高等數(shù)學(xué)試題庫(kù)

《高等數(shù)學(xué)》期末試卷

一、選擇題(21分)

1.曲面/+2>2+3產(chǎn)=12上，點(diǎn)(1,-2,1)處的切平面方程是()

A、2冗+8y-6z=24%+4y-3z=12

C、x-4y+3z=12D、x+2y+3z=12

2.設(shè)〃=cos(x+y)+cos(x-y),下列各式哪些正確？()

02〃宏〃d2JJd2JJ

[----=-----[[----=-----111------=-----

dx2dy2dx2dxdydy2dydx

A、I正確；B、只有H正確；C、I與HI都正確；

D、I與1I都正確；E、I、II、山都正確。

3.由方程產(chǎn)(?,三)=0確定隱函數(shù)z=Z(x,y),(F為可微函數(shù))求x當(dāng)+>生=()

xxoxdy

A、-zB、zC^-xD、x

白cos/、

4.>--------()

念〃-ln〃

A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、可收斂也可能發(fā)散

5.f[14-——I-,?*\dx—()

」)1!2!n\

A^1；B、c；C^；D、c—1

6.求。是由兩坐標(biāo)軸和直線x+y=l所圍成的三角形區(qū)域求“盯公=()

D

7.設(shè)函數(shù)z=/(x,y)在點(diǎn)(x,y)不連續(xù)，則在點(diǎn)(x,y)處()

A、偏導(dǎo)數(shù)一定不存在B、全微分一定不存在

C、至少有一個(gè)方向的方向?qū)?shù)不存在D、以上說(shuō)法都不對(duì)

二、填空題(15分)

1.交換積分次序f(x,y)dy=

-、n_-r加,皿dwdwdwdw

2.以.可微函數(shù)vv=/(x—y,y—zj—xz)則--1-----1-----1----

dxdy及dt

3.設(shè)由廣孫-2z+e'=0確定z=/(x,y)則dz=

4.設(shè)。={(》N)：，+儼41},則由估值不等式得

<jj(x2+4y2+V)da<。

D

5、把函數(shù)上展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)得到：一!一=

1+X1+X

三、計(jì)算題(54分)

1.已知yz+zx+xy=1，確定的z=z(x,y),求dz。

2.拋物面z=/+)，2被平面x+〉+z=l截成一個(gè)橢圓，求原點(diǎn)到這個(gè)橢圓的最長(zhǎng)距離

與最短距離。

3.線積分jMc-/力其中L是拋物線y=》2上從點(diǎn)A(-U)到點(diǎn)8(1,1),再沿直線到

L

點(diǎn)C(0,2)所構(gòu)成的曲線。

4.若L是拋物線y=/上的弧段，求］(x+l)ds

5、計(jì)算口(/+y2)dxcfy,其中。：1+V?3。

D

6、求方程滿足初始條件的特解：蟲(chóng)+2y=絲土,l

dxxx

四.(5分)求級(jí)數(shù)￡匚的收斂域，并求出它的和函數(shù)。

?=in

五.(5分)設(shè)/(x)可微，/(。)=0,又設(shè)曲線積分Jo'：i^?/(x)dx+/(x)dy與路徑

無(wú)關(guān)，確定函數(shù)/(無(wú))。

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(一)參考答案

一、1、當(dāng)0<。<1時(shí)，0<%2+/2?1；當(dāng)?！?時(shí)，x2+y2>1；

2、負(fù)號(hào)；3、JJdcr='dx；%；4、癡⑴+(t)dt；

D

y

5^180萬(wàn)；6、sin—=Cx；

x

xx

7^y=CxcosV2x+C2sin42x+C3e^"+C4e~^；8、1；

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

一，d”￡，￡，3〃，/、

二、'瓦"十公樂(lè)7g(x+孫)；

|=/(x0-/(x-r)黑…+…：

2、+；

gfe于4=JoW，"=]：丁力=3(1—e?

四、1、

柱面坐標(biāo)14

2、-----7T?

