《數(shù)學(xué)模型》試題及參考答案

A卷

2009-2010學(xué)年第2學(xué)期

《數(shù)學(xué)建?！吩嚲?/p>

專業(yè)班級____________________________________

姓名、_______________________________________

分組號與學(xué)號________________________________

開課系室數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

考試日期2010年7月

題號一二三四五六七八總分

得分

閱卷人

數(shù)學(xué)建模試卷(1007A)

一(10)(1)簡述數(shù)學(xué)模型的概念，分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系。

(2)建立數(shù)學(xué)模型的一般方法是什么？在建模中如何應(yīng)用這些方法，結(jié)合實(shí)例加以說明。

二(10分)、(1).簡述數(shù)學(xué)建模的一般步驟，分析每個(gè)步驟的主要內(nèi)容和注意事項(xiàng)。

(2)簡述數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)，并舉例說明。

第一頁

三（10分）、（1）簡述合理分配席位的Q-值方法，包括方法的具體實(shí)施過程，簡

述分配席位的理想化原則。（2）建立錄像機(jī)記數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間之間的關(guān)系模型,

包括模型假設(shè)與模型建立全過程。

四（15分）（1）建立不允許缺貨情況下的存儲模型，確定訂貨周期和訂貨量（包括問題敘述,

模型假設(shè)和求解過程）.（2）建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型.設(shè)

生產(chǎn)速率為常數(shù)k,銷售速率為常數(shù)r,k%r.在每個(gè)生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一

段時(shí)間（0演秘T。）一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時(shí)間⑴嗒t蜀）只銷售不生

產(chǎn).設(shè)每次生產(chǎn)開工費(fèi)為5,單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為（a）求出存儲量q（t）

的表示式并畫出示意圖。（2）以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)則確定最優(yōu)周期T,討論kr的情況.

第二頁

五（15分）、（1）建立傳染病傳播的SIS模型并求解（簡述假設(shè)條件和求解過程），（2）建立

SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。

六（15分）（1）建立一般的戰(zhàn)爭模型，分析各項(xiàng)所表示的含義。（2）在假設(shè)

xo=y。,b=9a條件下對正規(guī)戰(zhàn)爭模型（忽略增援和非戰(zhàn)斗減員）進(jìn)行建模求解，

確定戰(zhàn)爭結(jié)局和結(jié)束時(shí)間。

第三頁

七（15分）設(shè)漁場魚量的自然增長服從模型xWjxlnks又單位時(shí)間捕撈量為

X

h"EI.討論漁場魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量h“及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度以

和漁場魚量水平Xo.

八（10分）假設(shè)商品價(jià)格外和供應(yīng)量Xk滿足差分方程

。），曲泮

FkH-yo1r?！?刀-x0

Xo4r）舸，

求差分方程的平衡點(diǎn)，推導(dǎo)穩(wěn)定條件

第四頁

A卷

2009-2010學(xué)年第2學(xué)期

《數(shù)學(xué)模型》試題

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

專業(yè)班級

開課系室數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

考試日期2010年7月

數(shù)學(xué)建模試卷（1007A）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一（10）（1）簡述數(shù)學(xué)模型的概念，分析數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系。

（2）建立數(shù)學(xué)模型的一般方法是什么？在建模中如何應(yīng)用這些方法，結(jié)合實(shí)例加以說明。

解：（1）數(shù)學(xué)模型可表述為：對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，為了特定的目的，根據(jù)特有的規(guī)律，

作出必要的簡化假設(shè)，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的

關(guān)系：數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法對實(shí)際問題進(jìn)行建模得到的最后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式，是數(shù)

學(xué)建模的結(jié)果，是名詞。而數(shù)學(xué)建模是解決問題的全過程，是動名詞。（2）一般方法包括:①

機(jī)理分析方法,根據(jù)客觀對象的本質(zhì)特征和規(guī)律,分析事物發(fā)展的數(shù)量關(guān)系;②測試分析方

法，把客觀對象作為黑箱子進(jìn)行測試實(shí)驗(yàn),根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),應(yīng)用擬合方法尋找擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最

佳模型.一般這兩種方法相結(jié)合,機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu),其中包含未知的參數(shù),應(yīng)用測

