第9講 指數(shù)函數(shù)及其性質-人教A版高中數(shù)學必修一講義（解析版）

第九講指數(shù)函數(shù)及其性質第九講指數(shù)函數(shù)及其性質 教材要點學科素養(yǎng)學考高考考法指津高考考向1.指數(shù)函數(shù)的概念數(shù)學抽象水平1水平11.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法。2.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像說明指數(shù)函數(shù)的性質。3.掌握指數(shù)函數(shù)的性質并會應用，能利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較冪的大小。【考查內(nèi)容】指數(shù)函數(shù)的圖像與變換，求定義域、值域，比較大小，討論指數(shù)復合函數(shù)的單調性或求參數(shù)范圍?！究疾轭}型】選擇題、解答題第一問【分值情況】5--12分2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質邏輯推理水平1水平13.指數(shù)函數(shù)的定義域和值域數(shù)學運算水平1水平24.指數(shù)函數(shù)圖像的交換直觀想象水平1水平2知識通關知識通關知識點1指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.知識點2指數(shù)函數(shù)的圖象及性質a＞10＜a＜1圖象性質定義域：R值域：(0，＋∞)過點(0,1)，即x＝0時，y＝1當x＞0時，y＞1；當x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；當x＜0時，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)題型一指數(shù)函數(shù)的概念及應用規(guī)律方法判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法（（1）定義域必須是實數(shù)集R；（2）自變量是，位于指數(shù)位置上，且指數(shù)位置上只有這一項；（3）指數(shù)式只有一項，并且指數(shù)式的系數(shù)為1；（4）底數(shù)的范圍必須是。例1、給出下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4），其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析：（1）函數(shù)中的自變量在底數(shù)位置上，不在指數(shù)位置上，故不是指數(shù)函數(shù)；（2）函數(shù)的底數(shù)為，故不是指數(shù)函數(shù)；（3）函數(shù)中的指數(shù)式前的系數(shù)不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)；（4）函數(shù)的底數(shù)滿足，符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù)。答案A【變式訓練1】（1）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則的值為（）A.0B.C.1D.2（2）已知指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則的值等于解析：（1）為指數(shù)函數(shù)，則應滿足，解得（2）設，∵過點，∴，又∵，∴，∴，∴答案（1）D（2）題型二指數(shù)函數(shù)圖象的應用規(guī)律方法處理函數(shù)圖象問題的策略（（1）抓住特殊點：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令指數(shù)為0，求出對應的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．（2）巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．（3）利用函數(shù)的性質：奇偶性與單調性．（4）指數(shù)函數(shù)的圖像的特點：①若，（誰底越大，越偏向坐標軸）即當時，總有；當時，總有；當時，總有。②若，（誰底母越大，越偏向坐標軸）即當時，總有；當時，總有；當時，總有。例2、(1)函數(shù)f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點是________．(2)如圖所示，曲線分別是指數(shù)函數(shù)的圖像，判斷的大小關系是（3）若指數(shù)函數(shù)在R上為單調遞減函數(shù)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.解析:（1）∵y＝ax的圖象過定點(0,1)，∴令x＋1＝0，即x＝－1，則f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的圖象過定點(－1，－1)．（2）作直線，觀察圖像與直線的交點，根據(jù)交點越高，越大可知，（3）∵在R上單調遞減，∴，解得，則的取值范圍是答案（1）（2）（3）【變式訓練2】(1)函數(shù)y＝2|x|的圖象是()(2)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：(1)，故選B．(2)從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù)，從而有0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)y＝ax的圖象向左平移個單位長度得到，所以，即.答案(1)B(2)D題型三指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域問題規(guī)律方法指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域：函數(shù)(1)定義域：函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．(2)值域：①換元，t＝f(x)．②求t＝f(x)的定義域為x∈D.③求t＝f(x)的值域為t∈M.