3，

則*(3三)2嚕

五、令P=一正不'。"』(x,y)w(0,0)；

于是①當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含0(0,0)時(shí)，絲，絲在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green

dydx

公式得：1=0；②當(dāng)心所圍成的區(qū)域D中含O(0,0)時(shí)，絲，絲在D內(nèi)除O(0,

dydx

0)外都連續(xù)，此忖作曲線/+為/+y2=￡2(0<￡<1),逆時(shí)針?lè)较?，并假設(shè)為

L+及廠所圍成區(qū)域，則

Gw公式-l)dxdy+

=24

六、山所給條件易得:

/(0)=-2/(°)_ny(o)=0

1-/(0)

/(x)+/(Ax)_

J(x+Ax)/(x)limT(x)/3)一

又")=螞

Ax右f°Ax

l+〃(X)/(—/(0)

=/'(0)U+/2(x)]

—O1-/(X)/(AJC)bx

「二、=((0)

1+7-U)

/.arctan/(x)=/\O)-x+c即f(x)=tan[/\O)x+c]

又/(O)=0即仃=/孫女￡2/.f(x)=tan(/r(0)x)

12n+3

00產(chǎn)"+I

七、令X—2=，，考慮級(jí)數(shù)￡(—1)"2〃+32

產(chǎn)?+】

2n+1

當(dāng)產(chǎn)<1即W<1時(shí)，亦即1<X<3時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;

當(dāng)W<1即x〉3或X<1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；

S\

當(dāng)f=_l即X=1時(shí)，級(jí)數(shù)￡(—1)"+1-----收斂；

y2〃+i

81

當(dāng)"1即x=3時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

合2/7+1

級(jí)數(shù)的半徑為R=l,收斂區(qū)間為［1,3］。

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(二)參考答案

一、1、1；2、-1/6；3、J小//(x,y)dx+JdyJf(x,y)dx；4、—/r(0)；

°.\'22,’23

5、一81；6、2(x+y+z);7、yn+yr-2y=0；8、0；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；

三、1、函數(shù)“=ln(x+Jy2+/)在點(diǎn)人(i,0,])處可微，且

電1I-1/0

A-l(1AI)

x+V7T?-；

包____i__________y____I_n

由「x+VT丁77T?I(,-OJ,-;

du______\__________ZI

及二+777?.；?773

而/=45=(2,—2,1),所以/=(：,一彳,；),故在A點(diǎn)沿/=AB方向?qū)?shù)為:

duI_duduI》du

?cosa+—-cosp+—?cos/

dlAdx8y'A4Hdz

=1/2.

f'=2xy(4-x-y)+xy(-l)=0

2、由,'得D內(nèi)的駐點(diǎn)為M°(2,l),且/(2,1)=4,

fy=x(4-x-2y)=0

又/(0,y)=0J(x,0)=0

而當(dāng)x+y=6,xN0,yNO時(shí)，f(x,y)=2x3-12x2(0<x<6)

令(2/一12x2?=0得再=0,x2=4

于是相應(yīng)月=6,乃=2且/(0,6)=0,/(4,2)=-64.

/(x,y)在D上的最大值為f(2,l)=4,最小值為f(4,2)=-64.

0<x<l

四、1、Q的聯(lián)立不等式組為

0<z<l-x-y

X

所以/=——起?」「公門—.--}dy

JoJo-Jo(]++x+y+z)32JoJ。(1+x+y)24-

1p,13-x、j1?c5

2Jox+14216

2、在柱面坐標(biāo)系中

“，)=『加?！奔?+/(/)14z=2/rJ\hf(r2)r-^^h3r]dr

dFoli?>1o

所以一=2^[hf(t2)t+-h3t]=2nht[f(t2)+-h2]

dt33

—>

五、1、連接04,由Gree〃公式得：

/-L.+\OA\oA-^L+OA^OA

Gree〃公式;;1,

=jj(/COSy-excosy+m)dxdy+0=—m7ia~

x2+y2<6rx,>'>08

\z=a

2、作輔助曲面％:j2+2<2，上側(cè)，則由Gauss公式得:

ES1%E+E1%

=JJJ2(x+y+z)dxdydz-^a2dxdy

x2+y2<z2,0<z<ax2+y2<a2

44

=2jdz^zdxdy-Tia=2「玄3dz=--m

°x"+yo^<z2-2°2

六、由題意得：3夕'(x)-2°(x)+xe2*=Q"(X)

即(p\x)-3(p'(x)+2°(x)=xe2x

特征方程戶一3尸+2=0,特征根八=1,r2=2

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：y=c,er+c-

又因?yàn)?=2是特征根。故其特解可設(shè)為：y*=x(Ax+B)e2x

代入方程并整理得：A=-,B=—l

2

即y*=gx(x—2武，

t2x2x

故所求函數(shù)為：^(x)=cle+c2e+-x(x-2')e

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(三)參考答案

“rVl-x2rl-x2-y2

一、1、yeyz-xex3、LdxL^dyL〃"z)dz；

4^/(0,0);5、2加3；6、JJj(=+~~~+~~~}dv=<^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy

cdxdydz欲+

2

Ga〃ss公式；7、Ax+Sx+C8、P<0o

二、1、C；2>B；3、A；4、C；5>A；6>D；7>B；8、B

三、由于d)，=f：(x/)dx+/Xv)d"F：4+F；dy+F；dt=U

由上兩式消去dt,即得：蟲(chóng)=

dxF；+f；F'y

四、設(shè)(x,y)為橢圓》2+4),2=4上任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線2x+3y—6=0的距離為

|6-2x-3y|

令L=(6-2x—3y『+4/一4),于是由:

V13

Lx=-4(6-2x-3y)+2Ax=0

<Lv=—6(6—2x—3y)+8辦=0

L=x2+4y2-4=0

Q3Q3QOQ3

得條件駐點(diǎn)：

22

Z|，Z在面xoy上的投影域都為：￡>.o.:x+y<l,x>0,y>0,

于是：\\xyzdxdy=JjJl-/_/dxdy

4

極坐標(biāo)「%i、/---1

=￡~rsin^cos^-^l-p-7'pdp-

15

^xyzdxdy=^xy(-yl\-x2-y2)(-dxdy)1

15

%2y

七、因?yàn)橐瞔o，/)=]=sin2s,HP/"(cosx)=1+sin2x

d(cosx)

所以/(尤)=2-x2/./(x)=2x-^x3+c

八、/(x)=ln[(l+x)(l+x2)]=ln(l+x)+ln(l+x2)

_8_/_IXM-l

又ln(l+u)=Y--—un〃G(-1,1]

/:=1〃

X"+心(7』

???y號(hào)〃=l〃

_00_/_1\M-l

”=in

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（四）參考答案

]53^2

1、dx-yp2dy；2、x+2y+3z=6；3、笠。；4、32萬(wàn)；5、-2―7i；

22

6、—；7、y=2(2+x)e~x；

1產(chǎn)-y/211

8、〃o=-/(x)---dx；ak=—\f(x)coskxdx攵=1,2,…〃，…

71J7r271JF

1產(chǎn).

bk=—\f(x)s\nkxdx%=1,2,…〃，…

71JF

二、1、C；2、C；3、A；4、D；5、A；6、B；7、A；8^C

???受/心+gd)-4C)

三、

oxyxxx

+4g”g)

2-弓gd)+Gg,g)

dxyyxxxxXX

="(與+鼻心

yyxx

獸=-2/由+與心」gd)冬g,g)

oxoyyyxxxxXX

-4,心-斗g"心

yyxx

d2ud2u

故=0

X^+ydxdy

四、設(shè)A/（Xo，yo，Zo）是曲面/=盯7-/=0上的任意點(diǎn)，則》0%）40=/，

在該點(diǎn)處的法向量為:

n3

=(尸］，尸;，耳)|M=UoZo,Zo/,xoyo)=(—,—,-)=f(—)

