全等三角形綜合訓(xùn)練（四）（解析版）

全等三角形綜合訓(xùn)練（四）1．如圖，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．E、F分別為上一點(diǎn)，且，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴（SAS）．∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故選：B．2．如圖，將紙片沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，且平分，平分，若，則的大小為A．44° B．41° C．88° D．82°【答案】C【詳解】解：如圖，連接．，．平分，平分，，．．．由題意得：．．，，．故選：C．3．如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定【答案】C【詳解】解：如圖所示：將△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBH，連接HN，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BM=BH，CH=AM，，，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，在△NBM與△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，∴以x，m，n為邊長(zhǎng)的三角形△NCH是鈍角三角形．故選：C．4．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的點(diǎn)，且BE＝CD，AD與CE相交于點(diǎn)F，連接BF，延長(zhǎng)FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面積為m，AF：EF＝5：3，則△AEG的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，，，即，在和中，，，，又，，，，（同底等高），∵，，∴，∴，∴，∴，即的面積為，故選：A．5．已知：如圖，中，E在上，D在上，過E作于F，，，，則的長(zhǎng)為___________．【答案】【詳解】解：在上取一點(diǎn)T，使得，連接，在上取一點(diǎn)K，使得，連接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．6．如圖，已知在四邊形中，連接、，，，，，若，則的面積是________．【答案】【詳解】如圖，以為邊向上作等邊，連接．∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴．又∵，，∴，∴．∵，∴為等邊三角形．∵，∴等邊的邊長(zhǎng)為4．∴．故答案為：．7．如圖，長(zhǎng)方形中，，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到的位置，連接和，則的最小值為_____．【答案】【詳解】解：如圖：將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．8．如圖，，都是等邊三角形，，相交于點(diǎn)．①；②；③平分；④平分，則以下結(jié)論中正確的是______（填序號(hào)）．【答案】①③【詳解】①證明：和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，即①正確；②解：由①知：，，，在中，，，即②錯(cuò)誤；③證明：連接，過點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，，如圖所示：由①知：，，，，點(diǎn)在的平分線上，即平分，③正確；④證明：連接，如圖所示：由③知，平分，，，，由①知，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可知在和中，即不平分，④錯(cuò)誤；故答案為：①③．9．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】8【詳解】解：如圖，過作于點(diǎn)，連接，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，∴點(diǎn)在直線上，，∴的最小值為的長(zhǎng)，且當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴的最小值為．故答案為：．10．如圖，，，，，，連接，，則的面積是___________．【答案】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于A，交FD的延長(zhǎng)線于G，過點(diǎn)F作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形CAHF是矩形，∴，，故答案為∶．11．在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)F在射線BC上，點(diǎn)E是AF上一點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，求證：．(2)如圖，若點(diǎn)F在邊BC上，且滿足，，面積為33，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)AE的長(zhǎng)為6【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．（2）解：過點(diǎn)C作較的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，如圖所示：則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即，解得：或（舍去），故AE的長(zhǎng)為6．12．（1）如圖，在四邊形中，，．E、F分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使．連接．先證明，再證，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是___________．【靈活運(yùn)用】（2）如圖，若在四邊形中，，，F(xiàn)、F分別是、上的點(diǎn)．且，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【延伸拓展】（3）如圖，在四邊形中，，．若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．【答案】（1）；（2）仍然成立，見解析；（3），證明見解析．【詳解】解：（1）；理由：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴；故答案為：；（2）仍然成立；理由：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，即；（3）；證明：如圖，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，

∴，∵，∴，∴，即∴．13．在中，經(jīng)過點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的左側(cè)作，使且，連接．(1)如圖，求證：；(2)探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，并直接寫出你得到的結(jié)論；（提示：嘗試取幾個(gè)不同位置的點(diǎn)，畫圖探索結(jié)論）(3)當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)．（直接寫出答案）【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是經(jīng)過點(diǎn)且垂直于的直線(3)或【詳解】（1）解，如圖，∴，即，在與中，，∴，∴；（2）解：如圖1，如圖1，取的中點(diǎn)為，連接，由(1)得，∴，即，∵，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為過點(diǎn)且垂直于的直線；（3）如圖2，取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，如圖2，由（1）（2）得，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∵，，∴，解得，∴，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，如圖3由（1）（2）得，，，∴，，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，解得，∴，綜上所述，的度數(shù)為或．14．如圖，在正方形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)做，交于點(diǎn)．(1)用等式表示和的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求證：；(3)連接，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)，理由見解析；(2)見解析(3)，理由見解析【詳解】（1）解：．理由：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，四邊形內(nèi)角和為，∴，即；（2）證明：過作于，過作于，∵四邊形是正方形，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴（），∴；（3）解∶．理由∶如圖，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，又，∴（），∴，，∵，，∴，∴，又，∴，∴，又，，∴（），∴，又，，∴15．【嘗試應(yīng)用】小明將兩副大小不同的三角板如圖所示放置，和為等腰直角三角形，，連接，，直線經(jīng)過點(diǎn)B交于M，交于N．(1)如圖1，若，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；【類比遷移】(2)如圖2，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（小明發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)線段至點(diǎn)F，使得，連接，證明了與的關(guān)系，便可解決問題）請(qǐng)你按照他的思路，完成證明．【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，小明又找了兩副大小相同的直角三角板，且，，連接，，直線經(jīng)過點(diǎn)B交于M，交于N，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)．求：①；②．【答案】(1)(2)與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為(3)①②【詳解】（1）與的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：如圖，延長(zhǎng)到F，使得，因?yàn)楹蜑榈妊苯侨切危?，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，，因?yàn)椋?，所?/p>