x|x≥0}；函數(shù)y=x的定義域?yàn)閧x|x≠0}；函數(shù)y=x中的定義域?yàn)閧x∈R|x＞0}；所以符合條件的函數(shù)只有1個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求常見的函數(shù)定義域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．8.已知三條不重合的直線m、n、l，兩個(gè)不重合的平面α、β，有下列命題：①若，，則；②若，且，則；③若，，，，則；④若，，，，則．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B①若，，則或，故①不正確；②若，且，則顯然成立，故②正確；③若，，，，由面面平行的判定定理可知不一定成立，故③不正確；④若，，，，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，故④正確；綜上所述，證明命題的個(gè)數(shù)為2．故本題正確答案為B．

9.（5分）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩不同點(diǎn)P、Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)[P，Q]與[Q，P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)f（x）=，則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有（）對(duì)． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)的圖象；分段函數(shù)的應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)題意可知只須作出函數(shù)（x＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，確定它與函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．解答： 由題意得：函數(shù)f（x）=“友好點(diǎn)對(duì)”的對(duì)數(shù)，等于函數(shù)（x＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，與函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)（x＞0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，與函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)．故選B點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，分段函數(shù)，新定義，其中將“友好點(diǎn)對(duì)”的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵．10.函數(shù)的定義域是

(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，那么=．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．【專題】計(jì)算題．【分析】若，則，結(jié)合向量模的計(jì)算公式可得答案．【解答】解：因?yàn)椋詜|=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，以及掌握向量模的計(jì)算公式．12.若，，，，則=

．參考答案：【考點(diǎn)】角的變換、收縮變換；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】根據(jù)條件確定角的范圍，利用平方關(guān)系求出相應(yīng)角的正弦，根據(jù)=，可求的值．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案為：13.已知函數(shù)，若存在，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________．參考答案：或略14.．設(shè)集合，集合，則=______.參考答案：略15.已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，若，則=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】先由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)?=﹣1，列出一個(gè)關(guān)于α的方程，可將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題．【解答】解：由=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3），得?=（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1，∴sinα+cosα=，∴2sinαcosα=﹣，===﹣．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是：熟練掌握向量數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的變換方法．已知某三角函數(shù)值、求其它三角函數(shù)的值．一般先化簡(jiǎn)，再求值．化簡(jiǎn)三角函數(shù)的基本方法：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名通過觀察“角”“名”“次冪”，找出突破口，利用切化弦、降冪、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn)．16.

參考答案：2＜a＜3；17.函數(shù)的最小正周期是_________．參考答案：B略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）證明f（x）是R上的增函數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）可知定義域?yàn)镽，進(jìn)而可得f（﹣x）=﹣f（x），可判奇函數(shù)；（2）用單調(diào)性的定義法，設(shè)任意x1，x2∈R，且x1＜x2，化簡(jiǎn)可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由單調(diào)性的定義可得結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知定義域?yàn)閤∈R，而f（﹣x）=，∴（x）是奇函數(shù)；（2）設(shè)任意x1，x2∈R，且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）===，∵a＞1，∴，且∴＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）是R上的增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性，和單調(diào)性的判斷與證明，屬基礎(chǔ)題．19.（7分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2）．（Ⅰ）求?的值；（Ⅱ）若+λ與垂直，求λ的值．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： （Ⅰ）利用向量的坐標(biāo)表示，直接求?的值；（Ⅱ）求出+λ，利用兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為0，即可求λ的值．解答： （Ⅰ）

…（2分）（Ⅱ）

由已知得…（4分）由于與垂直，∴1+2λ+2（2﹣2λ）=0…（6分）∴…（7分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直，考查計(jì)算能力．20.已知為第二象限角，化簡(jiǎn)．參考答案：原式=21.已知冪函數(shù)f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在整數(shù)m，使函數(shù)g（x）=1﹣mf（x）+（2m﹣1）x，在區(qū)間[0，1]上的最大值為5，若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】分類討論；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性，可得（2﹣k）（1+k）＞0，又k2+k﹣1=1，即可得到k的值和f（x）的解析式；（2）求出g（x）的解析式，討論m的符號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，解方程可得m的值．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得（2﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜2，又k2+k﹣1=1，可得k=﹣2或1，即有k=1，冪函數(shù)f（x）=x2；（2）由（1）可知：g（x）=﹣mx2+（2m﹣1）x+1，當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=1﹣x在[0，1]遞減，可得g（0）取得最大值，且為1，不成立；當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）圖象開口向上，最大值在g（0）或g（1）處取得，而g（0）=1，則g（1）=5，即為m=5，不成立；當(dāng)m＞0，即﹣m＜0，g（x）=﹣m（x﹣）2+．①當(dāng)≤0，m＞0時(shí)，解得0＜m≤，則g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，因此在x=0處取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，應(yīng)舍去；②當(dāng)≥1，m＞0時(shí)，解得m不存在；③當(dāng)0＜＜1，m＞0時(shí)，解得m＞，則g（x）在x=處取得最小值，最大值在x=0或1處取得，而g（0）=1不符合要求；由g（1）=5，即m=5，滿足m的范圍．綜上可知：滿足條件的m存在且m=5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪函數(shù)的定義和單調(diào)性的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的求法，熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．22.已知函數(shù)fk（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1時(shí)，判斷并證明函數(shù)y=g（x）的單調(diào)性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，證明函數(shù)y=g（x）的奇函數(shù)；（3）在（2）條件下，函數(shù)y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可；（3）條件等價(jià)于﹣2m=在x∈[1，+∞）有零點(diǎn)，令p=2x，則p≥2，令t=p﹣，則t在p∈[2，+∞）遞增，得到關(guān)于t的函數(shù)h（t）==t+，任取t1＞t2≥，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出h（t）的最小值，從而求出m的范圍即可．【解答】解：（1）g（x）===1﹣，若a＞1，ax+a﹣x＞0恒成立，∴g（x）是R上的增函數(shù)，證明如下：任取x1＜x2，g（x1）﹣g（x2）=，∵a＞1，x1＜x2，∴+1＞0，﹣＜0，故g（x1）＜g（x2），g（x）在R遞增；（2）由題意y=f1（x）=ax，a＞1時(shí)，a2﹣a=2，解得：a=2或a=﹣1（舍），當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a﹣a2=2，無解，綜上，a=2，由（1）得：此時(shí)g（x）=的定義域是R，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g（﹣x）==﹣g（x），∴g（