新高考（九省聯(lián)考模式）2024年全國第四屆章魚杯聯(lián)考高中組數(shù)學(xué)試題＋答案

2024年第四屆章魚杯聯(lián)考(高中組)A.0B.1A.4B.5A.38B.171A.(-~,0)U(2,+)B.(-,0)UC.[0,2]A.7B.9C.11√√√√√√√√√.F:x2-3y2=-3,A(0,2),B,C在「上且直線BC經(jīng)過A.設(shè)1B,1c分別為F在B,C處的切線，點BD⊥l,CD⊥lc則D的軌跡方程是;若D的橫縱坐標(biāo)均為正整數(shù)，且二者之和大于2024,四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.雙五棱錐是由兩個側(cè)面均為邊長為1的正三角形的五棱錐上下拼接而成的，如圖所示.(1)求雙五棱錐的內(nèi)切球半徑；(2)求分別位于拼接面(正五邊形)兩側(cè)的相鄰的兩個正三角形構(gòu)成的二面角的余弦值.16.(15分)校乒乓球錦標(biāo)賽共有2n位運動員參加.第一輪，運動員們隨機(jī)配對，共有2n-1場比賽，勝者進(jìn)入第二輪，負(fù)者淘汰.第二輪在同樣的過程中產(chǎn)生2n-2名勝者.如此下去，直到第n輪決出總冠軍.設(shè)任意兩場比賽的結(jié)果相互獨立，不存在平局，且V1≤i<j≤2",當(dāng)x?與xj比賽時，;x?獲勝的概(1)求最后一輪比賽在水平最高的兩名運動員.x?與x?之間進(jìn)行的概率.第四屆章魚杯高中組·數(shù)學(xué)第3頁(共5頁)17.(15分)(a)行星繞太陽運動的軌道為橢圓(圓可視為特殊的橢圓),太陽位于橢圓的一個焦點上，所有行星的(b)行星在其橢圓軌道上的相等時間內(nèi)，與太陽連線所掃過的(c)行星的公轉(zhuǎn)周期的平方與它們的橢圓軌道長軸的立方成正比.開普勒三定律為我們理解行星運動提供了重要的基礎(chǔ)，并且被廣泛應(yīng)用于天體力學(xué)和行星設(shè)a,b,c>0,a2=b2+c2,地球、太陽、火星均可視為點，太陽位于(-c0),似看成圓C?:(x+c)2+y2=(a-c)2,火星的公轉(zhuǎn)軌道可近似看成圓Cz:(x+c)2+y2=(a+c)?,且火星的公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)周期的1.882倍.霍曼轉(zhuǎn)移軌道E是以太陽所在位置為其中一個焦點，并且與C?,C?均相切的橢圓.2020年，我國自主研制的火星探測器天問一號從地球發(fā)射，經(jīng)霍曼轉(zhuǎn)移軌道到達(dá)火星，如下圖所示.(2)設(shè)天問一號位于E上的一點P,當(dāng)P不在(C?上時，C?上存在依賴于P的兩點A,B,使得∠APB為觀測地球的最大視角(即地球不可能位于該角的外部),問：軌道平面內(nèi)是否存在定圓C?,使得直線AB恒與(C?相切?證明你的結(jié)論.第四屆章魚杯高中組·數(shù)學(xué)第4頁(共5頁)18.(17分)(2)若a≥0,,求f(x)的最大值(用a表示);(3)若f(x)恰有三個極值點，直接寫出a的取值范圍.(1)試求出所有三元實數(shù)組(a,B,γ),使得an為等比數(shù)列.第四屆章魚杯高中組解答2024年2月6日f(x)=10x3-12x2+3x,故.f(3)=10×33-12×32+3×3=1711【解析】不妨設(shè)出發(fā)順序為1,2,…,n,若31≤i≤n-1,使得b?+r?<b?i+ri+i,交換i與i+1的出發(fā)順序，顯然i+1會比交換前更早完成比賽.交換前i和i+1的完賽總時長為S?+Su?+b+?+r+i.交換后i和i+1的完賽總時長為Si+S?+b?+ri,又b?+r?<b+1+ri+i,故交換后i和i+1的完賽總時長減少，而其他人不變，從而全體完賽總時長減少.由此可反復(fù)交換在總時長均減小，直到按b?+r;降序排列，此時達(dá)到最優(yōu).【解析】若O≤k≤2,則-1≤1-k≤1,取y=0,則cosx+kcosy=1有解，不符題意，舍去.若k<0,則1-,故即可.綜上，k的范圍是((-,0)U(2,+).則no=min{n∈[1,12]∩Z|bn<1},解得no=11.若no=13,同理可得ai?<ai?,矛盾!綜上，【解析】由5∈A知72°角(正五邊形對應(yīng)的圓心角)可用尺規(guī)作出，由3∈A知60°(正三角形對應(yīng)的出，3°=18°-15°可用尺規(guī)作出，從而所有3°的整數(shù)倍都可用尺規(guī)作出.由9車A知20°(正九邊形對應(yīng)的圓周角)不可用尺規(guī)作出，于是1?=7×3°-20°°不可用尺規(guī)作出，2°=2×1°也不可用尺規(guī)作出，從而有且僅有3°的整數(shù)倍能用尺規(guī)作出，故21°和48°可以，25°和62°不行.【解析】A正確.B項：設(shè)異面直線a,b的公垂線為CD,其中2A項：這表明第一秒每個固定的進(jìn)程訪問失敗的概率都是即∑顯然z?=2,wo=1是*的一組解，同時注意到若(z,w)是*的一組解：則((2z+3w,z+2w)也是*的一組解.而x=3w,y=3+5z,故可取x=3×209=627,y=3+5×362=1813,5(10分)(15分)因此求和后總概率變小，這表明x;為總冠軍的概率大于x?+i為總冠軍的概率.(2分)(4分)(x+c)(x?+c)+y?y=(a-c)2.(*2)取取(15分)置φ(x)=1-2lnx-x2,則于是φ(x)在(0,+~)單調(diào)遞減.又φ(1)=0,故0<x<1時φ(x)>0,x>1時φ(x)<0.從而f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+)單調(diào)遞減.(5分)Vxo>0,Vx>0,g(x)≤g'(xo)(x-xo)+gφxo>0,Vx>0,h(x)≥h'(x?)(x-xo)+h(x?).(8分)g(x?)-h(x?)=2Inx?+1-x?(x0所以Vx>0,我們有g(shù)(x)≤g'(x?)(x-x?)+g(x?)=h'(x?)(x-x