④利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．例3、求下列函數(shù)的定義域、值域。（1）；（2）（3）解析：（1）函數(shù)的定義域為R（對一切）∵，又∵，∴，∴，∴，∴值域為（2）函數(shù)的定義域為R，，∵，∴，即時，取最小值，同時可以取一切大于的實數(shù)，∴值域為（3）要使函數(shù)式有意義，則，即∵函數(shù)在R上是增函數(shù)，∴，故函數(shù)的定義域為，由于，∴，∴，∴故函數(shù)的值域為?！咀兪接柧?】求下列函數(shù)的定義域和值域．（1）；（2）；（3）解析：（1）要使函數(shù)式有意義，則，解得∴函數(shù)的定義域為，又∵，∴，即函數(shù)的值域為（2）要使函數(shù)式有意義，則解得∴函數(shù)的定義域為，∵∴，即函數(shù)的值域為（3）由已知，函數(shù)的定義域為R?！摺嘤?，∴即函數(shù)的值域為思維拓展思維拓展考向一利用指數(shù)函數(shù)的性質比較指數(shù)式的大小規(guī)律方法（1）歸類：根據(jù)實際問題常將其分成三類：（1）歸類：根據(jù)實際問題常將其分成三類：一類是負數(shù)；一類是大于0小于1的數(shù)；一類是大于1的數(shù)，再對三類數(shù)比較大小。（2）若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得出結果。（3）若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得出結果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進第三個數(shù)分別與之比較，從而得出結果。例4、（1）設，，，則（）A.B.C.D.（2）比較這四個數(shù)的大小解析：（1），，，根據(jù)在R上是增函數(shù)，得，即（2）由題意有，∵，∴即【變式訓練4】（1）設，則的大小關系是（）A.B.C.D.（2）設函數(shù)定義在實數(shù)集上，它的圖像關于直線對稱，且當時，，則有（）A.B.C.D.解析：（1）∵冪函數(shù)在上為增函數(shù)，∴；又∵為R上的減函數(shù)，所以故（2）∵的圖像關于直線對稱，∴，∵在上是增函數(shù)，∴，即答案（1）A（2）B考向二與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性（1）復合指數(shù)函數(shù)單調性的判斷增增減減增減增減增減減增（2）指數(shù)不等式的解法（1）形如（1）形如的不等式，可借助的單調性求解。如果的值不確定，需分和兩種情況討論。（2）形如的不等式，注意將化為以為底的指數(shù)冪的形式，再借助的單調性求解。（3）形如的不等式，可借助圖像求解，也可轉化為求解。例5-1、討論函數(shù)的單調性，并求其值域。解析：函數(shù)的定義域為R，令，則∵上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。∵∴，∴，所以函數(shù)的值域為例5-2、（1）設函數(shù)則滿足的的取值范圍是（）A.B.C.D.（2）已知函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍。解析：（1）當時，函數(shù)是減函數(shù)，則。作出的大致圖像如圖所示，結合圖像可知，要使，則需解得（2）由于均為增函數(shù)，為減函數(shù)，但為增函數(shù)，所以可得在R上遞增。又可得為奇函數(shù)，則，即有，即有解得答案（1）D（2）【變式訓練5-1】若，求函數(shù)的最大值和最小值。解析：令，，∴當時，；當時，答案【變式訓練5-2】（1）已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）A.B.C.D.解析：（1）定義域為R，由可知為奇函數(shù)，∵在R上是減函數(shù)，在R上是增函數(shù)，∴函數(shù)在R上是增函數(shù)（2）由題意，知，即所以，解得，所以，由，得，所以答案（1）B（2）C綜合訓練綜合訓練A組基礎演練A組基礎演練一、選擇題1．函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是()A．4 B．1或3C．3 D．1解析：由題意得得a＝3，故選C.答案C2．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()A． B．C． D．解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D項正確．故選D.答案D3．函數(shù)y＝a|x|(a>1)的圖象是()解析：當x≥0時，y＝a|x|的圖象與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象相同，當x<0時，y＝a|x|與y＝a－x的圖象相同，由此判斷B正確．答案B4．若a>1，－1<b<0，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象一定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限解析：∵a>1，且－1<b<0，故其圖象如圖所示．答案A5．下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()①y＝(eq\f(1,2))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝(eq\f(1,2))2x－1.A．0個B．1個C．3個D．4個解析：由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確．答案B6．函數(shù)y＝(eq\r(3)－1)x在R上是()A．增函數(shù)B．奇函數(shù)C．偶函數(shù)D．減函數(shù)解析：由于0<eq\r(3)－1<1，所以函數(shù)y＝(eq\r(3)－1)x在R上是減函數(shù)，f(－1)＝(eq\r(3)－1)－1＝eq\f(\r(3)＋1,2)，f(1)＝eq\r(3)－1，則f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函數(shù)y＝(eq\r(3)－1)x不具有奇偶性．答案D二、填空題7．