X。％)Z0%y0z0

于是曲面在〃點(diǎn)處的切平面方程為：—(x-x0)+—(y-yo)+-(z-zo)=O

x。y。z。

即---+-^-+—=1

3/3yo3z0

因而該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的立體的體積為:

?Q9

V=#/卜|3yoi?|3zo|=-\xyz\=-c3

oZoo2o

這是一個(gè)定值，故命題得證。

五、由于介于拋物面Z=4+/+y2,柱面(X—l)2+y2=1及平面z=0之間的立體體積

為定值，所以只要介于切平面乃，柱面(X-1產(chǎn)+>2=1及平面Z=0之間的立體體積V

為最大即可。

設(shè)%與Z=4+/+y2切于點(diǎn)p(Xo，yo，Zo),則乃的法向量為〃=(2%0,2>0，-1),且

22

Zo=4+x0+y0,切平面方程為：2x0(x-x0)+2y0(y-y0)-(z-z0)=0

^Z=2xox+2yoy+4-Xo-yo

7T

于是V=[Jzdo?極坐標(biāo)夕(2x0x?cos(9+2y0x?sin(9+4-Xo-y^)dp

(*一1)2+),2§2

-乃(2q+4-x；—y；)

—=^-(2-2xo)=O

則由莫，得駐點(diǎn)(1，0),且“(|0)=5肛0=5.

T-二-2砒

由于實(shí)際問(wèn)題有解，而駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)切點(diǎn)為(1,0,5)時(shí)，題中所求體積為最小。

此時(shí)的切平面乃為：z=2x+3

六、聯(lián)接瓦，并設(shè)由L及成所圍成的區(qū)域?yàn)镈,則

/=|+jL-JL=0--J-Gree訟式-cosy-1-e*cosy-l)dxdy-0

=2--7T-22=4萬(wàn)

2

七、令y，=z(y),貝叮"=z立，于是原方程可化為：z—+-^-Z2=0

dydy\-y

即在+2=0,其通解為z=qjj可"=C|(y_1)2

dyl-y'

.?.◎=q(y—即一^=%公，故原方程通解為：y=l——?一

ax(y-1)c1x+c2

八、易求得該累級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為

oo"concoi

Vxe(-1，D，令S(x)=￡—,則S'(x)=Z(—)'=Zx"T=;

?=1幾n=\〃n=l1-X

注意到S(0)=0,S(x)=，S'(x)dx=-=-ln(l-x)

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(五)參考答案

7、.+(l+Ddy23=上匚==；3、2萬(wàn)；4、"S)fM(a-x)dx；

l+xe：-y-x169-1

5、對(duì)任意閉曲線/,《「公+。今=0或名=絲或熱(北)，),使得力，=尸公+。力；

Jdydx

6、2加j7、y^ce~3x+-e2x；8、發(fā)散

5

二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、C；6、B；7、D；8、A

___,ZyJ-]Oil/7-1-I(jll7yzi.

二、1、一=y九)；—=xyyzlnx；—=y^xyinxAny

dxdydz

2、?g」力‘粵=二力'+4號(hào)=T；

dxydyy~zdzz"'

.ou,du.du,1,x,1.y

??du=—dx+—dy+—dz=—f\dx+(--fr\+—f)dy—f/2dz。

Ox⑦及yyz2z

四、1、因?yàn)榉e分域D關(guān)于y=x對(duì)稱，所以

/=------:-----do=-------1—----aa

iJf(x)+f(y)4/(y)+/W

故

/=1[[產(chǎn)。)+磯角出+產(chǎn)(y)+w)叼」j,+匹匕」

2iJ/(x)+/WP/(y)+/(x)2y2

2、/="卜+/+z2)dV+2jj卜(>+1+1>/丫+2川””

+l\\\ydV+l\\\zdV+JjpV

ccc

因?yàn)?。關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而2肛,2yz,2療,2x,2y,2z都（至少）關(guān)于某個(gè)變

