天字一號的60題數(shù)學(xué)運(yùn)算

1.在乘積1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有()個零。

A.172B.174C.176D.179

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【天字一號解析】

此題我們現(xiàn)需要了解0是怎么形成的，情況只有1種，那就是5跟一個偶數(shù)相乘就可以構(gòu)成一個0，但是還要注意25算幾個5呢？50算幾個5呢？125算幾個5呢，具有幾個5主要是看他能否被幾個5的乘積整除，

例如

25＝5×5所以具有2個5，50＝2×5×5也是2個5125＝5×5×5具有3個5

方法一：

我們只要看700個數(shù)字里面有多少個5的倍數(shù)700/5=140

還不行我們還要看有多少25的倍數(shù)700/25=28

還要看有多少125的倍數(shù)700/125=5

625的倍數(shù)：700/625=1

其實就是看700里有多少的5^1,5^2,5^3,5^4……5^n5^n必須小于700

所以答案就是140＋28＋5＋1＝174

方法二：

原理是一樣的，但是我們可以通過連除的方式不聽的提取5的倍數(shù)直到商小于5

700/5=140140/5=2828/5=55/5=1

答案就是這些商的總和即174

140是計算含1個5的但是里面的25的倍數(shù)只被算了一次，所以我們還需要將140個5的倍數(shù)再次挑出含5的數(shù)字，以此類推，就可以將所有含5的個數(shù)數(shù)清！

2.王先生在編一本書，其頁數(shù)需要用6869個字，問這本書具體是多少頁？

A.1999B.9999C.1994D.1995

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【天字一號解析】

這個題目是計算有多少頁。

首先要理解題目

這里的字是指數(shù)字個數(shù)，比如123這個頁碼就有3個數(shù)字

我們通常有這樣一種方法。

方法一：

1～9是只有9個數(shù)字，

10～99是2×90＝180個數(shù)字

100～999是3×900＝2700個數(shù)字

那么我們看剩下的是多少

6869－9－180－2700＝3980

剩下3980個數(shù)字都是4位數(shù)的個數(shù)

則四位數(shù)有3980/4=995個

則這本書是1000＋995－1＝1994頁

為什么減去1

是因為四位數(shù)是從1000開始算的！

方法二：

我們可以假設(shè)這個頁數(shù)是A頁

那么我們知道，

每個頁碼都有個位數(shù)則有A個個位數(shù)，

每個頁碼出了1～9，其他都有十位數(shù)，則有A－9個十位數(shù)

同理:有A－99個百位數(shù),有A－999個千位數(shù)

則：A＋（A－9）＋（A－99）＋（A－999）＝6869

4A－1110＋3＝6869

4A＝7976

A＝1994

3.在一個兩位數(shù)之間插入一個數(shù)字，就變成一個三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)字6，就變成了762。有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的9倍，求出所有這樣的兩位數(shù)有多少個？

A、4B、5C、3D、6

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【天字一號解析】

我們先進(jìn)行簡單的判斷，首先什么數(shù)字個位數(shù)×9得到的數(shù)個位數(shù)還是原來的

乘法口訣稍微默念一下就知道是5×9

或者0×9（個位數(shù)是0的2位數(shù)×9百位數(shù)肯定不等于原來的十位數(shù)所以排除）

好我們假設(shè)這個2位數(shù)是10m＋5，m是十位上數(shù)字，我們在這個數(shù)字中間插入c這個數(shù)字

那么變成的三位數(shù)就是100m＋10c＋5

根據(jù)關(guān)系建立等式：

100m＋10c＋5＝9×（10m＋5）

化簡得到：10m＋10c＝40

m＋c＝4

注意條件m不等于0，

則有如下結(jié)果（1，3），（2，2），（3，1），（4，0）四組，答案是選A

4.有300張多米諾骨牌，從1——300編號，每次抽取偶數(shù)位置上的牌，問最后剩下的一張牌是多少號？

A、1B、16C、128D、256

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【天字一號解析】

這個題目本身并不難，但是一定要看清楚題目，題目是抽取偶數(shù)位置上的牌，1是奇數(shù)位置上的，這個位置從未發(fā)生變化，所以1始終不可能被拿走，即最后剩下的就是編號1的骨牌。

當(dāng)然如果每次是拿走奇數(shù)位置上的，最后剩下的是編號幾呢？

我們做一個試驗，將1到100按次序排開。每輪都拿掉奇數(shù)位置上的骨牌。我們發(fā)現(xiàn)，骨牌數(shù)目基本上是呈現(xiàn)倍數(shù)縮小。同時我們有一個更重要的發(fā)現(xiàn)，那就是什么樣的數(shù)字才能確保它的1/2仍然是偶數(shù)。這個自然我們知道是2^n，但是當(dāng)2^n＝2時它的一半就是1，在接下來的一輪中就會被拿走。因此我們發(fā)現(xiàn)每一輪操作2^n位置上的數(shù)都會變?yōu)?^(n-1)當(dāng)2^n=1時被拿走。按照這樣的操作，100個多米諾骨牌每次少1/2，當(dāng)操作6次即剩下的數(shù)目小于2個（100÷2^6<2）。根據(jù)上面我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，必然是最后留下了2^6＝64移動到了第1位也就是僅剩下的1位。所以答案是100內(nèi)最大的2^n=64

總結(jié)：大家記住這樣一個規(guī)律直線排列最后剩下的是總數(shù)目里面最大的2^n次方

此題300內(nèi)最大的2的n次方就是256

所以如果每次拿走奇數(shù)位置上的骨牌，那么最后剩下的就是編號256

5.兩人和養(yǎng)一群羊，共n只。到一定時間后，全部賣出，平均每只羊恰好賣了n元。兩人商定評分這些錢。由甲先拿10元，再由乙拿10元，甲再拿10元，乙再拿10元，最后，甲拿過之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么甲應(yīng)該給以多少錢？

A.8B.2C.4D.6

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【天字一號解析】

這個題目就是一個常識的題目沒有什么可以延伸的空間，所以我就主要介紹一下解答方法。

X^2是總錢數(shù)，分配的時候10元，2次一輪，最后單下一次，說明總錢數(shù)是10的奇數(shù)倍數(shù)根據(jù)常識，只有個位數(shù)是4，或者6才是十位數(shù)是奇數(shù)，那么個位數(shù)都是6

說明最后剩下6元

乙應(yīng)該給甲10－（10＋6）/2=2元

6.自然數(shù)A、B、C、D的和為90，已知A加上2、B減去2、C乘以2、D除以2之后所得的結(jié)果相同。則B等于：

A．26B．24C．28D．22

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【天字一號解析】

結(jié)果相同，我們可以逆推出A，B，C，D

假設(shè)這個變化之后四個數(shù)都是M

那么

A＝M－2

B＝M＋2

C＝M/2

D=2M

A＋B＋C＋D＝90＝4.5M

M＝20,則B＝20+2=22

7.自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，P除以9的余數(shù)為8，P除以8的余數(shù)為7。如果：100<P<1000，則這樣的P有幾個?