試分析方法確定參數(shù).能講機(jī)理時(shí)用機(jī)理,不能講機(jī)理時(shí)用數(shù)據(jù).如應(yīng)用微分分析法得到的人

口增長模型，如指數(shù)模型，阻滯增長模型，都屬于機(jī)理分析方法，而其中的參數(shù)必須用實(shí)際

的數(shù)據(jù)應(yīng)用測試分析方法確定。

二（10分）、（1）.簡述數(shù)學(xué)建模的一般步驟，分析每個(gè)步驟

的主要內(nèi)容和注意事項(xiàng)。（2）

簡述數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)，并舉例說明。

解：（1）數(shù)學(xué)建模的一般步驟包括:模型準(zhǔn)備-了解實(shí)際背景，搜索相關(guān)信息，分析影響因素，

形成一個(gè)清晰的問

題。模型假設(shè)-分析各種影響因素的關(guān)系，確定主要因素和次要因素，對主

要因素作出必要的簡化假設(shè)，引入變量。模型構(gòu)成-根據(jù)特有的規(guī)律和所做的假設(shè)應(yīng)用適當(dāng)

的數(shù)學(xué)工具對實(shí)際問題進(jìn)行建模，得到數(shù)學(xué)模型。模型求

解-應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)軟件對模

型進(jìn)行求解。模型分

析-對模型誤差分析，收斂性分析，穩(wěn)定性分析和穩(wěn)健性，局限性分析.模

（有效數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形態(tài)包括線性與非線

型檢驗(yàn)-檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性與應(yīng)用性性）.（2）性，

確定性與隨機(jī)性，離散性與連續(xù),靜態(tài)與動態(tài)等.人口模型中，指數(shù)模型為線性的，阻滯增長

模型為非線性的，不考慮隨機(jī)因素的模型為確定性模型，如常見的人口模型。如考慮隨機(jī)因

素，則得到隨機(jī)人口模型。微分方程屬于連續(xù)模型，差分方程屬于離散模型。隨時(shí)間變化

的

微分方程和差分方程都是動態(tài)的，如連續(xù)優(yōu)化模型和單階段離散優(yōu)化模型與時(shí)間無關(guān)屬于

靜

態(tài)模型，

三（10分）、（1）簡述合理分配席位

的Q-值方法,包括方法的具體實(shí)施過程，簡述分配席位

的理想化原則。（2）建立錄像機(jī)記數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時(shí)間之間的關(guān)系模

型，-w---------包括模型假

設(shè)與模型建立全過貨

程。

解：（1）合理分配席位的方法Q-值方法，是實(shí)施過程為：（a）按照比例取整方法進(jìn)行初次分

配，（b）對剩余的席位采用動態(tài)分配，計(jì)算各方Pi2

的Q值，即。，將剩余的該

Hi（ni1）

較大的一方，（c）依序分配完剩余的席

席位分配給。位。

沏枷抑釉4"

第一頁

模型假設(shè)：設(shè)空盤半徑

⑵為r,磁帶厚度為w,轉(zhuǎn)數(shù)設(shè)為n,時(shí)間為t,速度為v,則考

慮轉(zhuǎn)過的磁帶的長度，則有

vt2[(rw)(r2w)....(rnw)]2[nr(nl)nw]

2

故關(guān)系模型為V占.冊，1)。

，確定訂貨周期和訂貨量(包括問題敘

四(15分)(1)建立不允許缺貨情況下的存儲模型述

模型假設(shè)和求解過程).(2)建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型.設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k,

■W'.在每個(gè)生產(chǎn)周雪

銷售速率為常數(shù)r,k期T內(nèi)，開始的一段時(shí)間(OtTO)一邊生產(chǎn)

一邊銷售，后來的一段時(shí)間(Tt於砥銷售不生產(chǎn).設(shè)每次生產(chǎn)開工費(fèi)為c,單位時(shí)間

01

每件產(chǎn)品貯存費(fèi)翳?.

為C”(a)果出存儲量q(t)的表示式并畫出示意圖。(2)以總費(fèi)用最小為準(zhǔn)

則確定最優(yōu)周期T,討論kr的情況.