指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax＋1的圖象恒過定點________．解析：由函數(shù)y＝ax恒過(0,1)點，可得當x＋1＝0，即x＝－1時，y＝1恒成立，故函數(shù)恒過點(－1,1)．答案(－1,1)8．函數(shù)f(x)＝3eq\r(x－1)的定義域為________．解析：由x－1≥0得x≥1，所以函數(shù)f(x)＝3eq\r(x－1)的定義域為[1，＋∞)．答案[1，＋∞)9．函數(shù)f(x)＝3x－3(1<x≤5)的值域為________．解析：因為1<x≤5，所以－2<x－3≤2，而函數(shù)f(x)＝3x是單調遞增的，于是有eq\f(1,9)<f(x)≤32＝9，即值域為答案10．給出函數(shù)則f(2)＝________.解析：f(2)＝f(3)＝23＝8.答案811.圖中的曲線C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象，而a∈{eq\f(\r(2),3)，eq\f(1,3)，eq\r(5)，π}，則圖象C1，C2，C3，C4對應的函數(shù)的底數(shù)依次是____，____，____，____.解析：由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象變化的規(guī)律，在y軸右側，底大圖高，在y軸左側，底大圖低．則知C2的底數(shù)<C1的底數(shù)<1<C4的底數(shù)<C3的底數(shù)，而eq\f(1,3)<eq\f(\r(2),3)<eq\r(5)<π，故C1，C2，C3，C4對應函數(shù)的底數(shù)依次是eq\f(\r(2),3)，eq\f(1,3)，π，eq\r(5).答案eq\f(\r(2),3)eq\f(1,3)πeq\r(5)三、解答題12．已知函數(shù)f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經(jīng)過點，其中a>0且a≠1(1)求a的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)(x≥0)的值域．解析：(1)因為函數(shù)圖象過點，所以a2－1＝eq\f(1,2)，則a＝eq\f(1,2).(2)由(1)得f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1，于是0<＝2.所以所求函數(shù)的值域為(0,2]．答案（1）（2）13．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)設t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值與最小值；(2)求f(x)的最大值與最小值.解析：(1)設t＝3x，∵x∈[－1,2]，函數(shù)t＝3x在[－1,2]上是增函數(shù)，故有eq\f(1,3)≤t≤9，故t的最大值為9，t的最小值為eq\f(1,3).(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函數(shù)的對稱軸為t＝1，且eq\f(1,3)≤t≤9，故當t＝1時，函數(shù)f(x)有最小值為3，當t＝9時，函數(shù)f(x)有最大值為67.答案（1）（2）B組提升突破B組提升突破一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的圖象的大致形狀是()解析：當x>0時，y＝ax(0<a<1)，故去掉A、B，當x<0時，y＝－ax，與y＝ax(0<a<1，x<0)的圖象關于x軸對稱，故選D.答案D2．當x>0時，函數(shù)f(x)＝(a2－1)x的值總大于1，則實數(shù)a的取值范圍是()A．1<|a|<eq\r(2)B．|a|<1C．|a|>1D．|a|>eq\r(2)解析：依題意得a2－1>1，a2>2，∴|a|>eq\r(2).答案D3．函數(shù)的值域為（）A． B．C．D．解析：由二次函數(shù)的性質可知，因此，即函數(shù)的值域為.答案D4．若函數(shù)單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．解析：函數(shù)單調遞增，解得所以實數(shù)的取值范圍是．答案B5．已知函數(shù)，則（）A．在單調遞增 B．在單調遞減C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于y軸對稱解析：，根據(jù)對勾函數(shù)的圖像特征，在單調遞減，在單調遞增，在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可得，當，即，函數(shù)單調遞減，當，即，函數(shù)單調遞增，所以選項A,B錯誤；由，的圖像關于直線對稱，選項C正確；由，的圖像不關于y軸對稱，選項D，錯誤.故選C.答案C6．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.若存在，使得不等式有解，則實數(shù)的最大值為（）A．B．C．1D．-1解析：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且①，②①②兩式聯(lián)立可得，.由得，∵在為增函數(shù)，∴，故選：A.答案A二、填空題7．函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,3x＋1)的值域是________．解析：函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(3x,3x＋1)，即有3x＝eq\f(－y,y－1)，由于3x＞0，則eq\f(－y,y－1)＞0，解得0＜y＜1，值域為(0,1)．答案(0,1)8．若x1，x2是方程的兩個實數(shù)解，則x1＋x2＝________.解析：∵，∴，∴x＝eq\f(1,x)－1，∴x2＋x－1＝0.∴x1＋x2＝－1.答案－19．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．解析：函數(shù)的對稱軸為，且在上單調遞減，在上單調遞增，由函數(shù)在區(qū)間上的值域為，知即。答案三、解答題10．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1,1]上的最大值為14，求a的值．解析：函數(shù)y＝a2x