量為奇函數(shù)，故以這些項(xiàng)為被積函數(shù)的三重積分都等于0。于是：

1=/+/MV+川dV=3>2</V+$*

QCC,

=61：改JJz2dMy+±成3=4成3Q+R2）。

°/+溫33

五、令尸=2孫（公+科產(chǎn)，Q=—%2（/+>2），

AP

4222

則—=2x(x+y/+4Axy(x4+yy-'

dy

學(xué)=一2武/+y2尸_4疝5&+產(chǎn)“

OX

由已知條件得手=縱，即有（/+、2）（丸+1）=0,所以4=_1

oxdy

所求的?個(gè)原函數(shù)為：

,、f".y)2xy.x'.(,?,”x2,y

"(X,y)=I4,、dx-------dy=IOdx-I-----dy=-arctan—

mx+y~x+yJlJox+yx

B.1+x2—(1—x)21

易知------r------1=----------7

(1-x)3(1-x)3(1-x)3(1-x)2

11coco

=(C八2)'=士〃(〃-l)X~2=2(〃+1)〃X~'

(1一步(1一%)〃=2n=l

1+X=￡(〃+l)“x"T1=%2￡1,其中(―1<X<1)

(1—?〃=171=1〃=1

七、方程的特征方程為：6r+9=0,其特征根為八=弓=3,

3.V

故方程的通解為：y=（G+c2x）e

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（六）參考答案

—―；2、6z'+3j+0-^；3、[dyf'"'f(x,y)dx+TdyL'f(x,y)dx-,

]+yJOJ—InyJeJ-Iny

4、L262c2；5、Jl+z](x,y)+z；2(x,y)dxdy；6、-47iabc；

8

7、-%）+。2（為一%）+M；8、￡號(hào)--，|x|<2

n=04

二、1、B；2、D：3、A；4、C；5、D；6、C；7、C；8、Ao

令6=尸（上巴,匕2）,則

三、

Z-CZ-C

G；=士小G；=±%&=-占因《-°）+止（,-劃

于是過(guò)任意點(diǎn)「(與，凡,%)處的切平面方程是：

^(x-x0)+^(y-y0)--^[(xo-?)/;；(P)+(y0-&)F；(P)](z-zo)=0

4-c0-c(z()-c)

?。?",〉=/\2=，，上式被滿足，即切平面過(guò)定點(diǎn)(a,Ac)

(7；=2(x—1)=0

四、「，°、「得/(x,y)在D內(nèi)的駐點(diǎn)M(l,2),

fy=2(y-2)=0

令L=(x-1)2+(y—2>+1+/1(/+2-20)

aL

-=2(x-1)+2AX=0

a"x

解方程組一=2(y—2)+2辦=0得條件駐點(diǎn)M.(2,4),M,(-2,-4)

效

5-L22o

-X+y-20-

52

于是由/（M）=1J（M1）=6J（M2）=46得所求的最大值為46,最小值為k

1<%<2

五、如圖

所以/=^dyJsin『dx

?2r2ym

1?FTC0S27y；dy1

0124x

-jj^cos^22.rry4

——[—ysin—+—7cos

7171'27l2

——(2+7T)o

71'

六、令T=M+y2+FP/,。=為R吟

r3-3xr2--

dP1年，同理吆13y2dR13z2

則nlk

dx6r3rdyr5及r3r5

于是"+絲+空=0

(rO)

dxdydz

作輔助曲面二：Y+y2+z2內(nèi)側(cè)，￡使得Eg位于2的內(nèi)部，以Q表示由￡與

所圍成的立體域，Q,表示巨；所圍成的立體域，則

/小小……

Z%LE+L4

Gauss公式fff(—+^+—)i/y-[pxdydz+ydzdx+zdxdy

=[Jdxdydz”

=0一-yj卜dydz+ydzdx-vzdxdy6〃〃5訟式一JjjpJV=--高二-4〃

IQ

七、因?yàn)?吧丁=1,所以被積函數(shù)連續(xù)?

f

又(arctanx)=-二S(-ir-x2n,|x|<i

1+xn=0

1dx

/.arctanx=-----T

Jol+x2

M=O〃=O

于是〃X)=「巴/dx用需2

X

co/t\noo(-1)"

尤2"+1|x|wl

￡b2〃+1金(2/1+1)2

八、方程變形得：蟲(chóng)=—2』ln?

