江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末抽測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.2.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.3.在軸上截距為，傾斜角為的直線方程為()A. B.C. D.4.中國古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”.意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里數(shù)是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第七天走的里數(shù)為()A. B. C. D.5.設(shè)，為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定6.已知集合和分別是由數(shù)列和的前100項(xiàng)組成，則中元素的和為()A.270 B.273 C.363 D.68317.設(shè)分別是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，若和的離心率分別為，則的值為()．A.3 B.2 C. D.8.已知，則()A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是()A.若是橢圓，則其長軸長為B.若，則是雙曲線C.C不可能表示一個(gè)圓D.若，則上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為10.已知數(shù)列滿足，則()A.B.的前10項(xiàng)和為C.的前11項(xiàng)和為D.的前16項(xiàng)和為11.連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn),拐點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)?物理學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.若的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,的導(dǎo)函數(shù)都存在,且的導(dǎo)函數(shù)也都存在.若,使得,且在的左?右附近,異號(hào),則稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).則以下函數(shù)具有唯一拐點(diǎn)的是()A B.C D.12.設(shè)有一組圓，下列命題正確是()A.不論如何變化，圓心始終在一條直線上B.存在圓經(jīng)過點(diǎn)C.存在定直線始終與圓相切D.若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，若，則的值為______.14.已知等差數(shù)列的公差，若成等比數(shù)列，則的值為______.15.已知函數(shù),若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，以線段為直徑的圓與交于另外一點(diǎn)為圓心，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的長為______，點(diǎn)到軸的距離為______.四?解答題：本題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出件字說明?證明過程或演算步驟.17.在①,②,③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并進(jìn)行解答.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,______,______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.注:如果選擇多組條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.18.已知圓，圓.(1)判斷與的位置關(guān)系；(2)若過點(diǎn)的直線被、截得的弦長之比為，求直線的方程.19.某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化.如圖，已知空地的一邊是直路，余下的外圍是拋物線的一段，的中垂線恰是該拋物線的對(duì)稱軸，是的中點(diǎn).擬在這塊地上劃出一個(gè)等腰梯形區(qū)域種植草坪，其中均在該拋物線上.經(jīng)測(cè)量，直路段長為60米，拋物線的頂點(diǎn)到直路的距離為40米.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求該段拋物線方程；(2)當(dāng)長為多少米時(shí)，等腰梯形草坪的面積最大？20.已知曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的正整數(shù)的最小值.21.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，且，過的直線與的左支交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，設(shè)直線的斜率分別為，求的值.22.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍. 2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末抽測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程的概念即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題知,所以,且拋物線開口向上,所以其準(zhǔn)線方程為:.故選:D2.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接求得雙曲線的漸近線的方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.3.在軸上截距為，傾斜角為的直線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜截式直接整理可得.【詳解】因?yàn)閮A斜角為，所以斜率.由斜截式可得直線方程為：，即.故選：A4.中國古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”.意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里數(shù)是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第七天走的里數(shù)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，馬每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第天行走的里數(shù)為，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；由七天一共行走了700里可得，解得，所以，即該馬第七天走的里數(shù)為.故選：B5.設(shè)，為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求得滿足的關(guān)系式，結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判斷方法，判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，即，故點(diǎn)在圓外.故選：B.6.