圓的標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)學(xué)案

2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)

2.會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【自主學(xué)習(xí)】

知識點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓,定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為

圓的半徑.

(2)確定圓的基本要素是圓心和半徑,如圖所示.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—a)2+(y—6)2=戶.

當(dāng)。=%=0時，方程為/+>2=/，表示以原點(diǎn)。為圓心、半徑為「的圓.

知識點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

222

(x—a)+(^—h)=r(r>0),其圓心為C(a,h),半徑為r,點(diǎn)、P(x0,泗)，設(shè)d=\PC\=

yl(xo—a)2+(y>o—b)2.

位置關(guān)系“與r的大小圖不點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)

1

點(diǎn)在圓外d>r送kUo—a)2+(yo—力產(chǎn)二產(chǎn)

點(diǎn)在圓上d=ruUo-a)2+(yo—份之三/

點(diǎn)在圓內(nèi)d<r(%-?)2+(70-*)2<^

1u0

2

【合作探究】

探究一直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例1】(1)己知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0,小)在圓C上，且圓心到直線2x

—y=0的距離為番，則圓C的方程為.

(2)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(-5,一3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(1)。-2)2+丁=9(2)(x+5)2+(y+3)2=25

解析(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(。,0)3>0),

由題意知唱=W，解得”=2,

則圓C的半徑為r=|CM=#22+(幣)2=3.

.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(犬-^>+產(chǎn)=9

(2)：圓心坐標(biāo)為(-5,-3),

又與y軸相切，

該圓的半徑為5,

???該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+5)2+(y+3)2=25.

歸納總結(jié)：(1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，因此用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

時，要首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)確定圓心和半徑時，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時還用到平面幾何知識，

如“弦的中垂線必過圓心''”兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心''等.

【練習(xí)1】以兩點(diǎn)4一3,-1)和8(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()

A.(x+1)2+。+2)2=10

B.(X-1)2+(>-2)2=100

C.(x+l)2+(y+2)2=25

3

D.(犬一1)2+&-2)2=25

【答案】D

解析為直徑，

，AB的中點(diǎn)(1,2)為圓心，

；忸8]=知(5+3>+(5+1)2=5為半徑，

該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-1)2+()，-2)2=25.

探究二待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例2】求經(jīng)過點(diǎn)尸(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x+3y+l=0上的圓的方程.

解方法一(待定系數(shù)法)

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—4)2+0，一與2=匕

a2+h2=r2,

則有:(1-4+(1—與2=產(chǎn),

.2a+3b+l=0,

a=4,

解得<b=-3,

J=5.

，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-*4)2+(y+3)2=25.

方法二(直接法)

由題意知是圓的弦，其垂直平分線為x+y—1=0.

?.?弦的垂直平分線過圓心，

[2x+3y+l=0,

.-?由]

[x+y—I=0,

4

x=4,

即圓心坐標(biāo)為(4,-3),

半徑為/--\/42+(—3)2=5.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—4)2+6+3)2=25.

歸納總結(jié)：

【練習(xí)2】已知aABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,5),B(l,—2),C(-3,一4),求該三角

形的外接圓的方程.

解方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-a)2+(y—b)2=r2,

因?yàn)?(0,5),8(1,-2),C(-3,-4)都在圓上，

所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(0—a)2+(5—Z?)2=r2,(a——3,

于是有《(1—。)2+(—2—匕)2=於，解得<方=1,

.(—3—a)2+(—4—/>)2=r2,J=5.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+3)2+(y—1>=25.

方法二因?yàn)槎?0,5),8(1,-2),

所以線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(；，1),直線A8的斜率為乂7,

221—0

31

-

因此線段AB的垂直平分線的方程是y2?即x-7y+10=0.

同理可得線段8c的垂直平分線的方程是2x+y+5=0.

fj-7y+10=0,

由c「，c得圓心坐標(biāo)為(-3,1).

t2r+y+5=0,

5

又圓的半徑長T（-3-0）2+（l—5）2=5,

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+3）2+（y—1）2=25.