解：(1)定義變量及其參數(shù)，定貨費(fèi),單位時(shí)間單位貨物的儲存費(fèi)，一周期的總費(fèi)用，以平均每天

的費(fèi)用為目標(biāo)，應(yīng)用微積分得到表示式.

吸r——￥安一次l.

訂貨量為Q*

?志

⑵在(OtT)時(shí)間段垢一_一為斜率為的直線，在(TtT)時(shí)間

0q(t)(kr)t(kr)0

段，只銷售不生富,工

產(chǎn)，q(t)ri無沌1:5~r(tlo)kTort

單位時(shí)，總費(fèi)用而)隙C

C2r(kfr)T,使C(T)取最小值的最佳周期

、一T可一

T*2Cik。當(dāng)kr時(shí),T*須，相當(dāng)于瞬時(shí)生產(chǎn)的情況。

C2r(kC2r

五(15分)、

的SIS模型并求解(簡述假設(shè)條件和求解過程)，(2)建

立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。

解：SIS模型。設(shè)治愈率為，則方程為

dii[(1i)]i[i('1)1,

dt

,1:dt

[Si，相平面方程為瓜

2)SIR模型的方程為，在相平面上畫出相

jdt=vi=?

'sSolo

'i(0)i0,s(0)so

軌線，分析變化規(guī)律。

六(15分)(1)建立一般的戰(zhàn)爭模分析各項(xiàng)所表示的含義。(2)在假xyO,9a條

型，設(shè)。b

件下對正規(guī)戰(zhàn)爭模型慮略增援和非戰(zhàn)汩虢)趣進(jìn)行建模或解，確定戰(zhàn)簞翩口結(jié)束時(shí)間。

解：一般戰(zhàn)爭模型

為dxf(x,y)xu,d,g(x,y)yv

dtdt

第一項(xiàng)為戰(zhàn)斗減員，其表示式依賴王鉞魚類型，第二財(cái)?非戰(zhàn)斗減員，第三項(xiàng)為增

援?！?■

正規(guī)戰(zhàn)爭模型dx叱「軌線方程為

—1—=*

*dt

dybx228

x

dx_ay唁駕bx0ay08ax0y即x-90，因此乙方(Y)敗。要求結(jié)

篇彘密程居化為二階微分方程

3a3a

d2ydxT2——tt

baby9ay,通解為y(t)sec2e

dt2dt_

列始條件為y(o)In滑一&~、

6a

11

3a3a9ay040t*ln2

6a

e3ate3at

七(15分)設(shè)漁場魚量的自然增長服從模

型xrxlnN又單位時(shí)間捕撈量為hEx.討

早=1------S-1三"一'

論漁場魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定

性，求最大持續(xù)產(chǎn)量必及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度以和漁場

魚量水平Xo.

解：模型為N有二個(gè)穩(wěn)定點(diǎn):E/r

XF(x)rxlnEx,x0和XoNeo

X

F(x)=rim----i(r+E),F(0))T8,F(x0)a-r<0,即x=0不穩(wěn)定，x0穩(wěn)定(與

x

E/

E,r的大小無關(guān))。持續(xù)產(chǎn)量為h(E)aENe^/r,=Ne^l_工0N_>E*=r,最

dEr

大持續(xù)產(chǎn)量為hm.」N,XO*.L

ee

八(10分)假設(shè)商品價(jià)格yk和供應(yīng)量Xk滿足差分方程

j—y()=-a(%1十+―一x0),a>0

9

[+-=p-2p>

x

klx0(ykyo)0

求差分方程的平衡點(diǎn)，推導(dǎo)穩(wěn)定條

件

T℃

解：令k,設(shè)極限存在為(x*,y*),則得到

-=—ex——

■y*一y°.=B(x*一xo)****

(xXo)(xXo),xXo,yy°,即(x0,yO)為平衡

x*(y*y。)

