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定積分第六章1一、曲邊梯形的面積第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)

由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的平面圖形的面積yo2abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）3觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．播放4曲邊梯形如圖所示，分割近似5曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為求和取極限（1）分割（3）求和（4）極限（2）近似6二、定積分的定義定義7被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量記為積分上限積分下限積分和8說明：1.2.

有界是可積的必要條件,無界函數(shù)一定不可積；

3.可積的充分條件：

94.規(guī)定:10三、定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形面積的相反數(shù)yoyo11若要求陰影部分的面積,則為12例1利用定義計算定積分解xyo1113假設(shè)下面涉及到的函數(shù)均是可積的．四、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1由定義可直接得出.14性質(zhì)2此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)的情形.(k為常數(shù))這個性質(zhì)稱為定積分的線性性.

綜合(1)、(2)，可得證略.15說明：不論a,b,c的相對位置如何,上式總成立.例如,這個性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性.則性質(zhì)3證略.16證性質(zhì)4由極限的保號性可知,

證略.17推論1證18推論2證即19性質(zhì)5（估值定理）證由性質(zhì)1和性質(zhì)2，有再由性質(zhì)4推論1，得mM20性質(zhì)6（定積分中值定理）證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，即估值定理21積分中值公式的幾何解釋：上的平均值.

22解例2于是23證例3即

f

(x)

單調(diào)下降，24

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