2024屆江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆江西省撫州市臨川區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若數(shù)列的前項和為，則下列命題：（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；（2）數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項均為正數(shù)；（3）若是等差數(shù)列，則的充要條件是；（4）若是等比數(shù)列且，則的充要條件是；其中，正確命題的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．已知數(shù)列的通項為，我們把使乘積為整數(shù)的叫做“優(yōu)數(shù)”，則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（）A．1024 B．2012 C．2026 D．20363．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得，，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于A． B． C． D．4．不等式的解集是（）A． B．C．或 D．或5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12 B．18C．24 D．306．已知表示三條不同的直線，表示兩個不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．的內(nèi)角的對邊分別是，若，，，則()A． B． C． D．8．已知，，則的最大值為（）A．9 B．3 C．1 D．279．已知向量，若，則的最小值為（）.A．12 B． C．16 D．10．已知角的終邊經(jīng)過點（3，-4），則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關(guān)于函數(shù)有下列命題：①由可得必是的整數(shù)倍；②的圖像關(guān)于點對稱，其中正確的序號是____________.12．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是，則該圓臺的高為_______.13．已知函數(shù)一個周期的圖象（如下圖），則這個函數(shù)的解析式為__________．14．已知，且，則的值是_______.15．竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式為.該結(jié)論實際上是將圓錐體積公式中的圓周率取近似值得到的.則根據(jù)你所學(xué)知識，該公式中取的近似值為______.16．已知函數(shù)，，的圖象如下圖所示，則，，的大小關(guān)系為__________．（用“”號連接）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從全校參加科技知識競賽初賽的學(xué)生試卷中，抽取一個樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數(shù)是6.請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學(xué)生人數(shù)；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.18．（Ⅰ）已知直線過點且與直線垂直，求直線的方程；（Ⅱ）求與直線的距離為的直線方程.19．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．20．已知向量，，其中為坐標(biāo)原點.（1）若，求向量與的夾角；（2）若對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍.21．已知時不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

對各選項逐個論證或給出反例后可得正確的命題的個數(shù).【詳解】對于（1），取，則，因該數(shù)列的公差為，故是遞增數(shù)列.，故，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故（1）錯.對于（2），取，則，數(shù)列是遞增數(shù)列，但，故數(shù)列是遞增數(shù)列推不出的各項均為正數(shù)，故（2）錯.對于（3），取，則，，故當(dāng)時，但總成立，故總成立，故推不出，故（3）錯.對于（4），設(shè)公比為，若，若，則，，矛盾，故.又，故必存在，使得即，即，所以，故，所以是的必要條件.若，則，所以，所以，所以是的充分條件故的充要條件是，故（4）正確.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的前項和的單調(diào)性以及等比數(shù)列前項和的積的性質(zhì)，對于等差數(shù)列的單調(diào)性，我們可以求出前項和關(guān)于的二次函數(shù)的形式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)討論其單調(diào)性，也可以根據(jù)項的符號來判斷前項和的單調(diào)性.應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式時，注意對公比是否為1分類討論.2、C【解析】

根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)運算，求得的范圍，再用等比數(shù)列的前項和公式進(jìn)行求和.【詳解】根據(jù)優(yōu)數(shù)的定義，令，則可得令，解得則在內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為：故選：C.【點睛】本題考查新定義問題，本質(zhì)是考查對數(shù)的運算，等比數(shù)列前項和公式.3、D【解析】在中，由正弦定理得，解得在中，4、B【解析】

由題意，∴，即，解得，∴該不等式的解集是，故選．5、C【解析】試題分析：由三視圖可知，幾何體是三棱柱消去一個同底的三棱錐，如圖所示，三棱柱的高為5，消去的三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長分別為3和4的直角三角形，所以幾何體的體積為V=1考點：幾何體的三視圖及體積的計算．【方法點晴】本題主要考查了幾何體的三視圖的應(yīng)用及體積的計算，著重考查了推理和運算能力及空間想象能力，屬于中檔試題，解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖的規(guī)則“長對正、寬相等、高平齊”的原則，還原出原幾何體的形狀，本題的解答的難點在于根據(jù)幾何體的三視圖還原出原幾何體和幾何體的度量關(guān)系，屬于中檔試題．6、D【解析】