這是齊次方程。

dxxx

人ydydu.市dudx

令〃=一得：—=〃+x—,代ni入方程得：-----------=----

xdxdxu(2lnu+1)x

由原方程知x>0,y>0,因此〃>0,對(duì)上式積分，得：；ln|21n〃+1]=-5匕國(guó)

即2In2+1=―---/.21n—+1=——,c=±c：

2

xc}xxex

故方程的通解為：y=xe

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(七)參考答案

1->->T

一、1、]("j+2k)；2、yf\xy)+(p\x+y)+y(p\x+y)；

3^—7rR4(——+;4、12〃；5、^2;6、(—2,4)；

lx2x

7>y=(x+c)cosx；8、y=cxe~+c2e

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、B；6、C；7、D；8、A

三、i、:=(/+斕，+'+/+再=_(1+717777)

1-J]+.2+y21-(71+X2+y2)2

lim:+)'=-lim(l+Jl+x2+y2)=-2

qO

&=W'(x2-)/>2x二2x)7,

f2(x2-y2)-f2

Szf(x2-y2)-yfXx2-y2)-(-2y)2y2f',1

力r2(-v2-/)f2f

四、i、如圖，積分域。在極坐標(biāo)中

0<0<

可表示為

sec。<p<2seed

于是/=包"閨。

JoJsec<9COS3

=g『tane.p[籥，/e=

=-sec3e?=-(2V2-l)

909

2、設(shè)%(%,凡，［0)為拋物面1=1+苫2+科上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)與處的切平面方程

為：Z-Zo=2/0-%)+2汽3-汽),且Zo=l+x；+

Z=2xx+2yy-x^-yl+l

該切平面與曲面Z=X2+y2的交線為：，00

\z=x2+y2

消去z得：(x—/y+⑶一兒猿=1，故所求體積為:

22

v=Jj[2x0x+2y0y-%0-y1+l-(x+y)]da

22

(x-x0)+(y-v0)^l

22

JJ[1-(x-x0)-(y-y0)]rfcr

22

(^-x0)+(y-y0)<l

一「2產(chǎn)->7T

令x-%=/?cos0.)'一汽=「sin6得：V=[d?\Q-p-)pdp=一,

Jo*o2

即體積為定值。

五、令P=2x)a+x+2,Q=lx2y-y2+?>

dPdQ-dPdQ.、

貝niUlk=4xAy,~^=4Axy,所rt以lsl丁=￥，Vw(x,y)eRn~2

dydxdydx

因而Pdx+Qdy是某二元函數(shù)〃(x,y)的全微分。

又Pdx+Qdy=(2xy2+尤+2)dx+(2x2y-y2+3)dy

=4(，)廣+/"+2x—~y'+3y+c)

所以〃(x,y)=，y2+2]一；/3+3),+j因而/(x,y)

=u⑺)-66

z=0

六、設(shè)之:<,?，取上側(cè)，貝1J

x2+y2<4

EJ+J-TJ

ZZ|S|Z+S|z,

Gss公式-JJ13(x2+y2)dV-^y2zdxdy

QZ,

=—3J：deJo加I："","z-o=—6兀。3(4-02)dp=—32]

七、由題設(shè)條件，易得/(0)=1

因?yàn)镴J/dji+bWb極坐標(biāo)「于冷pdp=271爐與dp

2,0,24N乙

廠+廠“r

所以/Q)=e*+2萬(wàn)0)(4)S

J。2

因而尸”)=8加6京+8裾⑺，即/'⑺—8時(shí)⑺=8加4一

這是一個(gè)關(guān)于/(/)的一階線性方程

故/(r)=e卜成"(c+j8Me4??e卜""dr)=e4a(c+4/)

