12.4 復(fù)數(shù)的三角形式（六大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁12.4復(fù)數(shù)的三角形式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）培養(yǎng)轉(zhuǎn)化，邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；（2）通過對(duì)復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算及其幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（1）掌握復(fù)數(shù)的三角形式，能夠進(jìn)行兩種形式的轉(zhuǎn)化（2）會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算；（3）理解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示的幾何意義.知識(shí)點(diǎn)01復(fù)數(shù)的三角形式1、復(fù)數(shù)的輻角以軸的正半軸為始邊、向量OZ所在的射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．適合于的輻角的值，叫輻角的主值．記作：，即．2、復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式．其中，是復(fù)數(shù)的模；是復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．為了與三角形式區(qū)分開來叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點(diǎn)模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連3、兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等．【即學(xué)即練1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）的三角形式是．【答案】（答案不唯一）【解析】令且，所以，則滿足，所以三角形式可寫成.故答案為：(答案不唯一)知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)的三角形式乘、除運(yùn)算1、復(fù)數(shù)三角形式的乘法及其幾何意義設(shè)、的三角形式分別是：，．則．簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加幾何意義：把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)輻角，長度乘以的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．2、復(fù)數(shù)三角形式的除法及其幾何意義設(shè)、的三角形式分別是：，．則．簡記為：模數(shù)相除，幅角相減幾何意義：把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)輻角，長度除以的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．【即學(xué)即練2】復(fù)數(shù)的值是（

）A． B．16 C． D．【答案】A【解析】.故選：A題型一：復(fù)數(shù)的三角形式【典例1-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）下列各式中已表示成三角形式的復(fù)數(shù)是（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】復(fù)數(shù)的三角表示為：，其中，B選項(xiàng)滿足.故選：B.【典例1-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，將復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得.故選：B【變式1-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)改寫成三角形式，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，又，∴，∴故選：B．【變式1-2】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列復(fù)數(shù)是不是復(fù)數(shù)的三角形式，并說明理由.(1)；(2)．【解析】（1）括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)中間不是加號(hào)，故不是復(fù)數(shù)的三角形式，其三角形式為.（2）不滿足復(fù)數(shù)的模大于等于0，故不是復(fù)數(shù)的三角形式，其三角形式為.【方法技巧與總結(jié)】解題總結(jié)（復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟）（1）判斷依據(jù)：三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．（2）變形步驟：首先確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限（此處可假定θ為銳角），其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角．此步驟可簡稱為“定點(diǎn)→定名→定角”．題型二：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式【典例2-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）把復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）改寫成三角形式為．【答案】【解析】由題可得，且在第三象限，所以輻角的主值為，所以，故答案為：.【典例2-2】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)表示成三角形式是．（用輻角主值）【答案】【解析】令且，則，故，所以.故答案為：【變式2-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）（）改寫成三角形式為．【答案】當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式可以為（答案不唯一）；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式可以為（答案不唯一）；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式可以為（答案不唯一）.【解析】復(fù)數(shù)的模為，設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的模為，，，則，，此時(shí)復(fù)數(shù)的三角形式可以為，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式為，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的模為，，，則，，此時(shí)復(fù)數(shù)的三角形式可以為，故答案為：當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式可以為（答案不唯一）；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式可以為（答案不唯一）；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)的三角形式可以為（答案不唯一）.【變式2-2】（2024·高一·上海閔行·期末）將復(fù)數(shù)化為三角形式：．【答案】【解析】復(fù)數(shù)中，，設(shè)為復(fù)數(shù)的輻角主值，又所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】解題總結(jié)：（復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟）（1）先求復(fù)數(shù)的模；（2）決定輻角所在的象限；（3）根據(jù)象限求出輻角（常取它的主值）；（4）寫出復(fù)數(shù)的三角形式．題型三：把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式【典例3-1】（2024·高一·全國·課前預(yù)習(xí)）將復(fù)數(shù)z＝化為代數(shù)形式為．【答案】1－i【解析】z＝．故答案為：1－i【典例3-2】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)10表示成代數(shù)形式為．【答案】－5－5i/－5i－5【解析】10＝10＝－5－5i．故答案為：【變式3-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，那么的共軛復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是．【答案】/-i+【解析】，故.故答案為：.【變式3-2】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)z=3化成代數(shù)形式為;|z|=.【答案】3【解析】，故答案為：【變式3-3】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式為【答案】【解析】由題得.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】解題總結(jié)（把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式的注意事項(xiàng)）（1）類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí)，注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．（2）由三角形式表示成代數(shù)形式，直接求出角的三角函數(shù)值，化簡即可．題型四：復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算【典例4-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）如果，那么復(fù)數(shù)的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.【典例4-2】（2024·高一·湖北武漢·期末）已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．i【答案】D【解析】故選：D【變式4-1】（2024·高一·江蘇鹽城·期末）歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下列運(yùn)算一定正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.【變式4-2】（2024·高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）已知復(fù)數(shù)z滿足，則中不同的數(shù)有（