已知集合和分別是由數(shù)列和的前100項(xiàng)組成，則中元素的和為()A.270 B.273 C.363 D.6831【答案】A【解析】【分析】先求出數(shù)列和的公共項(xiàng)，滿足公共項(xiàng)小于等于數(shù)列的100項(xiàng)，求出項(xiàng)數(shù)，然后再求和.【詳解】設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，即，所以.又因?yàn)?，所以，所以?shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列為.又因?yàn)榈牡?00項(xiàng)為403，而的，所以則中元素的和為：.故選：A7.設(shè)分別是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，若和的離心率分別為，則的值為()．A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出橢圓的長軸長以及雙曲線的實(shí)軸長，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得到的關(guān)系，由此可求解出的值.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，焦距長為，因?yàn)椋栽陔p曲線的左支上，如下圖所示(不妨設(shè)在第二象限)，因?yàn)榫€段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，故選：B故選：C8已知，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，從而有，即；令，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，從而有，即，即可得答案.【詳解】設(shè)，則有，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即有，故；令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，即，故，綜上所述，則有.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較大小的題目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列說法正確的是()A.若是橢圓，則其長軸長為B.若，則是雙曲線C.C不可能表示一個(gè)圓D.若，則上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)可知若為橢圓，則焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可判斷A,進(jìn)而可判斷BC，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷D.【詳解】由于，所以，對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，故表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故橢圓的長軸長為，故A錯(cuò)誤,對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，是雙曲線，故B正確,對(duì)于C,由于，故C不可能表示一個(gè)圓，故C正確，對(duì)于D,時(shí)，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且此時(shí)故橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，故D錯(cuò)誤,故選:BC10.已知數(shù)列滿足，則()A.B.的前10項(xiàng)和為C.的前11項(xiàng)和為D.的前16項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式得進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB,根據(jù)并項(xiàng)求和可判斷C,根據(jù)正負(fù)去絕對(duì)值以及等差數(shù)列求和可判斷D.【詳解】由得：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，故，當(dāng)時(shí)，也符合，故對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B，的前10項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的前11項(xiàng)和為，故C正確,對(duì)于D,當(dāng)，解得所以所以的前16項(xiàng)和為,故D正確，故選：ACD11.連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn),拐點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)學(xué)?物理學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.若的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,的導(dǎo)函數(shù)都存在,且的導(dǎo)函數(shù)也都存在.若,使得,且在的左?右附近,異號(hào),則稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).則以下函數(shù)具有唯一拐點(diǎn)的是()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拐點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在定理對(duì)選項(xiàng)求二階導(dǎo)函數(shù),判斷其是否有異號(hào)零點(diǎn)即可.【詳解】關(guān)于選項(xiàng)A:,所以,,根據(jù)拐點(diǎn)定義可知,沒有拐點(diǎn);關(guān)于選項(xiàng)B:,所以,即,解得,且時(shí),,時(shí),,故為的拐點(diǎn);關(guān)于選項(xiàng)C:,,令,解得,且時(shí),,時(shí),,故為的拐點(diǎn);關(guān)于選項(xiàng)D:,,,因?yàn)?,所以,使得成立,由于在是連續(xù)不斷可導(dǎo)的,所以在有異號(hào)函數(shù)值,故存在拐點(diǎn).故選:BCD12.設(shè)有一組圓，下列命題正確是()A.不論如何變化，圓心始終在一條直線上B.存在圓經(jīng)過點(diǎn)C.存在定直線始終與圓相切D.若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，考查圓心的橫縱坐標(biāo)關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，把，代入圓方程，由關(guān)于的方程根的情況作出判斷；對(duì)于C，判斷圓心到直線距離與半徑的關(guān)系即可；對(duì)于D，圓與以原點(diǎn)為圓心的單位圓相交即可判斷作答．【詳解】對(duì)于A，圓心為，其圓心在直線上，A正確；對(duì)于B，圓，將代入圓的方程可得，化簡(jiǎn)得，，方程無解，所以不存在圓經(jīng)過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，存在直線，即或，圓心到直線或的距離，這兩條直線始終與圓相切，C正確，對(duì)于D，若圓上總存在兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，圓心距為，則有，解可得：或，D正確．故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，得，故答案為：14.已知等差數(shù)列的公差，若成等比數(shù)列，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】由得,所以,故答案為：15.