高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案（46文）第七章立體幾何高考大題規(guī)范解答系列（四）-立體幾何（文）練習(xí)（含解析）新人教版

高考大題規(guī)范解答系列(四)——立體幾何(文)1．(2016·江蘇，16)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB＝求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[解析](1)因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因?yàn)锳B＝BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC．因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1所以C1C⊥平面又因?yàn)锽E?平面ABC，所以C1C⊥BE因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.2.(2021·河南開封模擬)如圖，直棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，CD的中點(diǎn)，AB⊥EF(1)求證：AB⊥AD；(2)若AD＝AA1＝2，求幾何體AA1DFBE的體積．[解析](1)證明：直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所以A1E∥DF，又E，F(xiàn)分別為棱A1B1，CD的中點(diǎn)，所以A1E＝DF，所以A1EFD是平行四邊形，所以EF∥A1D.因?yàn)锳B⊥EF，所以AB⊥A1D，又AB⊥AA1，A1D∩AA1＝A1，所以AB⊥平面ADD1A1，AD?平面ADD1A所以AB⊥AD.(2)由已知AA1＝AD＝AB＝2，ABCD－A1B1C1D1取AB的中點(diǎn)記為O，連接EO，F(xiàn)O，AB⊥平面EOF，易知EOF－A1AD為直三棱柱，B－EOF為三棱錐，所以VEOF－A1AD＝eq\f(1,2)×2×2×1＝2，VB－EOF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×1＝eq\f(2,3)，幾何體AA1DFBE的體積V＝VEOF－A1AD＋VB－EOF＝2＋eq\f(2,3)＝2eq\f(2,3).3．(2021·四川樂山調(diào)研)如圖，邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′.(1)求證：A′D⊥EF；(2)求三棱錐A′－EBF的體積．[解析](1)證明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，且EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF.(2)解法一：設(shè)點(diǎn)A′到面EFD的距離為h，∵VA′－EFD＝VD－A′EF，∴eq\f(1,3)·h·S△EFD＝eq\f(1,3)·A′D·S△A′EF，即h＝eq\f(A′D·S△A′EF,S△EFD)＝eq\f(4×\f(1,2)×2\r(2)×\r(2),\f(1,2)×2\r(2)×3\r(2))＝eq\f(4,3)，∴VA′－EFB＝eq\f(1,3)·h·S△EBF＝eq\f(1,3)×eq\f(4,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,9).解法二：eq\f(VA′EBF,VA′－EFD)＝eq\f(S△BEF,S△EFD)＝eq\f(1,3)，∴VA′－EBF＝eq\f(1,3)VA′－EFD＝eq\f(1,3)VD－A′EF＝eq\f(8,9).4．(2020·河北武邑)如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其余四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(5)的等腰三角形，E為AB的中點(diǎn)．(1)在側(cè)棱VC上找一點(diǎn)F，使BF∥平面VDE，并證明你的結(jié)論；(2)在(1)的條件下，求三棱錐E－BDF的體積．[解析](1)F為VC的中點(diǎn)．取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HF.∵四邊形ABCD為正方形，E為AB的中點(diǎn)，∴BE綊DH.∴四邊形BEDH為平行四邊形，∴BH∥DE.又∵F為VC的中點(diǎn)，H為CD的中點(diǎn)，∴FH∥VD，DE∩VD＝D，BH∩FH＝H，∴平面BHF∥平面VDE.又BF?平面BHF，∴BF∥平面VDE.(2)∵F為VC的中點(diǎn)，S△BDE＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，∴VE－BDF＝VF－BDE＝eq\f(1,8)VV－ABCD.由條件可知V－ABCD為正四棱錐．∴V在平面ABCD內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O.∵VB＝eq\r(5)，BO＝eq\r(2)，∴VO＝eq\r(3).∴VV－ABCD＝eq\f(1,3)×22×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴VE－BDF＝eq\f(\r(3),6).5．(2021·百師聯(lián)盟聯(lián)考)四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，DC⊥BC，且DC長(zhǎng)為eq\r(3)，設(shè)DC中點(diǎn)為M，B關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為E，且F，G分別為CE，AD的中點(diǎn)．(1)證明：平面FGM⊥平面BCD；(2)求四面體BGMF的體積．