小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽模擬題及解答1

小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽模擬題及解答第一部分一節(jié)第一部分有趣的數(shù)列很少接觸數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的學(xué)生或家長(zhǎng)，總覺得競(jìng)賽題很怪，不好捉摸，因而常常望而生畏。其實(shí)，競(jìng)賽題的“怪”只是表面現(xiàn)象，它不但很有規(guī)律，解題的思想常常非常簡(jiǎn)單，而且用的知識(shí)基本上是書本上教過的。例如這一部分的三節(jié)，講的都是與數(shù)列有關(guān)的問題，用的知識(shí)不過就是乘法對(duì)加（減）法的分配律、怎樣用字母表示數(shù)等，所以一點(diǎn)也不可怕。當(dāng)然，要很快發(fā)現(xiàn)競(jìng)賽題中隱含的規(guī)律，并熟練運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)去解決問題，確非易事。但是請(qǐng)你記?。喝魏螐?fù)雜的問題都是由簡(jiǎn)單的東西變化而來的。怎樣從簡(jiǎn)單的知識(shí)去解決復(fù)雜的問題，這就是這一部分要介紹的主要思想。這就好比編織毛衣，雖然基本的針法極其簡(jiǎn)單，但是心靈手巧的媽媽們卻可以織出千變?nèi)f化、絢麗多彩的新裝！愿你也學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單的知識(shí)織出美麗動(dòng)人的圖案！一從三角形談起長(zhǎng)方形（包括正方形）、平形四邊形、三角形及梯形是幾個(gè)基本的幾何圖形，從面積公式來看，長(zhǎng)方形這種圖形最為重要，我們認(rèn)為它最重要，一是因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積公式最簡(jiǎn)單，二是因?yàn)閺拈L(zhǎng)方形面積公式很容易導(dǎo)出平行四邊形乃至三角形及梯形的面積公式。先讓我們回憶一下推導(dǎo)給定△ABC面積公式的過程。首先畫一個(gè)與△ABC完全一樣的△A1B1C1，如圖1.1中的（1）所示，再把△A1B1C1如圖1.1（2）那樣上下顛倒放置，最后移動(dòng)△A1B1C1使C1點(diǎn)與A點(diǎn)重合，A1點(diǎn)與C點(diǎn)重合，這樣就得到一個(gè)平行四邊形ABCB1，由平行四邊形面積等于底BC之長(zhǎng)乘以高AD（見圖1.1（3）），再被2除，即得△ABC的面積公式。

（1）作一個(gè)與ABC完全一樣的三角形A1B1C1

（2）把三角形A1B1C1如圖這樣顛倒過來

（3）將兩個(gè)三角形連結(jié)成一個(gè)平行四邊形圖1.1現(xiàn)在來把上面這個(gè)問題，作一點(diǎn)形式上的改變，仍取△ABC，把它的每一邊平均分成9等分，按照1.2圖把這些分點(diǎn)連結(jié)起來，這樣就把它分成了若干個(gè)形狀完全相同的小三角形。假設(shè)每個(gè)小三角形的面積是1個(gè)面積單位，那么△ABC的面積恰好等于其中所含的小三角形個(gè)數(shù)。如果一行一行來數(shù)小三角形的個(gè)數(shù)，注意到第一行、第二行、……、第九行中各有1，3，…，17個(gè)小三角形，因而△ABC的面積等于S=1+3+5+7+9+11+13+15+17。

圖1.2

圖1.3這樣計(jì)算△ABC的面積S要做八次加法，比較麻煩。如果仿照前面推導(dǎo)三角形面積公式的方法，給△ABC配上一個(gè)同樣的△CDA，按圖1.3那樣拼接成一個(gè)平行四邊形仍有九行，但現(xiàn)在每行都同樣有1+17=18個(gè)小三角形，于是立即求出S=(1+17)×9÷2=81。注意，上面的想法用式子來表示，等于把S中每個(gè)數(shù)計(jì)算了兩次，不過第一次按從小到大順序?qū)懗鲞@九個(gè)數(shù)，而第二次則從大到小寫在第一行的下面，即1357911131517；1715131197531。上下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)相加都得18，于是這兩行數(shù)的和便可用一次乘法完成。