A、不存在B、1個C、2個D、3個

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【天字一號解析】

根據(jù)題目的條件我們看

P＝10X＋9＝10（X＋1）－1

P＝9Y＋8＝9（Y＋1）－1

P＝8Z＋7＝8（Z＋1）－1

這樣我們就發(fā)現(xiàn)了P＋1就是8，9，10的公倍數(shù)

我們知道8，9，10的最小公倍數(shù)是360

則100～1000內(nèi)有2個這樣的公倍數(shù)。

所以滿足條件的P就是360－1＝359，

或者720－1＝719

8.三個連續(xù)的自然數(shù)的乘積比M的立方少M(fèi)，則這三個自然數(shù)的和比M大多少（）

A2MB4MC6MD8M

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【天字一號解析】

方法一：特例法你可以隨便找3個連續(xù)自然數(shù)試試看，

例如1×2×3＝6

比6稍大的立方數(shù)是8即2^3=8

8-6剛好是2

所以說明M＝2，那么我們看1＋2＋3＝6

6－M＝4

可見是2M

方法二：

平方差公式：我們假設(shè)這三個連續(xù)自然數(shù)中間的數(shù)字是a，那么這三個數(shù)字分別是，

a－1，a，a＋1

乘積是a×（a－1）×（a＋1）＝a×（a^2－1）＝a^3-a

跟題目說的比M^3少M(fèi)條件對比我們發(fā)現(xiàn)M就是a

再看（a－1）＋a＋（a－1）＝3a＝3M

可見答案就是2M

9.一個7×7共計49個小正方形組成的大正方形中，分別填上1～49這49個自然數(shù)。每個數(shù)字只能填1次。使得橫向7條線，縱向7跳線，兩個對角線的共計16條線上的數(shù)字和相等！則其中一個對角線的7個數(shù)字之和是（）

A175B180C195D210

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【天字一號解析】

這個題目猛一看好復(fù)雜，其實仔細(xì)看看就會發(fā)現(xiàn)端倪。雖然看上去像是一個幻方問題或者類似于九宮圖，但是這里并不是讓你關(guān)注這個。

49個數(shù)字全部填入，滿足條件后，我們發(fā)現(xiàn)橫向有7條線產(chǎn)生7個結(jié)果并且相等。那么這個7個結(jié)果的和就是這7條線上的所有數(shù)字之和，很明顯就發(fā)現(xiàn)了就是1～49個數(shù)字之和了

，根據(jù)等差數(shù)列求和公式：（首項＋尾項）×項數(shù)/2=總和

（1＋49）×49/2＝25×49

則每條線的和是25×49/7=175

因為對角線和橫線7條線的任意一條的和相同所以答案就是175.

10.把1～100這100個自然數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈上，從1開始，順時針方向，留1，擦去2,3,4，留5，擦去6,7,8……（每擦去3個數(shù)，留一個數(shù)）。直到最后剩下的一個數(shù)是多少？

A、47B、48C、49D、64

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【天字一號解析】

考察點：周期循環(huán)等比數(shù)列的問題

這個題目考到的可能性不是特別大，但是不排除。就只介紹規(guī)律吧。

主要是看間隔編號的個數(shù)。如該題間隔編號就是1個。例如留1拿走2，留3拿走4，間隔是1：

以下公式是按照從去1開始的。

那么公式是：2/1×（A－2^n）這是最后剩下的數(shù)字2^n表示A內(nèi)最大的值A(chǔ)表示原始的編號總數(shù)。

間隔是2：3/2×（A－3^n）

間隔是3：4/3×（A－4^n）

間隔是4：5/4×（A－5^n）

特別注意的是：此題的A值不是隨便定的必須滿足A－1要能夠除以間隔編號數(shù)目。否則最后的結(jié)果就是全部被拿走。

該題答案是：按照公式4/3×（100－4^3）=48

但是這是按照去1開始得如果是留111.下列哪項能被11整除？

A．937845678B．235789453C．436728839D．867392267

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【天字一號解析】

9＋7＋4＋6＋8＝34

3＋8＋5＋7＝23

34－23＝11

所以答案是A

所有的奇數(shù)位置上的數(shù)之和－所有偶數(shù)位置上數(shù)字之和＝11的倍數(shù)那么這個數(shù)就能被11整除。

這類題目屬于數(shù)字整除特性題目我們這里就順便介紹幾個這樣的規(guī)律：

（1）1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a.

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0.

（2）若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。

（3）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

（4）若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

（5）若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

（6）若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

（7）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。

（8）若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

（9）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

（10）若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。

（11）若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1！

（12）若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

（13）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（15）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（16）若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。

（17）若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。

（18）若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整除

12.甲乙二人分別從相距若干公里的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，相遇后各自繼續(xù)前進(jìn)，甲又經(jīng)1小時到達(dá)B地，乙又經(jīng)4小時到達(dá)A地，甲走完全程用了幾小時

A．2B．3C.4D．6

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【天字一號解析】

這個題目只要抓住固定不變的部分，不管他的時間怎么邊速度比是不變的。

假設(shè)相遇時用了a小時

那么甲走了a小時的路程乙需要4小時

根據(jù)速度比＝時間的反比

則V甲：V乙＝4：a

那么乙走了a小時的路程甲走了1小時

還是根據(jù)速度比＝時間的反比

則V甲：V乙＝a：1

即得到4：a＝a:1

a=2

所以答案是甲需要1＋2＝3小時走完全程！

13.0,1,1,1,2,2,3,4八個數(shù)字做成的八位數(shù)，共可做成______個。

A2940B3040C3142D3144

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【天字一號解析】

這個題目我在另外一個排列組合的帖子曾經(jīng)講過！

我們不妨先把這8個數(shù)字看作互不相同的數(shù)字，0暫時也不考慮是否能夠放在最高位

那么這組數(shù)字的排列就是P(8,8)，但是，事實上里面有3個1，和2個2，我們知道3個1我們在P(8,8)中是把它作為不同的數(shù)字排列的，現(xiàn)在相同了，那我們就必須從P(8,8)中扣除3個1的全排列P（3，3）關(guān)鍵這里是怎么扣除呢？記住因為全排列是分步完成的，我們知道在排列組合中，分步相乘，分類相加?？梢姳仨毻ㄟ^除掉P（3，3）才能去掉這部分重復(fù)的數(shù)字形成的重復(fù)排列。2個2當(dāng)然也是如此

所以不考慮0作為首位的情況是P88/(P33×P22)

現(xiàn)在我們再來單獨(dú)考慮0作為最高位的情況有多少種：P77/(P33×P22)

