2023-2024學(xué)年遼寧省七校高二數(shù)學(xué)（下）期中聯(lián)考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年遼寧省七校高二數(shù)學(xué)（下）期中聯(lián)考試卷考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．10 C．8 D．62．相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線(xiàn)方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線(xiàn)方程，相關(guān)系數(shù)為．則（

）

A．B．C． D．3．下列求導(dǎo)運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．4．下列說(shuō)法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B．根據(jù)分類(lèi)變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05C．“事件A，B互斥”是“事件A，B對(duì)立”的充分不必要條件D．若隨機(jī)變量，滿(mǎn)足，則5．“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．60 B．61 C．75 D．766．若點(diǎn)P是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的最小距離為（

）A．1 B． C． D．7．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則C．若隨機(jī)變量的分布列為，則D．若隨機(jī)變量，則的分布列中最大的只有8．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和.后人為了紀(jì)念他，就把這一列數(shù)稱(chēng)為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是偶數(shù)C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，10．一工廠將兩盒產(chǎn)品送檢，甲盒中有4個(gè)一等品，3個(gè)二等品和3個(gè)三等品，乙盒中有5個(gè)一等品，2個(gè)二等品和3個(gè)三等品．先從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)產(chǎn)品放入乙盒，分別以，和表示由甲盒取出的產(chǎn)品是一等品，二等品和三等品的事件；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一產(chǎn)品，以表示由乙盒取出的產(chǎn)品是一等品的事件．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．； B．；C．事件與事件相互獨(dú)立； D．，，是兩兩互斥的事件．11．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等比數(shù)列中，，，則.13．設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖像都有對(duì)稱(chēng)中心，其中滿(mǎn)足.已知三次函數(shù)，若，則.14．已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為（用數(shù)字作答）．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．已知函數(shù)（，）的圖象過(guò)點(diǎn)，且．(1)求，的值；(2)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程．17．某企業(yè)響應(yīng)國(guó)家“強(qiáng)芯固基”號(hào)召，為匯聚科研力量，準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年收入的附加額y（單位：千萬(wàn)元）的影響，對(duì)2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額7．30(1)求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；(2)若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱(chēng)對(duì)應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個(gè)年份中任意取3個(gè)，記X表示這三個(gè)年份為“優(yōu)”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．18．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿(mǎn)意程度，從使用了5G手機(jī)的市民中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿(mǎn)意度得分分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：