圖1.4解：小學(xué)課本里關(guān)于這類問題只講過唯一的一個(gè)結(jié)果，即“三角形3個(gè)內(nèi)角之和等于180°”。為了解四邊形內(nèi)角和問題，唯一的途徑只有想辦法把四邊形分成三角形再求解。怎樣把四邊形分成若干個(gè)三角形呢？可以象圖1.4的（2）那樣，把某兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)（比方圖中的A，C兩點(diǎn)）連結(jié)起來，這就把ABCD分成兩個(gè)三角形，因?yàn)槊總€(gè)三角形3個(gè)內(nèi)角和都是180°，而且△ADC與△ABC的所有這6個(gè)內(nèi)角加起來剛好等于四邊ABCD的4個(gè)內(nèi)角之和，因此四邊形ABCD的4個(gè)內(nèi)角之和等于180×2=360（度）。但是把四邊形劃分成三角形的方法不止上述一種，我們還可以象圖1.4的（3）那樣，在四邊形ABCD內(nèi)部隨便取一點(diǎn)O，把點(diǎn)O與4個(gè)頂點(diǎn)分別連接起來，這樣就把四邊形分成4個(gè)三角形了。這4個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角之和等于180×4=720（度）。注意到這4個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角和比ABCD的4個(gè)內(nèi)角和多出一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓角，這樣又得到與上一方法相同的結(jié)果。習(xí)題一1、求所有3位偶數(shù)相加的和。2、求所有被4除余2的兩位數(shù)的和。3、求從120到500的所有整數(shù)中被6除余5的那些整數(shù)的和。4、下圖是一個(gè)數(shù)字方陣，它有一百行，每一行中有一百個(gè)連續(xù)自然數(shù)，求這個(gè)數(shù)字方陣中全部自然數(shù)的和。1，2，3，…，98，99，100；2，3，4，…，99，100，101；3，4，5，…，100，101，102；……；99，100，101，…，196，197，198；100，101，102，…，197，198，199。5、若干個(gè)同樣的盒子排成一排，小明把80多個(gè)同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一個(gè)盒子沒有裝棋子，然后他外出了。小光從每個(gè)有棋子的盒子里各拿3個(gè)棋子放在空盒內(nèi)，再把盒子重新排了一下。小明回來仔細(xì)查看了一番，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過這些盒子和棋子。問共有多少個(gè)盒子？原來這些棋子是怎樣擺放的？6、給出等腰梯形ABCD（見圖1.5），上底長(zhǎng)1米，下底長(zhǎng)3米，∠ABC=∠DCB=45°。作高EF，從E點(diǎn)沿著高向下，每隔2厘米取一點(diǎn)，過每個(gè)分點(diǎn)作與兩底平行的直線與兩腰相交，這樣得到若干條線段，求所有這些平行線的長(zhǎng)度總和（不包括上、下底）。7、將1至1001各數(shù)如圖1.6的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形陣列，用一個(gè)正方形框出16個(gè)數(shù)，要使這個(gè)方框中的16個(gè)數(shù)之和等于（1）1968，（2）1988，（3）1991，（4）2000，這是否可能？若不可能，試說明理由；若可以辦到，請(qǐng)寫出該方框的16個(gè)數(shù)中最小及最大的數(shù)來。8、老師用若干張紙條，把從1開始的若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)依次寫在紙條上。寫好后捏成紙團(tuán)，讓一個(gè)同學(xué)從中抽一張出來，然后計(jì)算剩下紙條上各數(shù)之和，得數(shù)為1555，求抽出的那張紙條上寫的是哪個(gè)數(shù)？