最后結(jié)果就是：P88/(P33×P22)－P77/(P33×P22)＝2940

14.A、B、C三本書，至少讀過其中一本的有20人，讀過A書的有10人，讀過B書的有12人，讀過C書的有15人，讀過A、B兩書的有8人，讀過B、C兩書的有9人，讀過A、C兩書的有7人。三本書全讀過的有多少人？（）

A.5B.7C.9D.無法計算

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【天字一號解析】

這個題目我是借鑒的“天使在唱歌”總結(jié)的公式組來解答。根據(jù)題目的不同可以挑選其中的任意2組或者3組公式答題。

先來介紹一下公式：

首先這里不考慮都不參與的元素

（1）A+B+T=總?cè)藬?shù)

（2）A＋2B＋3T＝至少包含1種的總?cè)藬?shù)

（3）B＋3T＝至少包含2種的總?cè)藬?shù)

這里介紹一下A、B、T分別是什么

看圖A＝x＋y＋z；B＝a＋b＋c；T＝三種都會或者都參加的人數(shù)

看這個題目我們要求的是看三本書全部讀過的是多少人？實際上是求T

根據(jù)公式：

（1）A＋B＋T＝20

（2）A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝37

（3）B＋3T＝8＋9＋7＝24

（2）－（1）＝B＋2T＝17

結(jié)合（3）

得到T＝24－17＝7人

15.一個9×11個小矩形組成的大矩形一共有多少個矩形？

A.2376B.1188C.2970D.3200

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【天字一號解析】

這個題目其實很簡單，主要是善于抓住題目的關(guān)鍵。這個題目我們看問有多少個矩形。并不是我們認(rèn)為的就是9×11＝99個。事實上上上下下，左左右右可以由很多小的矩形組成新的大一點的矩形。所以。這個題目看上去比較棘手。那么我們?yōu)楹尾粡木匦蔚母拍钊胧帜?。矩形是由橫向2條平行線。縱向2條平行線相互垂直構(gòu)成的。

知道這個我們就發(fā)現(xiàn)了解題的方法了，9×11的格子說明是10×12條線。

所以我們?nèi)我庠跈M向和縱向上各取2條線就能構(gòu)成一個矩形。

所以答案就是C10取2×C12取2＝2970

16.一個布袋中有35個大小相同的球，其中白、紅、黃三中顏色的球各10個，另有籃、綠兩種顏色的球分別是3個、2個，試問一次至少取出多少個球才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色？

A、15B、16C、17D、14

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【天字一號解析】

這個題目是抽屜原理題目，我們在解答抽屜原理題目的時候要學(xué)會先找到什么是抽屜。抽屜有幾個？然后還得注意在給抽屜平均分配的時候，會不會出現(xiàn)抽屜個數(shù)減少等問題。

這個題目我們先找什么是抽屜。很明顯顏色就是抽屜。共計5種顏色，我們就確定了5個抽屜。每種顏色的抽屜容量是各不相同的，這就導(dǎo)致后面有可能出現(xiàn)抽屜減少的現(xiàn)象。

要求是至少保證取出的球是4個同一顏色的。

我們最接近的是給每個抽屜放3個。3×5＝15

但是請注意，綠色的抽屜容量只有2，所以我們只能放15－1＝14個。再放就必然導(dǎo)致前面的3個抽屜的某一個達(dá)到4個同色了。

此題答案選A

17.22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？（）

A.50B.46C.38D.35

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【天字一號解析】

“牛吃草”的問題主要抓住草每天的增長速度這個變量。至于其原始草量有多少？不是我們關(guān)心的內(nèi)容，為什么這么說，因為在我們計算的時候，實際上是根據(jù)差值求草長速度，那么原有的草量在2種情況中都是一樣，差值的時候被相減抵消了。有些題目可能面積不一樣，但是每畝地的原始草量確實一樣的。

再看這個有面積的題目，其實道理是一樣的。我們只要將不同的轉(zhuǎn)化為相同的，面積不一樣，但是沒公畝的原有量和每天每畝草長的量是相同的。

根據(jù)這個

條件1：(22×54)/33

這是每公畝的情況

條件2：(17×84)/28

這是每公畝的情況

相減(17×84)/28－(22×54)/33＝（84－54）×a

a表示每畝草長速度

解得a＝0.5

單位依舊是沒頭牛每公畝吃草的單位作為標(biāo)準(zhǔn)單位

最后我們假設(shè)x頭牛24天可以吃完40公畝草

那么挑選上面的一個情況拿過來做對比：

(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5

即可解得x＝35頭牛

18.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對方出發(fā)點后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點之間的距離

A、2B、3C、4D、5

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【天字一號解析】

這個題目是關(guān)于多次相遇問題的類型。我先介紹一下多次相遇問題的模型。

例如：有這樣一個多次相遇問題的模型圖

S……………M…………N……E

SE這段路程，甲從S出發(fā)，乙從E出發(fā)，甲乙兩個人在M處第一次相遇了，相遇的時候我們知道甲行駛了SM的長度。甲乙路程之和是SE一個完整的路程。

N點是第2次相遇的地點。我們發(fā)現(xiàn)此時從第一次相遇的點M開始到第2次相遇的點N。

甲走了ME＋EN，而乙在跟甲相同的時間下走了MS＋SN

我們再次發(fā)現(xiàn)：甲乙兩者路程之和是ME＋EN＋MS＋SN＝2SE

是2倍的全程。你可以繼續(xù)研究第3次相遇的情況。或者更多次。我們發(fā)現(xiàn)：

第一次相遇時，甲的路程或者乙的路程是1份的話。第2次相遇時甲或者乙又行駛了2倍的第一次的路程。

看上述題目：我們發(fā)現(xiàn)第一次相遇距離A點4千米。那么我們知道從A出發(fā)的甲是走了4千米，相遇后2人繼續(xù)行駛，在距離B點3千米處相遇。說明甲又走了2×4＝8千米

畫個圖：

A．。。。。。。4.。。。。。3.。。。。。B

我們發(fā)現(xiàn)甲從開始到最后的總路程就是AB＋3

也就是3倍的第一次的距離。

所以AB＝3×4－3＝9千米

那么兩個相遇點之間的距離就是9－4－3＝2千米。選A

19.在一條馬路上，小明騎車與小光同向而行，小明騎車速度是小光速度的3倍，每隔10分有一輛公共汽車超過小光，每隔20分有一輛公共汽車超過小明，如果公共汽車從始發(fā)站每次間隔同樣的時間發(fā)一輛車，那么相鄰兩車間隔多少分鐘？

A.45B50C.60D.80

―――――――――――――――――――

【天字一號解析】

我們知道間隔一頂?shù)臅r間就有一輛公交車超過小光或者小明。說明他們之間構(gòu)成了追擊問題。追擊問題就是時間＝路程差/速度差。

再看，當(dāng)汽車追上小光或者小明的時候，下一輛公交車在哪里呢就是公交車發(fā)車間隔時間的汽車距離。即發(fā)車間隔時間×汽車的速度。這就是汽車跟小光或者小明的路程差。