(1)由直方圖可認(rèn)為A市市民對(duì)5G網(wǎng)絡(luò)滿(mǎn)意度得分z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得．若A市恰有2萬(wàn)名5G手機(jī)用戶(hù)，試估計(jì)這些5G手機(jī)用戶(hù)中滿(mǎn)意度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)該調(diào)查機(jī)構(gòu)為參與本次調(diào)查的5G手機(jī)用戶(hù)舉行了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人最多有10輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每一輪抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，中獎(jiǎng)率均為．每一輪抽獎(jiǎng)，若中獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為100元話(huà)費(fèi)且繼續(xù)參加下一輪抽獎(jiǎng)；若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)束，現(xiàn)小王參與了此次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．①求小王獲得900元話(huà)費(fèi)的概率；②求小王所獲話(huà)費(fèi)總額X的數(shù)學(xué)期望（結(jié)果精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布，即，則，．19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，都有成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)數(shù)列，問(wèn)：數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．B【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，可得，解得，所?故選：B.2．D【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義：其絕對(duì)值越接近1，說(shuō)明兩個(gè)變量越具有線(xiàn)性相關(guān)，以及負(fù)相關(guān)的意義作判斷即可．【詳解】由散點(diǎn)圖可知這兩個(gè)變量為負(fù)相關(guān)，所以．因?yàn)樘蕹c(diǎn)后，剩下點(diǎn)的數(shù)據(jù)更具有線(xiàn)性相關(guān)性，更接近1，所以．故選：D．3．C【分析】依據(jù)求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一一判斷即可得解.【詳解】A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故D正確.故選：C4．B【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算；B選項(xiàng)，，推出結(jié)論；C選項(xiàng)，由于事件A，B對(duì)立是事件A，B互斥的特殊情況，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對(duì)立”的必要不充分條件；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，故從小到大選取第8個(gè)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，即，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，B正確；C選項(xiàng)，事件A，B互斥不能推出事件A，B對(duì)立，但事件A，B對(duì)立，則一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對(duì)立”的必要不充分條件，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若隨機(jī)變量，滿(mǎn)足，則，D錯(cuò)誤.故選：B5．B【分析】先由“兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再由基本不等式求得的最小值.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)時(shí)取最小值為．故選：B.6．D【分析】求出平行于的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)時(shí)，，則，而，解得，于是，平行于的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．故選：D7．D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得到，A正確；B選項(xiàng)，根據(jù)服從兩點(diǎn)分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C選項(xiàng)，根據(jù)概率之和為1列出方程，求出；D選項(xiàng)，根據(jù)解出答案.【詳解】A選項(xiàng)，，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，A正確；B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，即分布列為：01所以02故，則，B正確；C選項(xiàng)，分布列中概率之和為1，即，解得，C正確；D選項(xiàng)，隨機(jī)變量，令，即，解得，因?yàn)?，所以?，則的分布列中最大的有或，D錯(cuò)誤.故選：D8．D【分析】由題意可得，結(jié)合該遞推關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可得.【詳解】由已知得數(shù)列滿(mǎn)足遞推關(guān)系，，對(duì)選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項(xiàng)都是奇、奇、偶重復(fù)循環(huán)，，不能被3整除，且為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：若選項(xiàng)C正確，又，則，同理，依次類(lèi)推，可得，顯然錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，所以，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：斐波那契數(shù)列問(wèn)題的解決關(guān)鍵是熟練掌握其遞推公式，，從而得解.9．BC【分析】由與的關(guān)系，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可判斷A，由等比數(shù)列的定義即可判斷B，由等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且不滿(mǎn)足上式，則，則不是等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由條件變形可得，所以，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列，故正確；對(duì)于C，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，同理，所以，所以成等差數(shù)列，故正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，所以此數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤；故選：BC10．ABD【分析】有條件概率的定義可得B正確；利用全概率公式進(jìn)行計(jì)算，可得A正確；有相互獨(dú)立事件的判定方法可得C錯(cuò)誤；有互斥事件的定義易得D正確.【詳解】因?yàn)榧缀兄杏?個(gè)一等品，3個(gè)二等品和3個(gè)三等品，則,乙盒中有5個(gè)一等品，2個(gè)二等品和3個(gè)三等品,則,則，故A，B正確；因?yàn)?又，，則，則兩事件不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；根據(jù)互斥事件的定義可知，，，是兩兩互斥的事件，故D正確，故選：ABD.11．AB【分析】根據(jù)給定條件，探討等比數(shù)列的性質(zhì)，再逐個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由，或，而，，同號(hào)，則，，即數(shù)列前項(xiàng)大于，從第項(xiàng)開(kāi)始小于1，對(duì)于A，，又，則，A正確；對(duì)于B，由，得，則，B正確；對(duì)于C，顯然是遞減正項(xiàng)數(shù)列，且，，因此是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AB12．【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，故答案為?.13．【分析】根據(jù)題意求解可得對(duì)稱(chēng)中心，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意，，，令解得，又，故的對(duì)稱(chēng)中心為.故當(dāng)時(shí)，.故答案為：14．【詳解】由題意可知，2次檢測(cè)結(jié)束的概率為，3次檢測(cè)結(jié)束的概率為，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)列方程組即可求解；（2）求出，求出，求出，求出.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，解得，∴；（2）由（1）知，，∴，∴，∴．16．(1)，．(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，由，可得，聯(lián)立即可得解；（2）由可設(shè)曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)斜率為，利用點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程，帶入點(diǎn)，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以①．又，，所以②，由①②解得，．（2）由（1）知，設(shè)所求切線(xiàn)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，則，所以切線(xiàn)方程為，又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，可得，，，解得，所以切點(diǎn)為，切線(xiàn)方程為．故曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為．17．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解，（2）根據(jù)超級(jí)幾何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.【詳解】（1）依題意，，，，，所以y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為.（2）由題意，7個(gè)年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個(gè)，所以X的可能取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列如下：X0123P所以X的期望是.18．(1)（人）(2)①；②（元）【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出，再利用正態(tài)分布求出滿(mǎn)意度得分位于區(qū)間的概率即可計(jì)算作答.（2）①利用獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答；②求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，再利用期望的定義求解作答.【詳解】（1）依題意，樣本平均數(shù)為，即，由，得，而，所以2萬(wàn)名5G手機(jī)用戶(hù)中滿(mǎn)意度得分位于區(qū)間的人數(shù)約為（人）．（2）①小王獲得900元話(huà)費(fèi)表明其前9輪連續(xù)中獎(jiǎng)且第10輪未中獎(jiǎng)，所以所求的概率為．②依題意，X的可能取值有0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，即，，，當(dāng)，時(shí)，，說(shuō)明小王前i輪連續(xù)中獎(jiǎng)且第輪未中獎(jiǎng)，此時(shí)，又滿(mǎn)足，，因此，于是，令，則，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，則（元），所以小王所獲話(huà)費(fèi)總額X的數(shù)學(xué)期望為99.90元．19．（1）；（2）；（3）存在，，，或，，.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，類(lèi)比寫(xiě)出，兩式相減整理得，當(dāng)時(shí)，求得，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.；（2）將代入已知條件，用與（1）相似的方法，變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由的通項(xiàng)公式分析，得…，假設(shè)存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，且，則，即，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，化簡(jiǎn)得，將或代入已知條件，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由，

①得，②由①-②得，即，對(duì)①取得，，所以，所以為常數(shù)，所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，即，；（2）由，可得對(duì)于任意有，③則，④則，⑤由③-⑤得，對(duì)③取得，也適合上式，因此，