9、8個(gè)自然數(shù)的和為788，其中每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)相差都是5，求出這8個(gè)數(shù)來。10、給出形如{1，4，10}，{3，9，16}，{5，14，22}，…的由3個(gè)自然數(shù)組成的數(shù)組，求其中第150個(gè)數(shù)組中那3個(gè)數(shù)的和。11、有11個(gè)連續(xù)奇數(shù)，它們的和等于1991，求其中最小的那個(gè)數(shù)。12、計(jì)算22-32+42-52+62-72+……+1002-1012+1022，這里記號(hào)a2定義為a×a，例如：42=4×4=16，注意42≠4×2。13、給定數(shù)列2，8，14，20，…，（1）下面哪些數(shù)在此數(shù)列中？是其中的第幾個(gè)數(shù)？38，6512，13870，835916；（2）求這個(gè)數(shù)列中前面100個(gè)數(shù)的和；（3）計(jì)算2+8+14+20+…+4716；（4）已知此數(shù)列中前n個(gè)數(shù)的和是352，求n的值。14、給定一個(gè)等差數(shù)列，它的第一個(gè)數(shù)是a1=2，而其中第n個(gè)數(shù)是an=48。如果已知其中前n個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，且2和48不是兩個(gè)相鄰的數(shù)。（1）求n=？（2）下面哪些數(shù)在這個(gè)數(shù)列中？如果在，是其中第幾個(gè)數(shù)？351，716，1734（3）如果已知這個(gè)數(shù)列中前面m個(gè)數(shù)的和等于6806，求m=？習(xí)題一提示及部分解答1、先求出最小及最大的3位偶數(shù)，再求出這樣的偶數(shù)一共有多少個(gè)。2、先求出兩位數(shù)中被4除余2的最小及最大的數(shù)，再求出一共有多少個(gè)這樣的數(shù)。4、這個(gè)題目可有若干種不同的解法：解法一、先按行求和。這時(shí)要注意前面每行數(shù)的和與緊接在后面那行數(shù)的和相差一個(gè)固定的數(shù)，從而把本書例子的方法使用兩次就可以得出結(jié)果。解法二、把整個(gè)數(shù)字方陣沿?cái)?shù)字100所在的那條對(duì)角線對(duì)折，這樣就使所有的數(shù)兩兩重合在一起，例如左上角的1與右下角的199重在一起，……。注意每一對(duì)相重合的數(shù)相加所得結(jié)果一樣，也可以得出同樣結(jié)果。5、按照盒中棋子個(gè)數(shù)排列這些盒子，根據(jù)題目條件判斷盒中棋子個(gè)數(shù)從小到大應(yīng)是0，3，6，9，…，再根據(jù)棋子總數(shù)有80多個(gè)即可求出棋子最多的盒中有多少個(gè)棋子。6、過梯形頂點(diǎn)A及D再分別作BC邊上兩條高AG及DH，利用AD=1米及銳角為45°的任何直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)相等即可求出第一條平行線長(zhǎng)為A1D1=1+0.02×2（米），第二條平行線長(zhǎng)為A2D2=A1D1+0.02×2（米），…，于是可按等差數(shù)列求和。7、觀察圖1.6中方框里的16個(gè)數(shù)，注意先按行求和，每相鄰兩行中4個(gè)數(shù)的和都相差7×4=28，于是，如果用S1表示方框中第一行里4個(gè)數(shù)的和，證明方框中16個(gè)數(shù)的和應(yīng)為4S1+28+28×2+28×3，（1）根據(jù)（1）式可以決定題目所給的幾個(gè)數(shù)中哪些是不符合題意的。如果是對(duì)某個(gè)給出的數(shù)（作為某方框中的16個(gè)數(shù)的和)，根據(jù)（1）式找到了相應(yīng)的S1，還要進(jìn)一步討論；是否在圖1.6中某一行中4個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和恰等于S1。