所以我們發(fā)現(xiàn)

小光被超過是10分鐘，說明V車－V小光＝1/10

（1）小明被超過是20分鐘；說明V車－V小明＝1/20

（2）我們要求間隔發(fā)車時間，只要知道汽車的速度就可以知道間隔發(fā)車時間了因為我們這里的汽車發(fā)車間隔距離都是單位1.上面得到了（1），（2）兩個推斷。同時我們知道小明的速度是小光的3倍

那么（1）×3－（2）＝2倍的汽車速度了

則汽車速度就是(3/10-1/20)/2=1/8

則答案是1/(1/8)=8分鐘。

20.一只船從甲碼頭到乙碼頭往返一次共用4小時，回來時順?biāo)热r每小時多行12千米，因此后2小時比前2小時多行18千米。那么甲乙兩個碼頭距離是多少千米？

A、36B、45C、54D、60

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【天字一號解析】

前2小時是逆水，后2小時是部分逆水＋順?biāo)?/p>

如圖：

0.。。。。。。。。。。。。。。。。逆水。。。。。。。。。。。。。。。。2（小時）

2.。。。逆水。。。X。。。。。。。。。。。順?biāo)?。。。。。。?！?（小時）

我們知道后2小時比前2小時多行18千米

我們看，把部分逆水的跟前2個小時相互抵消，其實后2個小時就是順?biāo)糠直饶嫠喑鰜淼?8，我們知道順?biāo)俣让啃r比逆水速度多12千米。那么18千米需要多少小時？

所以18/12=1.5小時就是順?biāo)畷r間。即X到4小時之間的時間間隔。從而知道逆水時間是2.5小時。時間比是3：5

可見速度比是5：3

差2個比例點對應(yīng)12千米則順?biāo)俣仁?2/2×5＝30；答案是30×1.5＝4521.某團(tuán)體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100千米，團(tuán)體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，全部人員同時到達(dá)。已知步行速度為8千米/小時，汽車速度為40千米/小時。問使團(tuán)體全部成員同時到達(dá)乙地需要多少時間？

A、5.5小時

B、5小時

C、4.5小時

D、4小時

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【天字一號解析】

這個題目已經(jīng)成為典型的形成模型問題了，這個團(tuán)的人分2部分步行,

要得同時到達(dá)那么必然是步行的路程都相同，乘車的路程也相同。抓住這個我們就好辦了！

根據(jù)題目條件,我先給大家畫個圖

甲...............P.............................Q...............乙

圖中：P是汽車回來接先步行的人的地點

Q是汽車把先乘車的人放下的地點。

那么我們可以看出，甲～P是先步行的人步行的舉例。Q～乙是先乘車的人步行的舉例

甲～P＝Q～乙

在根據(jù)相同時間內(nèi)路程之比=速度比=40:8=5:1

假設(shè)先步行的人步行的舉例為1份，

那么汽車的行駛距離就是5份，我們發(fā)現(xiàn)汽車走得路程是甲～Q～P這段距離是5份，

已知，甲～p＝1份，Q～乙＝甲～P＝1份

那么全程就是甲乙路程=(5+1+2)/2=4份

則總路程分成4個單位

每個單位是100/4=25

則以先乘車的人為例

計算時間是

75/40+25/8=5小時

【總結(jié)】這類汽車接送的問題主要是抓住速度之比轉(zhuǎn)換成路程之比，進(jìn)而將問題大大簡化。

下面提供3道練習(xí)題目！

例一：100名學(xué)生要到離校33千米處的少年宮活動．只有一輛能載25人的汽車，為了使全體學(xué)生盡快地到達(dá)目的地，他們決定采取步行與乘車相結(jié)合的辦法．已知學(xué)生步行速度為每小時5千米，汽車速度為每小時55千米．要保證全體學(xué)生都盡快到達(dá)目的地，所需時間最少是?

例二：有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮，最終兩個班的學(xué)生同時到達(dá)少年宮。已知學(xué)生步行速度為每小時4公里，載學(xué)生時車速每小時40公里，空車是50公里/小時，問第一班的學(xué)生步行了全程的幾分之幾？

A.1/7

B.1/6

C.3/4

D.2/5

例三：甲乙兩班同時從學(xué)校去公園，甲步行每小時4千米，乙步行每小時3千米，學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好只能做一個班的學(xué)生，為了使這兩個班學(xué)生在最短的時間內(nèi)到達(dá)，那么甲與乙學(xué)生需要步行的距離之比是（）。

A、15：11B、17：22C、19：24D、21：27

22.從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)有（）個？

A.25B.23C.17D.7

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【天字一號解析】

這個題目我一般都是從問題提到的對象入手，自然數(shù)的約數(shù)？我們知道，求自然數(shù)約數(shù)無非就是將這個自然數(shù)分解因式然后看構(gòu)成的數(shù)字形成多少個不同的乘積。

那么這個自然數(shù)就可以表示為自然數(shù)＝A×B

A和B都是這個自然數(shù)的因數(shù)，也就是約數(shù)。

很明顯一般情況下自然數(shù)的約數(shù)都是成對出現(xiàn)的，如12＝2×6，12＝3×4，12＝1×12，2和6是一對，3和4是一對，1和12是一對。既然是成對出現(xiàn)，那么這個自然數(shù)理論上說它的約數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)個才對。現(xiàn)在是奇數(shù)個。什么樣的情況會導(dǎo)致它是奇數(shù)個約數(shù)呢？

我們發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)這個自然數(shù)種一對約數(shù)相等的時候，就會少了1個約數(shù)，即A＝B，那么我們就看出這個自然數(shù)是一個平方數(shù)！

360～630之間的平方數(shù)可以這樣確定，我們知道19的平方是361，25的平方是625，那么這樣的自然數(shù)就是19～25共計7個自然數(shù)的平方值。

23.王師傅加工一批零件，每天加工20個，可以提前1天完成。工作4天后，由于技術(shù)改進(jìn)，每天可多加工5個，結(jié)果提前3天完成，問，：這批零件有多少個？

A300B280C360D270

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【天字一號解析】

這個題目我們可以通過比例法來解決。我們知道當(dāng)A＝m×n的時候

當(dāng)A固定，m和n就是成反比，

當(dāng)m固定A和n就是成正比，

當(dāng)n固定，A和m也成正比

看這個題目，注意比較前后2種情況，

情況（1）：每天加工20個提前1天

情況（2）：先工作4天（每天20個），以后每天是加工25個，可以前3天

我們發(fā)現(xiàn)兩種情況對比

實際上情況（2）比情況（1）提前了3－1＝2天

這2天是怎么節(jié)約出來的呢？很明顯是因為后面有部分工作每日工作效率提高了，所以那部分所用時間縮短了

根據(jù)4天后剩下的總工作量固定。時間之比＝每日效率的反比＝20：25＝4：5

5－4＝1個比例點。即所提前的時間2天，1個比例點是2天。說明每日工作20個所需時間是對應(yīng)的5個比例點就是2×5＝10天，意思就很清楚了，當(dāng)工作4天后，如果不提高效率，還是每天20個，那么需要10天時間