探究三點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【例3】（1）點(diǎn)P（〃，5）與圓^+y2=24的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在圓內(nèi)

B.點(diǎn)P在圓外

C.點(diǎn)P在圓上

D.不確定

（2）己知點(diǎn)加（5班+1,g）在圓（彳-1）2+）2=26的內(nèi)部，則“的取值范圍是

【答案】(1)B(2)[0,1)

解析(1)由(，/)2+52=，/+25>24,

得點(diǎn)尸在圓外.

a20,

（2）由題意知,

(56+1-1/+(6)2<26,

即,解得OW〃vl.

26a<269

歸納總結(jié)：（1）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法

①只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心之間的距離，與半徑作比較即可.

②把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷.

（2）靈活運(yùn)用

若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍.

6

【練習(xí)3］已知點(diǎn)(1,1)在圓(x—a)2+(y+〃)2=4的外部，則?的取值范圍是

【答案】(-8,-1)U(1,+8)

解析由題意知，(1—。)2+(1+")2>4,

2cr-2>0,

即a<—1或a>\.

探究四與圓有關(guān)的最值問題

【例4】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x-2)2+V=3,求學(xué)勺最大值和最小值.

解原方程表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以小為半徑的圓，

設(shè);=鼠即y—kx.

當(dāng)直線與圓相切時，斜率上取最大值和最小值，

此時討=小’

解得

故:的最大值為小，最小值為--小.

歸納總結(jié)：與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型

(1)形如〃=三形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(x,y)和(a,力的動直線斜率的最值問題.

⑵形如l=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線

產(chǎn)一齊+;截距的最值問題.

(3)形如。一幻2+。一勿2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)3,勿的距離的平方的

7

最值問題.

【練習(xí)4】已知尤和y滿足。+1)2+尸=小試求：

(DW+y2的最值；

(2)x+)，的最值.

解(1)由題意知，f+V表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原

點(diǎn)的距離取最大值和最小值時，其平方也相應(yīng)地取得最大值和最小值.

原點(diǎn)(0,0)到圓心(-1,0)的距離為4=1,

13

故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1+U，

最小距離為1—

91

因此d+y2的最大值和最小值分別為

(2)令x+y=z并將其變形為y=—x+z,

問題轉(zhuǎn)化為斜率為一1的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時，在)，軸上的截距的最值.

當(dāng)直線和圓相切時，在y軸上的截距取得最大值和最小值，

此時有?出"LT，

解得z=￥-l,

因此x+y的最大值為堂-1,最小值為一堂一1.

8

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.圓(x+1)2+。-2)2=4的圓心與半徑分別為()

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(-1,2),4D.(1,-2),4

【答案】A

2.已知一圓的圓心為點(diǎn)4(2,-3),一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和)，軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為()

A.(x+2)2+(y-3)2=13

B.2)2+0+3)2=13

C.(x—2>+。+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

【答案】B

解析如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，原點(diǎn)在圓上，

圓的半徑為r=^/(2-0)2+(-3-0)2=VT3.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-2)2+Cy+3)2=13.

3.過點(diǎn)A(l,-1),仇一1,1),且圓心在直線x+y—2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

9

A.(X-3)2+CV+1)2=4B.(x+3)2+&-1)2=4

C.(X-1)2+(J-1)2=4D.(x+1)2+。+1尸=4

【答案】C

解析根據(jù)圓在直線x+y-2=0上可排除B、D,再把點(diǎn)8的坐標(biāo)代入A,C選項(xiàng)中，可得

C正確.

4.點(diǎn)(54+1,12")在圓(x-l)2+V=l的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.\a\<1B.

C.|〃|<士D.I〃|V七

【答案】D

解析依題意有(5a)2+144a2<],

所以16942V1,

所以/〈焉，即同〈上，故選D.