[解析](1)證明：因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，因?yàn)锳C?平面ABC，BC?平面ABC，所以CD⊥AC，CD⊥BC，又G，M分別為AD，CD的中點(diǎn)，所以GM∥AC，所以GM⊥CD，同理可得MF⊥CD，因?yàn)镸F∩GM＝M，所以CD⊥平面GMF，因?yàn)镃D?平面BCD，所以平面BCD⊥平面FGM.(2)由(1)可知，MF∥BC，因?yàn)锽C?平面GMF，MF?平面GMF，所以BC∥平面GMF，故B到平面GMF的距離，即為C到平面GMF的距離，由(1)可知CM＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)，即為C到平面GMF的距離，取BD的中點(diǎn)N，則F，M，N三點(diǎn)共線，連接GN，MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，GN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)，GM＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，所以S△GMN＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(\r(3),16)，因?yàn)镸為FN中點(diǎn)，所以S△GMF＝S△GMN＝eq\f(\r(3),16)，故VB－GMF＝eq\f(1,3)·S△GMF·CM＝eq\f(1,32).6．(2021·安徽黃山質(zhì)檢)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，且AD⊥BC，四邊形ABB1A(1)求證：A1C∥平面AB1D(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求點(diǎn)A1到平面AB1D的距離．[解析](1)連接BA1，交AB1于點(diǎn)E，再連接DE，由已知得，四邊形ABB1A1為正方形，E為A1B∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE∥A1C又DE?平面AB1D，A1C?平面AB1D∴A1C∥平面AB1D(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC為它們的交線，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，又∵B1D?平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，且AD＝2eq\r(3)，B1D＝2eq\r(5).同理可得，過D作DG⊥AB，則DG⊥面ABB1A1且DG＝eq\r(3).設(shè)A1到平面AB1D的距離為h，由等體積法可得：VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·AD·DB1·h＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·AA1·A1B1·DG，即2eq\r(3)×2eq\r(5)·h＝4×4×eq\r(3)，∴h＝eq\f(4\r(5),5).即點(diǎn)A1到平面AB1D的距離為eq\f(4\r(5),5).(注：本題也可建立空間直角坐標(biāo)系用向量法求解．)7．(2020·河北省級(jí)示范性高中聯(lián)考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝eq\r(3)，AA1＝AB＝2AD＝2.(1)證明：平面ADB1⊥平面BB1C(2)若BD＝CD，試問：A1C是否與平面ADB1平行？若平行，求三棱錐A－A1B1D[解析](1)證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因?yàn)锳D?平面ABC，所以AD⊥BB1.由BD＝eq\r(3)，AB＝2，AD＝1，則AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BC，又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BB1C因?yàn)锳D?平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面BB1C(2)A1C與平面ADB1證明如下：取B1C1的中點(diǎn)E，連接DE，CE，A1E因?yàn)锽D＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四邊形ADEA1為平行四邊形，則A1E∥AD.同理可證CE∥B1D.因?yàn)锳1E∩CE＝E，所以平面ADB1∥平面A1CE，又A1C?平面A1CE所以A1C∥平面ADB1因?yàn)锳A1∥BB1，所以VB1－AA1D＝VB－AA1D，又BD＝eq\r(3)，且易證BD⊥平面AA1D，所以VA－A1B1D＝VB1－AA1D＝VB－AA1D＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×1＝eq\f(\r(3),3).8.(2021·河南周口、商丘聯(lián)考)如圖所示，四面體ABCD的頂點(diǎn)都在圓柱的上、下底面圓周上，且AB是下底面圓的直徑，BC是圓柱的母線．(1)求證：AD⊥CD；(2)若AB＝BC，異面直線AB與CD所成的角為30°，且圓柱的側(cè)面積為4π，求四面體ABCD的體積．[解析]如圖，過點(diǎn)D作圓柱的母線DE，連接AE，BE.因?yàn)槟妇€DE與底面垂直，所以DE⊥BE，因?yàn)锳B是底面圓的直徑，所以AE⊥BE，又AE∩DE＝E，所以BE⊥平面AED，由DE∥BC且DE＝BC，可知CD∥BE，所以CD⊥平面AED，又AD?平面AED，所以AD⊥CD.(2)圓柱側(cè)面積為π·AB·BC＝4π，所以AB＝BC＝2.因?yàn)楫惷嬷本€AB和CD所成的角為30°，所以∠ABE＝30°，所以AE＝1，BE＝e