利用線面平行、線面垂直的判定定理與性質(zhì)依次對選項進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】對于A，當(dāng)時，則與不平行，故A不正確；對于B，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線有兩種關(guān)系：平行或異面，故B不正確；對于C，若，則與不垂直，故C不正確；對于D，若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，故D正確；故答案選D【點睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系相關(guān)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．7、B【解析】,所以，整理得求得或若，則三角形為等腰三角形，不滿足內(nèi)角和定理，排除.【考點定位】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運算能力和分類討論思想.當(dāng)求出后，要及時判斷出，便于三角形的初步定型，也為排除提供了依據(jù).如果選擇支中同時給出了或，會增大出錯率.8、B【解析】

由已知，可利用柯西不等式，構(gòu)造柯西不等式，即可求解．【詳解】由已知，可知，，利用柯西不等式，可構(gòu)造得，即，所以的最大值為3，故選B．【點睛】本題主要考查了柯西不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記柯西不等式，合理構(gòu)造柯西不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．9、B【解析】

根據(jù)向量的平行關(guān)系，得到間的等量關(guān)系，再根據(jù)“”的妙用結(jié)合基本不等式即可求解出的最小值.【詳解】因為，所以，所以，又因為，取等號時即，所以.故選：B.【點睛】本題考查利用基本不等式求解最小值，難度一般.本題是基本不等式中的常見類型問題：已知，則，取等號時.10、A【解析】

先求出的值，即得解.【詳解】由題得，，所以.故選A【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②【解析】

對①，可令求出的通式，再進(jìn)行判斷；對②，將代入檢驗是否為0即可【詳解】對①，令得，可令，，①錯；對②，當(dāng)時，，②對故正確序號為：②故答案為②【點睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】設(shè)該圓臺的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺的高為3.點睛：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征；在處理圓錐的結(jié)構(gòu)特征時可記住常見結(jié)論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個圓錐高的比值的平方，所得兩個圓錐的體積之比是兩個圓錐高的比值的立方．13、【解析】

由函數(shù)的圖象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．圖象經(jīng)過（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式為：f（x）=．故答案為f（x）=．14、【解析】

計算出的值，然后利用誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

首先求出圓錐體的體積，然后與近似公式對比，即可求出公式中取的近似值.【詳解】由題知圓錐體的體積，因為圓錐的底面周長為，所以圓錐的底面面積，所以圓錐體的體積，根據(jù)題意與近似公式對比發(fā)現(xiàn)，公式中取的近似值為.故答案為：.【點睛】本題考查了圓錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】函數(shù)y=ax，y=xb，y=logcx的圖象如圖所示，由指數(shù)函數(shù)y=ax，x=2時，y∈（1，2）；對數(shù)函數(shù)y=logcx，x=2，y∈（0，1）；冪函數(shù)y=xb，x=2，y∈（1，2）；可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．可得b＜a＜c故答案為：b＜a＜c．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設(shè)樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據(jù)比例列式求解即可；（3）根據(jù)比例得成績在90.5分以上的同學(xué)有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個數(shù)，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個數(shù)，根據(jù)概率公式可得結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本中成績在分的學(xué)生人數(shù)為：人；（3）樣本中成績在90.5分以上的同學(xué)有人，設(shè)這6名同學(xué)分別為，其中就是甲，從這6名同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人參加決賽有：共15個基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5個基本事件，則最高分甲被抽到的概率為.【點睛】本題考查頻率，頻數(shù)，樣本容量間的關(guān)系，考查古典概型的概率公式，重點是列舉出總的基本事件和滿足題目要求的基本事件，是基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)直線與直線垂直，求得直線的斜率為，再利用直線的點斜式方程，即可求解；（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為，由點到直線的距離公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)所求直線的斜率為，由直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以所求直線的方程為直線的方程為：，即.（Ⅱ）設(shè)所求直線方程為，即，直線上任取一點，由點到直線的距離公式，可得，解得或-4，所以所求直線方程為：或.【點睛】本題主要考查了直線方程的求解，兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于來計算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【點睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題.20、（1）或；（2）或.【解析】

（1）按向量數(shù)量積的定義先求夾角余弦，再求