5.若圓心在x軸上，半徑為小的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x+2y=0相切，則圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.Q—小F+y2=5B.(x+小/+y2=5

C.(x—5>+y2=5D.(X+5)2+/=5

【答案】D

解析設(shè)圓心坐標(biāo)為3,0),

由題意知第=/，，|a|=5.

?.?圓C位于)，軸左側(cè)，...a=-5,

，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤+5)2+,2=5.

6.若直線y=ar+。通過第一、二、四象限，則圓(x+a)2+(y+b)2=i的圓心位于()

10

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

解析(一。，一人)為圓的圓心，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得到a<0,b>0,即一〃>0,

一床0.再由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，得圓心位于第四象限.

7.己知圓C與圓(龍-1)2+>2=1關(guān)于直線丫=一犬對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+l)2+y2=iB./+丁=1

C.『+0+1)2=1D.1)2=1

【答案】C

解析由已知圓(r-1)2+/=1,得圓心Cl的坐標(biāo)為(1,0),半徑長n=1.

設(shè)圓心G(l,0)關(guān)于直線丫=一、對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,h),即圓心C的坐標(biāo)為(a,h),

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+(y+l)2=l.

8.設(shè)P是圓。-3)2+°，+1)2=4上的動點(diǎn)，。是直線*=-3上的動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為

()

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

解析如圖，圓心M(3,-1)與定直線x=-3的最短距離為附。|=3—(-3)=6.又圓的半徑

為2,故所求最短距離為6—2=4.

11

二、填空題

9.若圓C與圓M：。+2)2+。-1)2=1關(guān)于原點(diǎn)對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(X—2)2+。+1)2=1

解析已知圓的圓心例的坐標(biāo)為(-2,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1),...圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+。+1)2=1.

10.圓。的方程為(》-3)2+。-4)2=25,則點(diǎn)(2,3)到圓上的最大距離為.

【答案】5+觀

解析點(diǎn)(2,3)與圓心連線的延長線與圓的交點(diǎn)到點(diǎn)(2,3)的距離最大，最大距離為點(diǎn)(2,3)到圓

心(3,4)的距離正加上半徑長5,即為5+啦.

11.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=。和x軸都相切，則該圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程是.

【答案】(x-2)2+(y-l)2=l

解析圓心在第一象限，而且與x軸相切，

二可設(shè)圓心坐標(biāo)為3,1),

則圓心到直線4x-3y=0的距離為1,

即可=1,得。=2或。=一；(舍去)，

，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X—2)2+。-1)2=1.

12.若實(shí)數(shù)x,y滿足/+9=1,則旨的最小值是.

3

【答案】

12

解析二Y的幾何意義是兩點(diǎn)(x，y)與(1,2)連線的斜率，而點(diǎn)(X，y)在圓1上,

過點(diǎn)P(l,2)作圓的切線,

由圖知以的斜率不存在，PB的斜率存在，則PB的斜率即為所求.

.?.設(shè)P8的方程為y-2=Mx-l),得kx-y-k+2^0.

又和圓相切，

.LA-+2I3

得&弋.

???冷的最小值是京

三、解答題

13.求過點(diǎn)4(1,2)和3(1,10)且與直線x—2y—1=0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解設(shè)圓心坐標(biāo)為3,b),

：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),

.'.AB的垂直平分線為y=6.

?.?圓心(a,與在A8的垂直平分線上，

:.b=6.

由題意得y(a-l)2+(6_2)2=；12T：^，

解得a=3或一7,

當(dāng)”=3時，/=^(3-1)2+(6-2)2=275.

13

當(dāng)。=-7時，r=q(-7-l)2+(6—2)2=4小.

，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3)2+(y-6)2=20

或(*+7)2+&-6)2=80.

14.求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)圓的內(nèi)接正方形相對的兩個頂點(diǎn)分別為45,6),C(3,-4)；

⑵過兩點(diǎn)C(一1,1)和。(1,3),圓心在x軸上的圓.