）A．4個(gè) B．6個(gè) C．2019個(gè) D．以上答案都不正確【答案】B【解析】根據(jù)題意，有，于是中有6個(gè)不同的數(shù)．故選：B.【變式4-3】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）計(jì)算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗?，所以，故選：B.【變式4-4】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】解題總結(jié)（復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算的注意事項(xiàng)）兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積還是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，它的幅角等于各復(fù)數(shù)的幅角的和．簡單的說，兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為：模數(shù)相乘，幅角相加．題型五：復(fù)數(shù)的三角形式除法運(yùn)算【典例5-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，則得一個(gè)輻角是.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意得，，所以得輻角是（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）【典例5-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：．(用代數(shù)形式表示)【答案】【解析】.故答案為：.【變式5-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）.【答案】i/【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則，可得：.故答案為：【變式5-2】（2024·高一·福建莆田·階段練習(xí)），則.【答案】400【解析】，若，則，∴.故答案為：.【變式5-3】（2024·高一·上?！卧獪y試）若，則的輻角主值為.【答案】【解析】，輻角．得的輻角主值.故答案為：.【變式5-4】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，計(jì)算：.【答案】【解析】先把轉(zhuǎn)化為，再利用復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算法則即可求出答案.原式.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】解題總結(jié)：（復(fù)數(shù)的三角形式除法運(yùn)算的注意事項(xiàng)）兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商還是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，它的幅角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角．簡單的說切記兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式除法運(yùn)算法則：模數(shù)相除，幅角相減．題型六：復(fù)數(shù)的三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義【典例6-1】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)是.(用代數(shù)形式表示).【答案】【解析】由題意得.故答案為：【典例6-2】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，將與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，求與所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，寫出你的思考過程．【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，所求的復(fù)數(shù)是，即.故與所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.【變式6-1】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）圖中四邊形ABCD，DCEF，F(xiàn)EGH都是正方形，用復(fù)數(shù)方法證明：．

【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：令，可得點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，所以分別為的輻角，且；可得；所以可得【變式6-2】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，，它們對(duì)應(yīng)的向量分別為、、，如何直觀地理解與、與之間的位置關(guān)系呢？【解析】因?yàn)椋?，，，所以，，所以，先將沿原方向伸長倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得到，將反向伸長為原來的倍，可得到.【變式6-3】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)，求所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解析】由題意，旋轉(zhuǎn)后，變?yōu)?，∴旋轉(zhuǎn)后所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【變式6-4】（2024·高一·福建泉州·期中）已知復(fù)數(shù)已在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，是虛數(shù)單位.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)當(dāng)時(shí)，求復(fù)數(shù)的三角表示(3)若復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)（2）中的復(fù)數(shù)，把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（結(jié)果用代數(shù)形式表示）【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)已在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：（2）當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，所以（3）根據(jù)題意得，設(shè)其旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)向量，所以，解得或，又因?yàn)槔@點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，所以.【變式6-5】（2024·高一·福建泉州·階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到向量.(1)求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)已知點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，且，求復(fù)數(shù)z.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，所以；（2）因?yàn)辄c(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，且，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，或，∴或，∴或.【變式6-6】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【解析】向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】解題總結(jié)（復(fù)數(shù)的三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義的注意事項(xiàng)）復(fù)數(shù)乘法幾何意義是解題關(guān)鍵．把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)輻角，長度乘以的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．復(fù)數(shù)除法幾何意義是解題關(guān)鍵．把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一個(gè)輻角，長度除以的模，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是．一、單選題1．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，令，則，所以，因?yàn)?，所以，所以的三角形式?故選：D.2．（2024·高一·福建廈門·期中）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C3．（2024·高一·廣東廣州·期中）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（

）A． B．為實(shí)數(shù)C． D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，為純虛數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，因此，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，D錯(cuò).故選：C.4．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）如果，那么復(fù)數(shù)的三角形式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.5．（2024·高一·河北滄州·期中）已知（其中i為虛數(shù)單位），那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，可得，因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B．6．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測）任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則，已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意可得，故，所以.故選：B7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為虛數(shù) B．函數(shù)不是周期函數(shù)C．若，則 D．的共軛復(fù)數(shù)是【答案】D【解析】A選項(xiàng)，，為實(shí)數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由于是最小正周期為的函數(shù)，所以是周期函數(shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，所以，又時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故共軛復(fù)數(shù)是，D正確.故選：D8．（2024·高一·江蘇蘇州·期中）歐拉公式是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家?自然科學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為數(shù)學(xué)上優(yōu)美的公式.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，即，，.故選：A.二、多選題9．（2024·高一·江西南昌·期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的有（

）A．z的虛部為 B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以z的虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)的輻角有無數(shù)多個(gè)，故錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BD.10．（2024·高一·福建三明·期末）設(shè)復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，下列判斷中正確的是（

）A． B．C．z是方程的一個(gè)根 D．滿足最小正整數(shù)n為3【答案】ACD【解析】由題設(shè)，，則，，所以A正確，B錯(cuò)誤；由的根為，故z是該方程的一個(gè)根，C正確；由，則，故最小正整數(shù)n為3時(shí)，，正確.故選：ACD11．（2024·高二·福建莆田·開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，，則以下結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則C．若，則與的夾角為D．若，則為正三角形【答案】ABD【解析】因?yàn)?，，，所以，則，對(duì)于A，，故，，所以，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，設(shè)與的夾角為，若，則，即，即，所以，所以，即與的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，則，即，由C選項(xiàng)可知與的夾角為，同理與的夾角為，與的夾角為，又，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題12．（2024·高一·上海浦東新·期末）將復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.【答案】【解析】復(fù)數(shù)的三角形式是,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故答案為：13．（2024·高一·全國·