例如：若算得有S1=66，由x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=66解得x=15，這表示15，16，17，18這4個(gè)數(shù)的和為66，這4個(gè)數(shù)在同一行，因而是允許的，若算得有S1=82，由x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=82解得x=19，即19，20，21，22這4個(gè)數(shù)的和等于82，但這4個(gè)數(shù)并不在同一行（見圖1.6），因而是不允許的。8、先明確第n個(gè)奇數(shù)可用2n-1來表示，再用本書方法推出前n個(gè)奇數(shù)和的公式應(yīng)為1+3+5+…+(2n-1)=n2，（2）設(shè)抽出的那張紙條上寫的數(shù)是x，就有1≤x≤2n-1，（3）再由題目條件及（2）式有n2-x=1555。（4）由（4）式及x≥1有n2-1≥1555，因此（注意402=1600）不難得到n>39（5）又由（4）式及x≤2n-1有n2-(2n-1)≤1555，試驗(yàn)可得n≤40。（6）由（5）及（6）即得n=40，因而x的值可從（4）式得出。9、解法一：相差為5的最小的8個(gè)自然數(shù)是1，6，11，16，21，26，31，36，研究這8個(gè)數(shù)的和與788相差多少，然后設(shè)法改變它們，使得另外找出的8個(gè)自然數(shù)的和恰為788；解法二：設(shè)8個(gè)數(shù)中最小的數(shù)為x，把其余7個(gè)數(shù)用含字母x的式子表示出來，由題意立方程即可。解法三：先求出中間兩個(gè)數(shù)的和。10、注意本題中暗含有以下3個(gè)等差數(shù)列：1，3，5，…；4，9，14，…；10，16，22，…。求出每個(gè)數(shù)列中第150個(gè)數(shù)再求和即可。另解：把每一數(shù)組中3個(gè)數(shù)相加得一新的數(shù)列，即為1+4+10=15，3+9+16=28，5+14+22=41，…它仍是一個(gè)等差數(shù)列，求出這個(gè)新數(shù)列中第150個(gè)數(shù)即所求者。11、參看第9題提示，注意每?jī)蓚€(gè)連續(xù)奇數(shù)相差為2。12、把所求的式子改寫成22+(42-32)+(62-52)+…+(1002-992)+(1022-1012)注意42-32=4+3，62-52=6+5，…，即不難計(jì)算了。13、（1）把數(shù)列中的數(shù)依次寫成以下形式2=2+6×0；8=2+6×1；14=2+6×2；20=2+6×3。（注意數(shù)列中相鄰兩數(shù)之差皆為6），研究38等4個(gè)數(shù)是否能寫成這樣的形式；（2）先求數(shù)列中第100個(gè)數(shù)是多少（參考（1）中的形式）；（3）先算出4710是這個(gè)數(shù)列中第幾個(gè)數(shù)（參考（1）中形式）；（4）設(shè)an是這數(shù)列中第n個(gè)數(shù)，用書中例子的方法推出2+8+14+…+an=，于是由條件有(2+an)n=2×352=704。然后分解704成兩個(gè)自然數(shù)的積，選擇其中一個(gè)因數(shù)作為n，另一個(gè)作為2+an，注意當(dāng)n取定后，an=2+6(n-1)由n所決定。14、（1）注意本題中并沒有給出數(shù)列中相鄰兩數(shù)的差d是多少，這需要你通過題給條件判斷。我們有an-a1=46，注意d必定是46的約數(shù)，而46=1×46=2×23，因而d有1，2，23及46這4個(gè)可能的值，題目中“前n個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”及“2和48不是兩個(gè)相鄰的數(shù)”這兩個(gè)條件可用來幫助你決定d的值。有了d的值，這個(gè)數(shù)列就完全確定了，其余幾個(gè)問題可仿13題求解。習(xí)題一答案1、247050；2、1242；3、19593；4、1000000；5、84；6、98米；7、方框中16個(gè)數(shù)之和不能是1968，1988