」十一=Y二一a>

點(diǎn)。?kl+-y產(chǎn)Brkl-xkXo),P>0

由2

*的一巖O(y+-y。)=一弁(計(jì)乎一)

xk2篇+aB(yj+aPZ+aP

卜+礁」+喊1Xk2x0，=

2

1xk2吧v班小其中播懦為2<X2>P>0,利

整理得到：2xk2此

思篋型可知，其根均小于1的條件為111和1c因0,0,故條件為

22

2

B卷

2009—2010學(xué)年第2學(xué)期

《數(shù)學(xué)建模》試卷

專業(yè)班級________________________________

姓名_________________________________

組號與學(xué)號________________________________

開課系室數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院_____________

考試日期2010年7月_______________

題號一二三四五六七八總分

得分

閱卷人

數(shù)學(xué)模型試卷（1007B）

一（15分）、（1）簡述模型概念及其模型的分類；（2）簡述數(shù)學(xué)模型的概念；（3）簡述數(shù)學(xué)模

型的特點(diǎn)，包括各項(xiàng)的含義.

二（10）（1）簡述建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應(yīng)用

（2）闡述建立數(shù)學(xué)模型全過程，就數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過程給出你的理解與認(rèn)識

第一頁

三（10分）、（1）簡述建立汽車剎車距離模型的全過程.（2）建立雙層玻璃窗的模型，包括

模型假設(shè)和建模過程,確定雙層玻璃間的空隙距離.

四（10分）建立森林救火模型,包括問題敘述,模型假設(shè)和求解過程.

第二頁

五（15分）、（1）建立人口增長的指數(shù)模型和阻滯增長模型，并求解.（2）建立傳染病傳播的

SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。

六（15分）（1）建立捕撈情況下的漁場魚量滿足的方程，分析平衡點(diǎn)，在平衡條件下確定捕撈

強(qiáng)度以獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量；（2）在⑴的基礎(chǔ)上，建立效益模型，確定捕撈強(qiáng)度。

第三頁

七（15分）（1）建立確定最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型；（2）假設(shè)成本隨著產(chǎn)量的增加而降低,建立模型并

求解.

八（1。分）在考慮最優(yōu)價(jià)格問題時(shí)設(shè)銷售期為T,由于商品的損耗，成本q隨時(shí)

間增長，設(shè)qmqO?節(jié)序t,富為增長率.又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為Xwa.「bp（p為

價(jià)格）。今將銷售期分為。宮t警??T/2和T/2看；t.T兩段，每段的價(jià)格固定，記作

P“P2,求P“P2的最優(yōu)值使銷售期內(nèi)的總利潤最大.如果要求銷售期Q內(nèi)的總售

量為Q。，再求Pi,Pz的最優(yōu)值.

第四頁

B卷

2008—2009學(xué)年第1學(xué)期

《數(shù)學(xué)模型》試卷

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

專業(yè)班級石油工程07級1-14班

開課系室應(yīng)用數(shù)學(xué)系

考試日期2008年12月

數(shù)學(xué)模型試卷(0812B)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一(15分)、(1)簡述模型概念及其模型的分類；(2)簡述數(shù)學(xué)模型的概念；(3)簡述數(shù)學(xué)模

型的特點(diǎn)，包括各項(xiàng)的含義.

解：(1)模型是原型的替代物，根據(jù)特有的目的，反應(yīng)原型的某一層次某一方面的特征.模型可分

為物質(zhì)模型與抽象模型,物質(zhì)模型可分為直觀模型與物理模型.抽象模型可分為思維思維模型,符

號模型與數(shù)學(xué)模型.

(2)數(shù)學(xué)模型可表述為:對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象,為了特定的目的,根據(jù)特

有的規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè),應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式.

(3)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn):模型的逼真性與可行性,模型的漸進(jìn)性,模型的條理性,模型的技藝性,模型

的穩(wěn)健性等.

二(10)(1)簡述建立數(shù)學(xué)模型的一般方法，分析這些方法在建模中的應(yīng)用；

(2)闡述建立數(shù)學(xué)模型全過程，就數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模過程給出你的理解與認(rèn)識.

解：

解：⑴一般方法包括:①機(jī)理分析方法，根據(jù)客觀對象的本質(zhì)特征和規(guī)律，分析事物發(fā)展的數(shù)量

關(guān)系;②測試分析方法，把客觀對象作為黑箱子進(jìn)行測試實(shí)驗(yàn),根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),應(yīng)用擬合方法尋找

擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最佳模型.一般這兩種方法相結(jié)合,機(jī)理分析確定模型的結(jié)構(gòu),其中包含未知的參

數(shù),應(yīng)用測試分析方法確定參

數(shù).能講機(jī)理時(shí)用機(jī)理,不能講機(jī)理時(shí)用數(shù)據(jù).