解(1)由題意知，AC為直徑，則AC的中點(diǎn)為圓心，

圓心坐標(biāo)為(4,1),半徑為

依。N(5—3)2+(6+4)、r-

r22)yzo,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X—4)2+0—1)2=26.

(2)由幾何知識知，CO的垂直平分線經(jīng)過圓心，

1

由宣尸二[])1.CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

；.CO的垂直平分線為)，=—x+2.

則圓心坐標(biāo)為(2,0),r=N(~l.2)2+(1_。)2=回,

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+〉2=10.

14

B組能力提升

一、選擇題

1.在圓/+產(chǎn)一以+2)，=0內(nèi)，過點(diǎn)M(1,O)的最短弦的弦長為()

A.小B.2小

C.小D.2^3

【答案】D

［圓f+y2—4x+2y=0,化簡為：(x—2)2+(y+l)2=5,點(diǎn)M(1,O)在圓的內(nèi)部，記圓心為0

點(diǎn)，則最短弦長是過點(diǎn)M和0M垂直的弦，根據(jù)垂徑定理得到弦長為：2W-OM2

=2/三=2小.故【答案】為D.1

2.設(shè)尸是圓(x—3)2+(y+l)2=4上的動點(diǎn)，。是直線x=—3上的動點(diǎn)，則|PQ的最小值為

()

A.6B.4

C.3D.2

【答案】B

［圓的半徑r=2.圓心(3,-1)到直線x=-3的距離為6,...IPQI的最小值為6—「=6—2=4,

故選B.1

3.設(shè)尸(x,y)是圓C：(》-2)2+尸=1上任意一?點(diǎn)，則(》一5)2+。+4)2的最大值為()

A.6B.25

C.26D.36

【答案】D

解析(x—5)2+(y+4)2的幾何意義是點(diǎn)尸(x,y)到點(diǎn)Q(5,-4)的距離的平方.

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓我—2)2+9=1上，且點(diǎn)。在圓外，

所以其最大值為(IQCI+1)2=36.

4.(多選題)下列各點(diǎn)中，不在圓(x—l)2+(y+2)2=25的外部的是()

15

A.(0⑵B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

【答案】ACD

［由(0—1)2+(2+2)2<25,知(0,2)在圓內(nèi);由(3—1)2+(3+2戶>25知(3,3)在圓外；由(一2一

1)2+(2+2尸=25知(一2,2)在圓上，由(4-1產(chǎn)+(1+2)2<25知(4,1)在圓內(nèi)，故選ACD.］

二、填空題

5.若實(shí)數(shù)x,y滿足。+5)2+。-12)2=142,則d+y2的最小值是-

【答案】1

解析表示圓上的點(diǎn)門與(o,o)的距離的平方，而(0,0)在圓的內(nèi)部，由幾何意義可

知，最小值為14-^/52+122=1.

6.圓C：(》一3)2+。+4)2=1關(guān)于直線/：x-3y—5=0對稱的圓的方程是.

【答案】伏一1)2+。-2)2=1

［由(x-3)2+U+4)2=l知圓心為c(3,-4),半徑r=l.

設(shè)圓C關(guān)于直線/：x-3y-5=0對稱的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—切2=/2,

fb+4

a=\,

則〈a+3b~4解得，b=2,故所求圓的方程為(x-1>+()-2)2=1.］

3X-T7--5=0,

，=1，

4=1,

7.己知A,B兩點(diǎn)是圓f+(y—l)2=4上的兩點(diǎn)，若4,8關(guān)于直線》+—一3=0對稱，則

a=；若點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，則直線AB的方程為.

【答案】3x+y-3=0

［圓f+Cr-l)2=4的圓心C的坐標(biāo)為(0,1),若A,8關(guān)于直線x+qy—3=0對稱，則直線經(jīng)

過圓心(0,1),."=3.又若圓/十。-1)2=4上存在A,8兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)尸(1,2)中心對稱，則

CP1AB,P為A8的中點(diǎn)，VjtCP=Y^=l,：.kAB=-\,直線A8的方程為y-2=-(x

-1),即x