所以這個題目的總工作量是20×（10＋4）＝280個

此題描述比較煩瑣，但是比例法確實是一種快速解答問題的方法，希望大家能夠花點時間去研究一下。

24.某工作組有12名外國人,其中6人會說英語,5人會說法語,5人會說西班牙語;有3人即會說英又會說法,有2人既會說法又會說西;有2人既會說西又會說英;有1人這三種語言都會說.則只會說一種語言的人比一種語言都不會說的人多:

A1

B2

C3

D5

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【天字一號解析】

在前面的有道題目種我們總結(jié)了幾個公式：

（1）A+B+T=總?cè)藬?shù)

（2）A＋2B＋3T＝至少包含1種的總?cè)藬?shù)

（3）B＋3T＝至少包含2種的總?cè)藬?shù)

（4）T是三者都會的

這里介紹一下A、B、T分別是什么

看圖A＝只會1種的總?cè)藬?shù)；B＝只會2種的總?cè)藬?shù)；T＝三種都會或者都參加的人數(shù)

根據(jù)題目我們得到如下計算：

（1）A＋B＋T＋P＝12

（P表示一種都不會說的）

（2）A＋2B＋3T＝6＋5＋5＝16

（3）B＋3T＝3＋2＋2＝7

（4）T＝1

我們可以很輕松的得到B＝4，A＝5

T＝1

那么P＝2

答案就是A－P＝5－2＝3

25.為了把2008年北京奧運(yùn)會辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：()

A.8500棵

B.12500棵

C.12596棵

D.13000棵

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【天字一號解析】

這個題目是2006年的一道國考試題，題目看上去非常的煩瑣復(fù)雜，還加上了植樹問題。其實這就考驗我們?nèi)绾文軌蚧睘楹喌哪芰Γ踔劣行?shù)字更本可以不用。

我們先對題目進(jìn)行分析。他提供給我們2種情況：

情況（1）：每隔4米栽1棵，則少2754棵

情況（2）：每隔5米栽1棵，則多396棵

我們知道這2條馬路的總長度是固定不變的，我們可以通過這2種情況先求出總長度。

4和5的最小公倍數(shù)是20米也就是說每20米情況（1）就要比情況（2）多栽1棵樹。

那么這2種情況相差多少顆樹

就說明有多少個20米。

據(jù)題意得：情況（1）跟情況（2）相差2754＋396＝3150棵樹

說明總距離是3150×20＝63000米

我們在回頭拿出其中一種情況來分析，就選情況（2）

每隔5米栽1棵，還多出396棵，不考慮植樹問題，我們先理論的計算一下。

63000/5＋396＝12996棵

這個時候還需要小心我們必須注意2條馬路是4個邊，根據(jù)植樹原理，每個邊要多出1棵所以答案應(yīng)該是12996＋4＝13000棵

26.一輛車從甲地開往乙地，如果提速20％，可以比原定時間提前一小時到達(dá)。如果以原速走120千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到。那么甲、乙兩地相距多少千米？

A、240B、270C、250D、300

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【天字一號解析】這個題目依然可以采用比例法來計算：

從第一句話我們看到

提速之后的速度比是

5：6

那么時間比就是6：5

差1個比例點對應(yīng)的是1小時。

所以可見原速度行駛的話就是1×6＝6個小時了

再看原速度走了120千米。剩下的路程速度提高25％，那么提高后的速度比是4：5，

那么剩下部分路程所需時間之比是5：4差1個比例點對應(yīng)的就是40分鐘（2/3小時）

那么可以得到如果是原始速度行駛所需時間就是5×2/3=10/3小時。

前面我們知道原始速度行駛需要6小時。后面部分需要10/3小時則120千米需要6－10/3=8/3小時

這個時候我們再看：8/3走120千米，6小時走多少千米呢

8/3:120=6:x

x=270千米。

27.有一個四位數(shù)，它的4個數(shù)字相乘的積是質(zhì)數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個?

A4個，

B8個

C16個

D32個

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【天字一號解析】

這個題目主要是抓住數(shù)字的特殊性質(zhì)

結(jié)合其概念來作出有利于解答的判斷。

我們發(fā)現(xiàn)四個數(shù)字之和是質(zhì)數(shù)，從質(zhì)數(shù)的概念除法，質(zhì)數(shù)的約數(shù)只有1和它本身

由此我們可以肯定這四個數(shù)字中只出現(xiàn)2個不同的數(shù)字就是1和一個質(zhì)數(shù)。就是乘積。

可見這四個數(shù)字中有3個1，另外一個是質(zhì)數(shù)個位數(shù)是質(zhì)數(shù)的有，2，3，5，7這四個。

根據(jù)排列組合從四個質(zhì)數(shù)里面選出1個，放入四位數(shù)種的任意一個位置。

可見答案是C4，1×C4，1＝16個

28.一隊法國旅客乘坐汽車去旅游中國長城，要求每輛汽車的旅客人數(shù)相等．起初每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下1人未上車；如果有一輛汽車空著開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各車上．已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有（）名旅客

A、507

B、497人

C、529人

D、485人

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【天字一號解析】

這個題目我覺得就是一個數(shù)字游戲，還是考察的質(zhì)數(shù)概念問題。

還是看情況

情況（1）：每輛車子22人，多出1人

情況（2）：開出1輛車子，剛好平均。

我們看如果開出1輛車子我們還是按照每輛車子22人，那么就多出22＋1＝23人

注意：23人是質(zhì)數(shù)

不能分解因式，所以所以23人如果要能被平均分配到剩下的車子上，說明每輛車子只能再添1人。不能添23人因為車子的最大容量是32人如果再添23人那就是45人超出容量了。

好，分析到這里我們就知道開走1輛車子還剩下23輛剛好每輛1人。所以原來是24輛車子。那么總?cè)藬?shù)就是22×24＋1＝529人

29.如果2斤油可換5斤肉，7斤肉可換12斤魚，10斤魚可換21斤豆，那么27斤豆可換（）油。

A．3斤B．4斤C．5斤D．6斤

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【天字一號解析】

這個題目看上去很好玩，就好像古代尚未有錢幣的時候商品的流通就是通過這樣的等價交換。

我們發(fā)現(xiàn)起始的油換肉。最重又回來了豆換油。形成了一個循環(huán)。

我們可以將兌換左邊的物品放在一起，兌換右邊的物品放在一起就構(gòu)成了一個等式關(guān)系。

如：2×7×10×27＝5×12×21×A，這樣很容易解答出A＝3

答案就是A了

30.若干名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競賽，已知家長和老師共有22人，家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？