又/(0)=l,即l=c,故/Q)=e4M[l+4m2)

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(A)參考答案

一、1-(1,—2,1)；2、n=0,,—T=；3、-WR3；4、—(1—sin

91J5J5J62

5、4^/61;6、2；7、a=/()(x0)；8、R=2

3"〃！3

二、1、B;2、C;3、C;4、D;5、C;6、A;7、D;8、D

三、對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為"-7/1+12=0,特征根為4=3,4=4.

于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為y=。能3,+qe?

又4=0不是特征根，所以特解可設(shè)為y*=Ax+B

17

代入微分方程可得A=—,B=—

12144

177

故原方程的通解為4r總，又()

y=c/*+c2e+=x+y0<(0)=

144高

故初值問(wèn)題的解為y=-e3')+*x+高

(,,\

一VVV

四、1、由題設(shè)得/=:"=一'一，/二------

/,2,,2,,2/,2+,V,2,,2/,2,,2,,2

+%+叭Wy+ZW+vv+匕J

所吟1

(M>；+W；,V；+U.V

g+v'+vj

2、對(duì)所給方程組兩端求微分得:

udx+dy=-xdu

dx-vdy-ydv

日工口口,xvdu-ydv,uydv+xdu

解以dx,dy為未知里的方程組得：dx=——----匚，dy=-----匚

+-(WV+1)

dx_xv5y_uy

du1+wvdv1+uv

五、設(shè)切點(diǎn)為(x,y),由隱函數(shù)求導(dǎo)得》'=一生土』，故切線方程為=-匆？(X—x)

x+3yx+3y

令X=0得丫=y+出匕義；令丫=0得X=%+乂"+”)

x+3y3x+y

注意到切點(diǎn)在曲線上，即3X2+2盯+3/=1

ifx(3x+)，)[+)，(x+3叫=[

則得三角形面積為:S

2__x+3y3x+y2(x+3yX3x+y)

要求S的最小值，只要求(x+3y)(3x+y)的最大值，而

(x+3/3X+y)=3x?+1Oxy+3y2=1+Sxy

令f=xy+2(3x2+2xy+3y2-1)

F；=y+6Ax+2Ay=0

V2

由<F；=x+2Ax+6Ay-0，得x=y

F：=3x?+2町+3/一1=0

(B石、?

駐點(diǎn)唯一，而由實(shí)際問(wèn)題知最小面積存在。故最小面積為s1—44J=—4

QpQQ

六、令尸=e"siny+y+肛Q=e"cosy-x,得——=excosy+1,——=excosy-1

dydx

連接而，記L及8■所圍區(qū)域?yàn)镈,則由Green公式得:

1=￡+J植+￡_=jj(-2)d(j+7tdx=-2?—?32?+6^=-3^

1

隊(duì)河口2

z=0

七、作輔助曲面Zi：<,,，取上側(cè)

x2+y2<1

由Zi，Z所圍成的立體域記為。，則由Gauss公式得:

1=JJ+0_0=#-IJx3dydz=3\\\x2dxdydz-Q

zz,z,z+2z,C

球面坐標(biāo)3JJd0^d(p^p2(cos8)2(sin夕產(chǎn)p~sin(pdp=—7T

0205

(一1產(chǎn).乃

-~~￡-T—sin-

(T嚴(yán)sinu,/+2〃+2

八、令明=二一,則lim“”+llim-<1

_〃+1w“T8n+I

71n+1?->%(-D.兀71

--一--〃-+--sin

71lHs+I1

所以原級(jí)數(shù)收斂且是絕對(duì)收斂的。

高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（九）參考答案

-36盯sin(zx)-2ysec之⑻?)

1、2、/.n2（/，打）-/二（Xo，Jo）fyy（%,"）<。

3e'vcos(xz)

3、2乃；4、p1sin(p