河南省鄭州市2024屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年高中畢業(yè)年級第二次質(zhì)量預(yù)測數(shù)學(xué)試題卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知全集，集合A滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全集和集合在全集中的補集易得集合，逐一判斷選項即可.【詳解】由，，可得或則，，，，故B項正確，A,C,D項均是錯誤的.故選：B.2.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A.8.5 B.8.6 C.8.7 D.8.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為從小到大排列的第、兩數(shù)的平均數(shù)，即為.故選：D3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項和公式進行計算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.4.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)，，（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】【分析】依題意可得，利用二項式定理說明被除得的余數(shù)為，即可判斷.【詳解】因為，所以，所以，即被除得的余數(shù)為，結(jié)合選項可知只有被除得的余數(shù)為.故選：B5.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一個周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在區(qū)間上有2個零點【答案】D【解析】【分析】對于A，考查函數(shù)與的周期即可；對于B，考查函數(shù)與的最大值，驗證同時取最大值時的條件即可判斷；對于C，利用中心對稱的條件進行驗證即可；對于D，令，解方程即可.【詳解】對于A,因為的周期為，的周期為，所以的周期為，故A錯誤；對于B,因為函數(shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個函數(shù)同時取最大值時，的最大值為，此時需滿足且，不能同時成立，故最大值不能同時取到，故的最大值不為，則B錯誤；對于C，，則，故的圖象不關(guān)于點對稱，C錯誤；對于D,因為時，，又，所以或者；或者，此時，又，所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個零點，故D正確，故選：D.6.在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測試結(jié)果相互獨立，測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級的條件下，乙達到優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)獨立事件乘法公式和條件概率公式可得.【詳解】分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級為事件，記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級為事件，記乙達到優(yōu)秀等級為事件.由題知，，所以，.所以.故選：C7.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動點P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出點，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進行求解即可.【詳解】設(shè)，則，，則，即，化為，則點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時，的值最大.又,則,則.故選：C.8.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意設(shè)，則，而，，由三角形面積公式可得，從而，在中，運用余弦定理可得，由此即可得解.【詳解】設(shè)，則，而，所以，所以點到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因為，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C漸近線方程為.故選：A.二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為A，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，下列說法正確的是（）A. B.C.向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1 D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義逐一分析即可.【詳解】因為，所以，所以，，A正確；，B錯誤；由上可得，對應(yīng)復(fù)數(shù)為，C錯誤；，，D正確.故選：AD10.如圖，在矩形中，，點與點分別是線段與的四等分點．若把矩形卷成以為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與重合，則以下說法正確的是（）A.直線與異面 B.平面C.直線與平面垂直 D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】由是平面內(nèi)不過D的直線，可判斷A；通過判斷可判斷B；由長方形的鄰邊，可判斷C；根據(jù)圓的周長求半徑，然后可得，即可判斷D.【詳解】A選項：由圖可知，平面，是平面內(nèi)不過D的直線，所以，直線與異面，A正確；B選項：由題知，是底面圓的直徑，且，所以四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正確；C選項：由題知，劣弧的長為1，，所以，所以長方形的對角線不垂直，所以直線與平面不垂直，C錯誤；D選項：同上可得為正方向，所以，由圓柱性質(zhì)可知，，又，平面，所以平面，所以即為點到平面的距離，記圓的半徑為，則，得，所以，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為，且，為偶函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可判斷A；令，可判斷B；由函數(shù)圖象的變換可得的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合奇偶性可得周期性，即可判斷C；根據(jù)周期性和賦值法求得，然后可判斷D.【詳解】令，得，即，A正確；令，得，又，所以對任意恒成立，因為，所以不恒為0，所以，即，B錯誤；將的圖象向左平移1個單位后，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，因為的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以4為的周期.由可得，C正確；因為，，，所以，D正確.故選：ACD【點睛】難點點睛：本題難點在于合理賦值，利用對稱性求得周期，然后即可求解.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題；本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實數(shù)a的值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.【詳解】依題可知，則，故答案為：.13.在中，的對邊分別為，已知，，，則邊______，點在線段上，且，則______．【答案】①.②.##【解析】【分析】利用余弦定理角化邊，即可構(gòu)造方程求得；利用余弦定理可求得，在中，利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，即，，解得：（舍）或；在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：.故答案為：；.14.已知不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】通過換元將不等式化成,對任意的實數(shù)x恒成立，設(shè)，對的取值分類討論，得到時，依題得，即再令，分析得到，從而即得.【詳解】令，則，不等式可化為：對任意的實數(shù)x恒成立，即對任意的實數(shù)x恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時，.因?qū)θ我獾膶崝?shù)x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.故，即,故的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，屬于難題.解題關(guān)鍵在于通過設(shè)進行換元，將不等式化成，設(shè)函數(shù)，分析得到，然后分離出，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值即得.四、解答題；本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算即得；（2）列出隨機變量X的所有可能的值，分別求出每個值對應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望值.【小問1詳解】因各局比賽的結(jié)果相互獨立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.【小問2詳解】X所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.16.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）1（2）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為【解析】【分析】（1）由是函數(shù)的極值點，，求解驗證即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得或，因為，所以.此時，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點.所以.【小問2詳解】.因為，所以，令得；令得；∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.17.如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，.（1）求證：；（2）若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取BC中點O，連接AO，EO，利用線面垂直的判斷定理證明平面，繼而可解；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量表示進行計算即可.【小問1詳解】取BC中點O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.【小問2詳解】連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O(shè)坐標(biāo)原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.18.已知橢圓E：過點，且焦距為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N.①證明：直線MN必過定點；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意有，，即可求解；（2）①設(shè)直線：的方程，聯(lián)立與橢圓方程消元后，利用韋達定理可求得點的坐標(biāo)，繼而可得點坐標(biāo)，考慮直線斜率情況，得到其方程，即可求解；②根據(jù)，表示出的面積后，換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得最大值.【小問1詳解】依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】①設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時，：，過點.當(dāng)，即時，，：，令，，直線MN恒過點.當(dāng)，經(jīng)驗證直線MN過點.綜上，直線MN恒過點.②，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號.故面積的最大值為.19.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.（1）寫出所有4的1增數(shù)列；（2）當(dāng)時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.【答案】（1）1，2，1和1，3（2）7（3）1250【解析】【分析】（1）由于或，從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3；（2）分析得到且，當(dāng)時，不合要求，當(dāng)時，滿足要求，得到答案；（3）分析得到數(shù)列的各項只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式，設(shè)其中有x項為1，有y項為2，得到，，配方后求出最值.【小問1詳解】由題意得，且對于，使得的正整數(shù)對有1個，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.【小問2詳解】當(dāng)時，存在m的6增數(shù)列，即，且對于，使得的正整數(shù)對有6個，所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且.若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，此時數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對分別為，符合m的6增數(shù)列，所以當(dāng)時，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.【小問3詳解】若數(shù)列中的每一項都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項，若首項，將拆分成個1后k變大，所以此時k不是最大值，所以.當(dāng)時，若，交換，的順序后k變?yōu)?，所以此時k不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項1，所以k的值變大