A.3B.4C.5D.6

―――――――――――――――――――

【天字一號解析】

這個題目除了總?cè)藬?shù)沒有一個準(zhǔn)確的數(shù)值，而問題確實要求一個確切的數(shù)值，由此我們可以肯定這是一個完全符合極限法的題目，所以的數(shù)值只能有一個數(shù)值滿足。

那么我們就開始按照極限法來假設(shè)。

總?cè)藬?shù)22，

（1）家長比老師多，那么家長至少12人

老師最多10人

（2）媽媽比爸爸多，那么說明媽媽至少7人，爸爸最多5人

（3）女老師比媽媽多2人

那么女老師至少7＋2＝9人，因為老師最多10人。說明男老師最多就是1人，

（4）至少有1名男老師。跟（3）得出的結(jié)論形成交集就是男老師就是1名。

以上情況完全符合假設(shè)推斷。所以爸爸就是5人31.某路公共汽車,包括起點和終點共有15個車站,有一輛車除終點外,每一站上車的乘客中,恰好有一位乘客到以后的每一站下車,為了使每位乘客都有座位,問這輛公共汽車最少要有多少各座位?

A53B54C55D56

――――――――――――

【天字一號解析】

這個題目實際上是尋找何時是峰值，我們按照題目的要求，所有的條件都是選擇最小數(shù)字完成，那么就符合題目的要最少需要安排多少個座位。

題目要求：汽車駛出起始站在后面的每站都有人下車，一直到最后一直站。那說明起始站上車的最少人數(shù)應(yīng)該是14人（確保每站都有一個人下車）

同理要的前面上車的人后面每站都有1人下車，說明第1站上車的人至少是13人。以此類推。第2站是需要12人，第3站需要11人。。。。

我們看車子上面什么時候人數(shù)最多。當(dāng)上車人數(shù)>=下車人數(shù)的時候車子上的人一直在增加。知道相等達(dá)到飽和。

我們看到上車的人數(shù)從起始站開始，下車的人數(shù)也是從起始站開始。列舉一下

起始站（上車）：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0

起始站（下車）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…………..

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)上車人數(shù)＝7的時候下車人數(shù)也是7

達(dá)到最大值

所以答案是

14＋（13－1）＋（12－2）＋（11－3）＋（10－4）＋（9－5）＋（8－6）＝56人

32.自然數(shù)乘1999，末尾6位數(shù)都是9，是哪個數(shù)？（）

A.2001B.2011C.2111D.20001

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【天字一號解析】

此題看上去貌似很復(fù)雜，其實還是我們常見的考察知識點

我們知道這個數(shù)末尾6個數(shù)字全是9，如果這個數(shù)字＋1，那么末尾6個數(shù)字應(yīng)該都是0了

我們根據(jù)平方差公示這個數(shù)的開方應(yīng)該是3個0

A^2-1=(A+1)*(A-1)

因為一個數(shù)字是1999

只能是A－1＝1999

A＝2000

那么另外一個數(shù)字就是A＋1＝2001

選A

33.參加會議的人兩兩都彼此握手，有人統(tǒng)計共握手36次，到會共有（）人。

A.9

B.10

C.11

D.12

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【天字一號解析】每個人握手的次數(shù)是N－1次，N人就握手了N×（N－1）次但是每2個人之間按照上述方法計算重復(fù)了一次。所以要除以2，即公式是N×（N－1）÷2＝36

這樣N＝9

如果不理解。我們還可以這樣考慮

假設(shè)這些人排成一排。第一個人依次向排尾走去。一個一個的握手。第2個人跟著第一個人也是這樣。第一個人是N－1次。第2個人是N－2次第3個人是N－3次

、、、、、、最后第2人是1次，最后一個人不動，所以他主動握手的次數(shù)是0次。

這樣我們就看出這些人握手的次數(shù)是一個線段法則規(guī)則我在我的45題練習(xí)里面解析了關(guān)于線段法則的運(yùn)用情況

即總握手次數(shù)就是1＋2＋3＋4＋5＋、、、、、、＋N－1

計算公式就是（首項＋尾項）×項數(shù)÷2

當(dāng)然如果是這樣的題目你還可以通過排列組合計算這么多人中任意挑出2人即多少種就有多少次握手：Cn取2＝36

也就是

N×（N－1）÷2?。?6

解得N＝9

這個只適用于比較簡單的握手游戲取2如果C取值大于2則就不要用排列組合了，例如這樣一道例題：

某個班的同學(xué)體育課上玩游戲，大家圍成一個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學(xué)有（）人

A、16B、17C、18D、19

【天使在唱歌解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的對角線的原理在解決此題。按照排列組合假設(shè)總數(shù)為X人則Cx取3＝152但是在計算X時卻是相當(dāng)?shù)穆闊?。我們仔?xì)來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x－3次手。每個人都是這樣。則總共握了x×（x-3）次手。但是沒2個人之間的握手都重復(fù)計算了1次。則實際的握手次數(shù)是x×（x-3）÷2＝152計算的x＝19人

34.商場的自動扶梯勻速自下而上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上行走2個階梯，女孩每2秒向上走3個階梯。如果男孩用40秒到達(dá)，女孩用50秒到達(dá)，則當(dāng)電梯停止時，可看到的扶梯級有：

A

80

B

100

C120

D140

――――――――――――――

【天字一號解析】

關(guān)于電梯問題實際上也是一種行程問題，而不是我們所理解的“牛吃草”問題：但跟行程問題卻又很大的不同！下面就來說說其不同之處！

行程問題里面我們常見的有2種

一種是相遇問題：同時想向而行！何時相遇的行程問題。

一種是追擊問題：是一個人在另外一個人的前面，兩個人同方向走。后面的人速度快，前面人速度慢，什么時候能追上的問題。

我們先分析2種模型：

（1）：人的方向跟電梯方向同向

，當(dāng)人在扶梯的底端開始往上走。而扶梯也是自動往上走，方向相同，我們發(fā)現(xiàn)雖然方向相同，但是扶梯是幫助人往同一個方向走的。并且共同走過了扶梯的總級數(shù)，

說明（人的速度＋扶梯的速度）×?xí)r間＝扶梯級數(shù)，這就好比行程問題里面的相遇問題。這不過這里的方向是同向。

（2）：人的方向跟電梯方向反向，人本來是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。行程了反向，人走的路程往往被扶梯同時間內(nèi)出來的級數(shù)抵消一部分。所以人的速度一定要大于扶梯的速度才能到達(dá)頂部。當(dāng)?shù)竭_(dá)頂部的時候，我們不難發(fā)現(xiàn)。其實就是（人的速度－扶梯的速度）×?xí)r間＝扶梯級數(shù)。這就好比行程問題里面的追擊問題，只不過這里的方向是相反！

我們再來分析例題：首先確定是同向。確定為相遇問題

速度和×?xí)r間＝電梯級數(shù)