(2)畫出數(shù)學(xué)建模全過程的流程圖,解釋四個(gè)環(huán)節(jié):從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的翻譯,即將現(xiàn)實(shí)世界

的問題表示成數(shù)學(xué)問題，問題求解:應(yīng)用數(shù)學(xué)方法對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行

求解.解釋:將得到的數(shù)學(xué)答案解釋現(xiàn)實(shí)問題，實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)世界到現(xiàn)實(shí)世界的翻譯

驗(yàn)證:根據(jù)對現(xiàn)實(shí)世界的解釋和實(shí)際數(shù)據(jù)的對比驗(yàn)證模型的正確性與有效性.

三（10分）、（1）簡述建立汽車剎車距離模型的全過程.（2）建立雙層玻璃窗的模型，包括

模型假設(shè)和建模過程,確定雙層玻璃間的空隙距離.

解：（1）分為反應(yīng)距離與制動距離,分別建立模型.

⑵模型示意圖：

熱傳導(dǎo)方向

陽2-1雙層K般府》里我版璃U

Qi.kjTHa-k?—―?kJ，Qioh",h?一二二

d1dd(s*2)k2d

Qz=rr-i-5-Qi-=--1--,h=-3-.

2dQ,8h+1d

四（10分）建立森林救火模型,包括問題敘述,模型假設(shè)和求解過程.解:分析問

題,定義變量,考慮救援費(fèi)和損失費(fèi).

C酉+5B+CzBtiX+

C(x)一k-P+k-P+c3x

22(x)x

PRI~~~

由dG-=0得至！Jx=—+01TTtf~~?5L

hVA

dx2C32

五（15分）、（1）建立人口增長的指數(shù)模型和阻滯增長模型，并求解.（2）建立傳染病傳播的

SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上畫出相軌線并進(jìn)行分析。

rt

解:指數(shù)模型rxx(t)xoe

It**->-

阻滯增長模型："rx(lX)x(t)xm

?"OS41—?N，]■

dtXm+呢k一汽

1(l)e

Xo

六(15分)(1)簡述最優(yōu)化模型的一般形式;(2)寫出線性規(guī)劃的一般形式

(3)給出一個(gè)優(yōu)化問題的例子，闡述建立模型與求解的全過程..

解：最優(yōu)化模型的一般形式

Max(min)毒(x)

s.t.gi(x)0

，其一般形式為

aijXjbi,Xi0

jl

七(10分)(1)建立痛是最優(yōu)價(jià)格的數(shù)學(xué)模型；(2)假設(shè)成本隨著產(chǎn)量的增加而降低，建立模型并

求解.

解：不妨設(shè)q(x)q(>kx,k是產(chǎn)量增加“V正位成本的降低。代入4.4節(jié)(7)

*q0kaa

式，可求出最優(yōu)價(jià)格為：P

.A,飾此2(1kb)2b

.=*廨中-

八(10分)在考慮最優(yōu)他螯「鬻時(shí)設(shè)銷售期&T場由于商品的損耗，成本q隨時(shí)

間增長，設(shè)qq。t,為增長率.又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為Xabp(p為

價(jià)格）。今將銷售期分為0tT/2和T/2tT兩段，每段的價(jià)格固定，記作

Pi,P2,求Pi,P2的最優(yōu)值使銷售期內(nèi)的總利潤最大.如果要求銷售期Q內(nèi)的總售

量為Qo,再求Pl,P2的最優(yōu)值.

解：解：總利潤為

T

U(P1,p2)鐺#[p(t)Lq(t)][a-bp(t)]dt

q(t)](aibpDdt[p2q(t)](abp2)dt

T

b[pi(q0)](abp2)b[p2(q0

44

,----

由ao,30,可得最優(yōu)價(jià)格為

PlP2

Pl(q03T)a

2b2b4

F4一AaTf的"*pj

設(shè)總銷售量為Q。，11(abpOdt(a1.bp2)dt

T/2T7

02