中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破講練：專題04 三角形中的8字模型和燕尾模型（教師版）

專題04三角形中的8字模型和燕尾模型如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)O,連接AD,BC;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得∠A+∠D=∠B+∠C;根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得AD+BC<AC+BD【模型變式1】如圖已知BD與AC相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在OA上，連接AD,DE,BC;根據(jù)三角形內(nèi)【模型變式2】如圖DB與DG分別交AF于C點(diǎn)，E點(diǎn)，連接AB,GF;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得如圖在四邊形ABOC中，可根據(jù)外角定理：三角形的一個(gè)外角等于不與它相鄰的兩個(gè)內(nèi)角【模型變式1】分別在AB,BC,AC上，AE,BF,CD相交于點(diǎn)O。可得：【證明】如圖，分別過點(diǎn)B,點(diǎn)C作BG垂直于AE于G點(diǎn)，作CP垂直于AG的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)。;根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB=∠FAB+∠B,因?yàn)椤螰AB=∠CAD+∠CAB,即可求得∠DFB的度數(shù)；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠DGB=∠DFB-∠D,即可得∠DGB的度數(shù).∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB+∠B【例2】如圖1,已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.試(2)如圖2,在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N.請(qǐng)直接利用(1)中的結(jié)論，完成下列各題：③若∠D和DB為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、DB之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系?若存在，請(qǐng)若存在，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出結(jié)論.③和②同理∴∠A+∠D=∠C+∠B(2)①解：以M為交點(diǎn)的有1個(gè)，即為△AMD和!CMP以O(shè)為交點(diǎn)的有4個(gè)，即為△AOD和△COB,△AOM和△BOC,△AOM和△CON,△AOD和△由(1)中的結(jié)論得：整理得：∠B+∠D=2∠P③解：∠B+∠D=2∠P理由如下：∵AP平分∠DAB,CP平分∠BCD由(1)中的結(jié)論得：由(1)中的結(jié)論得：∠2+∠P=∠4+∠B3∠2+∠D=3∠4+∠B則∠ADB的度數(shù)為()A.65°B.60°C.50°故選項(xiàng)A,B,C正確，3.如圖，∠1=60°,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠EA.240°B.280°C.360°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個(gè)角的和，加在【解析】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E,∠2=∠F+∠D,4.如圖是由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形，∠D=28°,則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為()A.62B.152°C.208°D.2【答案】C【解析】∵如圖可知∠BED=∠F+∠B,∠CGE=∠C+∠A,故選C.5.在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°,A.72°B.70°C.65°【答案】A【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O,連接AO,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC,再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠DEO,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠DFO,根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出∠DFC的度數(shù).【解析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O,連接AO,如圖，6.如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為()【解析】如圖，連接BC,7.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=_.∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和=(6-2)×180°=720°,【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E,∠A+根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°,可得：∠2+∠3+∠GFE+∠4+∠5+∠DCB=360°10.如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_.【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠2與∠H、∠G的關(guān)系，∠1與∠2、∠D的關(guān)系，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠A+∠B+∠C+∠E+∠F+∠H+∠G+∠D=270°.11.如圖所示，已知四邊形ABDC,求證∠BDC=∠A+∠B【分析】方法1連接BC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；方法3延長(zhǎng)BD,交AC于點(diǎn)E,兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【解析】方法1如圖所示，連接BC.方法2如圖所示，連接AD并延長(zhǎng).∵∠3是△ABD的外角，同理，∠4=∠2+∠ACD.方法3如圖所示，延長(zhǎng)BD,交AC于點(diǎn)E.12.如圖，AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD,若∠B=42°,∠D=54°,求∠M的度數(shù).【答案】∠M=48°.再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD,然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(·),:)13.如圖，BP平分∠ABC,交CD于點(diǎn)F,DP平分∠ADC交AB(1)若∠ADC=60°,求∠AEP的度數(shù)；(2)若∠C=38°,求∠P的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得:,然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解；(2)根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF,∠CBP=∠PBA,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP,∠C+∠CBP=∠P+∠PDF,所以∠A+∠C=2∠P,即可得解.14.(1)如圖①,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；(2)如圖②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；(3)如圖③,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).圖①【答案】(1)360°;(2)720°;(3)540°圖③【分析】(1)連接AD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B+∠C=∠BAD+∠CDA,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊(2)與(1)方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，(3)使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和.【解析】解：(1)如圖①,連接AD,(2)如圖②,由(1)方法可得：∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度數(shù)等于六邊形AB(3)如圖③,根據(jù)(1)的方法得，∠F+∠G=∠GAE+∠FEA,∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G圖①圖②圖③如圖1,AB、CD交于點(diǎn)O,我們把△AOD和△BOC圖2如圖2:求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù).(1)如圖①,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__;(2)如圖②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_;(3)如圖③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_;(4)如圖④,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=_;圖②圖①圖②圖①圖①圖②EE圖④【答案】(1)360;(2)540°;(3)720°;(4)1080°;過程見解析【分析】(1)連接CD,由對(duì)頂角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD,再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)(2)連接ED,由對(duì)頂角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE,再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；(3)連接BH、DE,由對(duì)頂角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE+∠BED,再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理(4)連接ND、NE,由對(duì)頂角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG,再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論.【解析】解：(1)連接CD,由對(duì)頂角三角形可得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD,則∠A+∠B+∠C+∠D+(2)連接ED,由對(duì)頂角三角形可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(3)連接BH、DE,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=五邊形CDEFG的內(nèi)角和+△ABH(4)連接ND、NE,∵由對(duì)頂角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG,和+△NDE的內(nèi)角和=(6-2)×180°+360°=1080°.六邊形BCFGHM的內(nèi)角和+△AND的內(nèi)角圖④圖④16.模型規(guī)律：如圖1,延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D,則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B.因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC(1)直接應(yīng)用①如圖2,∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,則∠BOC=°;②如圖3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°;①如圖4,∠ABO、∠ACO的2等分線(即角平分線)BO、CO交于點(diǎn)O,已知∠BOC=120°,∠BAC=50°,②如圖5,BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9).它們的交點(diǎn)從上到下依次為O?、③如圖6,∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點(diǎn)D,已知∠BOC=120°,∠C