已知函數(shù),若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】恒成立即在上恒成立,只需即可,構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性及最大值即可.【詳解】解:由題知恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,即,記,所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,所以.故答案為:16.已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，以線段為直徑的圓與交于另外一點(diǎn)為圓心，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的長為______，點(diǎn)到軸的距離為______.【答案】①.②.【解析】【分析】易知焦點(diǎn)，根據(jù)在拋物線上設(shè)出坐標(biāo)，易知圓心為的中點(diǎn)即可求出，由利用斜率相等可得，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為可得，即，利用向量數(shù)量積為0可得，聯(lián)立及可解得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，點(diǎn)到軸的距離為其橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于.【詳解】由題意知在拋物線上，設(shè)，，如下圖所示：拋物線焦點(diǎn)，圓心為的中點(diǎn)，所以由可得，即，整理可得，即；又因?yàn)闉橹睆?，且點(diǎn)在圓上，所以，又因?yàn)?，所以，可得，又，即，整理得，?lián)立可得，解得或(舍)所以，因此；點(diǎn)到軸的距離為點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，即故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用幾何關(guān)系實(shí)現(xiàn)從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，將直線平行轉(zhuǎn)化成斜率相等，將直徑所對(duì)的圓周角為直角轉(zhuǎn)化成向量數(shù)量積為0，從而得出坐標(biāo)之間的等量關(guān)系在進(jìn)行計(jì)算求解.四?解答題：本題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出件字說明?證明過程或演算步驟.17.在①,②,③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并進(jìn)行解答.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,______,______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.注:如果選擇多組條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)是等差數(shù)列,設(shè)出公差為,選擇兩個(gè)選項(xiàng),將首項(xiàng)公差代入,解方程組,即可求得基本量,寫出通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)中的通項(xiàng)公式,寫出的通項(xiàng),利用裂項(xiàng)相消即可求得前項(xiàng)和.【小問1詳解】由于等差數(shù)列,設(shè)公差為,當(dāng)選①②時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式.選①③時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式.選②③時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】由(1)知,,所以,所以.18.已知圓，圓.(1)判斷與的位置關(guān)系；(2)若過點(diǎn)的直線被、截得的弦長之比為，求直線的方程.【答案】(1)外切(2)或【解析】【分析】(1)計(jì)算出，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直線驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用勾股定理結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因?yàn)椋詧A與圓外切.【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，直線與圓相離，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為，由題意可得，即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或均符合題意.所以直線的方程為或.19.某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化.如圖，已知空地的一邊是直路，余下的外圍是拋物線的一段，的中垂線恰是該拋物線的對(duì)稱軸，是的中點(diǎn).擬在這塊地上劃出一個(gè)等腰梯形區(qū)域種植草坪，其中均在該拋物線上.經(jīng)測(cè)量，直路段長為60米，拋物線的頂點(diǎn)到直路的距離為40米.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求該段拋物線的方程；(2)當(dāng)長為多少米時(shí)，等腰梯形草坪面積最大？【答案】(1)(2)20米【解析】【分析】(1)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；(2)，由梯形的面積公式，可得梯形的面積為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)，則改點(diǎn)也是函數(shù)的最大值點(diǎn)，即可求解.【小問1詳解】設(shè)該拋物線的方程為，由條件知，，所以，解得，故該段拋物線的方程為.【小問2詳解】由(1)可設(shè)，所以梯形的面積，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值.故當(dāng)長為20米時(shí)，等腰梯形草坪的面積最大.20.已知曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的正整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)8【解析】【分析】(1)根據(jù)切線方程的求解得切線方程為，得，即可判斷為等比數(shù)列，進(jìn)而進(jìn)行求解，(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求解，即可根據(jù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】因?yàn)椋裕郧€上點(diǎn)處的切線方程為.令，得，即，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由(1)知，，所以，兩式相減得，，所以.因?yàn)?，所以，又，所以使得成立的正整?shù)的最小值為8.21.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，且，過的直線與的左支交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且，設(shè)直線的斜率分別為，求的值.【答案】(1)(2)1【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解出即可