對于男生：（2＋V電梯）×40

對于女生：（1.5＋V電梯）×50

建立等式關(guān)系：（2＋V電梯）×40＝（1.5＋V電梯）×50

解得V電梯＝0.5則電梯級數(shù)＝2.5×40＝100或者2×50＝100

例如我們在舉例一個反向的例子：

【例題練習(xí)】：商場的自動扶梯勻速自上而下行駛，兩個孩子從下往上走，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒向上行走2個階梯，女孩每2秒向上走3個階梯。如果男孩用50秒到達(dá)，女孩用40秒到達(dá)，則當(dāng)電梯停止時，可看到的扶梯級有：

A

80

B

100

C120

D140

35.有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？

A24B48C32D16

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【天字一號解析】

公式：mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48

公式的由來是通過2個十字交叉法得到的

你假設(shè)交換的部分是a克鹽水

假設(shè)120克的鹽水濃度是P1，80克的鹽水濃度是P2，

交換混合后相同的濃度是P

那么對于120克的鹽水來講建立十字交叉法

120－a（P1）

P－P2

P

a（P2）

P1－P

我們得到（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）

那么對于80克的鹽水來講建立十字交叉法

80－a（P2）

P1－P

P

a（P1）

P－P2

我們得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）

根據(jù)這2個比例的右邊部分我們可以得到

（120－a）：a＝a：（80－a）

化簡得到

a＝120×80/(120+80)

說明跟各自的濃度無關(guān)！

補(bǔ)充方法：

因為2種溶液的混合濃度相等。其實可以看作是先將2種溶液直接混合，在按照比例分開成2部分。所以我們假設(shè)交換了a克

a克相對于120克的溶液剩下部分的比例也就是滿足濃度之間的差值比例

跟原始的參照質(zhì)量也是同一比例。即

(120－a)/a=120/80

a=48克

或者（80－a）/a=80/120

a=48克

36.甲乙兩人各坐一游艇在湖中劃行,甲搖漿10次時乙搖漿8次,而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程,現(xiàn)甲先搖漿4次,則乙搖漿多少次才能追上?

A.14

B.16

C.112

D.124

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【天字一號解析】

這種類型的題目我們首先求出其速度！

甲搖漿10次時乙搖漿8次知道甲乙頻率之比=5：4

而乙搖漿70次,所走的路程等于甲搖漿90次所走的路程則可以得到每漿得距離之比是甲：乙＝7：9

所以，我們來看相同時間內(nèi)甲乙得速度之比，5×7：4×9＝35：36

說明，乙比甲多出1個比例單位

現(xiàn)在甲先劃槳4次，每漿距離是7個單位，乙每漿就是9個單位，所以甲領(lǐng)先乙是4×7＝28個單位

而事實上乙每4漿才能追上36－35＝1個單位，說明28個單位需要28×4＝112漿次追上！選C

37.一個游泳者逆流游泳，在Ａ橋遺失一只空水壺，水壺浮在水面，隨水漂流．游泳者繼續(xù)逆游了１小時到達(dá)Ｄ橋，發(fā)覺水壺遺失，休息了１２分鐘再游回去找尋水壺，又游了１.０５小時后，在Ｂ橋找到了水壺．求Ａ，Ｄ兩橋的距離是Ａ，Ｂ兩橋距離的幾倍．

A．1.5倍

B4/3倍

C2倍

D2.5倍

―――――――――――

【天字一號解析】

B。。。。。A。。。。。。。。。D

從A掉下是逆水行使到D跟水壺的速度差都是靜水速度。時間1小時，從D到B是順?biāo)惺梗畨氐乃俣炔钜彩庆o水速度。所以追上水壺用時也應(yīng)該是1小時。但是因為中間休息了12分鐘,水壺還在飄向B所以才會延長了追上的時間延長了1.05-1=0.05小時

說明：

水壺速度：游泳者的靜水速度＝時間的反比＝0.05小時：12分鐘＝1：4

AD＝1小時的逆水＝（4－1）的水流速度

AB＝（1＋1.05＋0.2）小時的水流速度＝2.25

AD：AB＝3/2.25=4/3

38.機(jī)場上停著10架飛機(jī)，第一架起飛后，每隔4分鐘就有一架飛機(jī)接著起飛，而在第一架飛機(jī)起飛后2分鐘，又有一架飛機(jī)在機(jī)場上降落，以后每隔6分鐘就有一架飛機(jī)在機(jī)場上降落，降落在飛機(jī)場上的飛機(jī)，又依次隔4分鐘在原10架之后起飛。那么，從第一架飛機(jī)起飛之后，經(jīng)過多少分鐘，機(jī)場上第一次沒有飛機(jī)停留？

A104

B108

C112

D116

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【天字一號解析】

這個題目類似于“青蛙跳井”問題，我們不能直接求最終結(jié)果，否則我們會忽略在臨界點狀態(tài)的一些變化。

碰到這種問題首先就是求臨界點是在什么時候發(fā)生，發(fā)生時的狀況怎么樣。這樣才好判斷。

例如“青蛙跳井”問題，10米深的井，青蛙每次跳5米就會下滑4米。問幾次能夠跳上來。這個題目的臨界點就是當(dāng)青蛙最后一次跳5米的時候剛好到井口！也就是說我們只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，這里都是常規(guī)計算（10－5）/(5-4)=5次。最后一次的時候我們就無需考慮下滑了因為已經(jīng)到頂了。

同樣這個題目很多人做出116分鐘，其原因就是犯了這個錯誤。我們必須先求臨界點。

所謂的臨界點就是

當(dāng)機(jī)場剩下1架飛機(jī)的時候

假設(shè)是N分鐘剩下一架飛機(jī)！

N/4+1=(N-2)/6+1+（10-1）

為什么兩邊都＋1那是因為這是植樹問題。從0分鐘開始計算的所以要多加1次

解得N＝104分鐘

所以我們知道104分鐘的時候是臨界點飛機(jī)場只有1架飛機(jī)沒有起飛。

當(dāng)108分鐘的時候，飛機(jī)起飛了。而下一架飛機(jī)到機(jī)場則是在110分鐘的時候，

所以從108～110這段時間是機(jī)場首次出現(xiàn)沒有飛機(jī)的現(xiàn)象！

答案應(yīng)該選B

39.某校參加“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽的選手平均分是75，其中男選手比女選手人數(shù)多百分之八十，而女選手比男選手的平均分高百分之二十，則女選手平均分是多少？

A75

B90

C70

D84

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【天字一號解析】

方法一：

就這個題目你可以建立十字交叉法來解答

假設(shè)男生平均成績是a,女生就是1.2a

男生人數(shù)跟女生人數(shù)之比就是最終之比1.8:1=9:5

男生:a

1.2a-75

(9)

全班平均成績(75)

女生:1.2a

75-a

(5)

根據(jù)交叉法得到的比例(1.2a-75):(75-a)=9:5

解得a=70。女生就是1.2a=84

方法二：

根據(jù)十字交叉法的公式我們發(fā)現(xiàn)，0.2a

是多出來的平均值,這就是兩者的差值.

根據(jù)我們上面衍生出來的公式應(yīng)該=最重比例之和9+5=14再乘以系數(shù)M

0.2a=14M

得

a=70M

因為分?jǐn)?shù)不可能超過100

所以M只能=1,即a=70,女生就是1.2a=84

40.甲車以每小時160千米的速度，乙車以每小時20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當(dāng)甲車追上乙車一次，甲車減速1/3，而乙車則增速1/3。問：在兩車的速度剛好相等的時刻，它們共行駛了多少千米？（）

A.1250

B.940

C.760

D.1310

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【天字一號解析】

像這樣的行程問題，比例法是最佳的解答方法。首先我們確定需要幾次相遇速度相等

我們先來看需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方

N代表了次數(shù)解得N＝3說明第三次相遇即達(dá)到速度相等

第一次相遇前：

開始時速度是160：20＝8：1用時都一樣，則路程之比＝速度之比＝8：1

所以8－1＝1圈對應(yīng)的比例即210所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270

第二次相遇前：

速度比是甲：乙＝4：1用時都一樣，則路程之比＝速度之比＝4：1

所以4－1＝3等于1圈的距離對應(yīng)的比例即210

所以這個階段2人路程之和是210÷3×（4＋1）＝350

第三次相遇前：

速度比是甲：乙＝2：1用時都一樣，則路程之比＝速度之比=2：1

所以2－1＝1對應(yīng)的是1圈的比例即210

所以第3階段2人路程之和是210÷1×（2＋1）＝630

則總路程是270＋350＋630＝1250 41.有一輛自行車，前輪和后輪都是新的，并且可以互換，輪胎在前輪位置可以行駛5000千米，在后輪位置可以行駛3000千米，問使用兩個新輪胎，這輛自行車最多可以行多遠(yuǎn)？

A4250B3000C4000D3750

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【天字一號解析】

這個題目主要是看單位內(nèi)（1千米）的消耗率，前輪是1/5000,后輪是1/3000

單位內(nèi)消耗的總和是1/5000+1/3000＝4/7500,

因為兩個輪子的消耗總量是1＋1＝2，所以可以行使2÷4/7500=3750千米

42.有一類自然數(shù)，從第三個數(shù)字開始，每個數(shù)字都恰好是它前面兩個數(shù)字的和，直到不能寫為止，如257，1459等等，這類數(shù)字有（）個

A、45，B、60，C120，D、無數(shù)

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此題主要把題目理解清楚，“直到不能為止”這個是關(guān)鍵

例如：123，1235，12358，這算一個數(shù)字，就是12358，，123和1235還能繼續(xù)往下寫題目要求不能寫為止，所以不符合題目要求，

不過我們也發(fā)現(xiàn)其實我們只要去看前2位就可以，就能區(qū)別于其他數(shù)字因為前2位決定后面的數(shù)字。

看看前2位的組合

10，11，12，13，。。。。。。17，18，

。。。。。。

60，61，62，63

70，71，72

80，81

90，

可見這是呈現(xiàn)一個等差數(shù)列規(guī)律

個數(shù)為（1＋9）×9÷2＝4543.有一水池，單開A管10小時可注滿，單開B管12小時可注滿，開了兩管5小時后，A管壞了，只有B管繼續(xù)工作，則注滿一池水共用了多少小時？（）

A.8B.9C.6D.10

【天字一號解析】

這個題目我拿出來說，是要引起大家重視的，主要是學(xué)會識別題目設(shè)置的障眼法，

如果我們按部就班的來做，恐怕需要多費(fèi)些時間。所以我們在看完題目可以迅速的做一個思考。

什么思考？

題目問：則注滿一池的水共用多少小時？我們知道乙全程都在參與。所以實際上乙工作了多少小時，就是我們最終要求的結(jié)果。

從工作的情況看，A參與了5小時

則相當(dāng)于5/10=1/2

還剩下1/2

這部分都是乙做的。乙做1/2需要多少時間呢

12×1/2=6小時

答案就是6小時

44.五個人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同。則體重最輕的人最重可能是（）

A80

B82

C84

D86

【天字一號解析】

這個題目跟一道分花的題目是“姊妹”題型！我把這個題目作為例題給大家練習(xí)

就本題來看。題目要求最輕的人最重是多少？

而且5個人的體重各不相同。也就是說，總體重一定的情況下。數(shù)字大的盡可能和數(shù)字小的靠近那樣數(shù)字小的才會相對最重。

只有連續(xù)自然數(shù)滿足這個條件。

我們看，5個人的總重量是423斤，根據(jù)連續(xù)自然數(shù)的特征，423/5=中間數(shù)（平均數(shù)）＝84余數(shù)是3

那么我們知道這5個自然數(shù)的序列是82，83，84，85，86還剩下3斤不可能分配給最小的幾個人否則他們就會跟后面的數(shù)字重復(fù)了所以這3斤應(yīng)該是分配給最重的幾個人，對輕者無影響。答案就是82

選B

例題：現(xiàn)有鮮花21朵分給5人，若每個人分得的鮮花數(shù)目各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（）朵鮮花。

A.7

B.8

C、9

D.10

45.有一項工程，甲、乙、丙三個工程隊每天輪做。原計劃按甲、乙、丙次序輪做，恰好甲用整數(shù)天完成；如果按乙、丙、甲次序輪做，比原計劃多用1/2天完成；如果按丙、甲、乙次序輪做，也比原計劃多用1/2天完成。已知甲單獨(dú)做用10天完成，且三個工程隊的工作效率各不相同，那么這項工程由甲、乙、丙三對合作要多少天可以完成？

A.7

B.19/3

C.209/40

D.40/9

―――――――――――――――

【天字一號解析】

我們先把題目告訴我們的條件分類

（1）甲，乙，丙

甲整數(shù)天

（注意，甲收尾剛好完成）

（2）乙，丙，甲，多用0.5天

（剩余的部分給乙做，也是需要多做0.5天，即丙做.）

（3）丙，甲，乙，多用0.5天。（剩余的部分給丙做，也是需要多做0.5天，即甲做）

甲單獨(dú)做10天完成，甲的工作效率是1/10

看（3）

甲的1/10

給丙做，丙需要1天還得讓甲做半天。所以丙的效率是甲的一半。即為1/20

再看（2），1/10=乙＋1/20×0.5

得到乙的效率是3/40

合作需要1/(1/10+3/40+1/20)=40/9

選D

46.某服裝廠有甲、乙、丙、丁四個生產(chǎn)組，

甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；

乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；

丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；

丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。

現(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子），則7天內(nèi)這四個組最多可以縫制衣服多少套）

A110B115C120D125

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【天字一號解析】

主要我們采用的主要思路是：讓善于做褲子的人做褲子，善于做上衣的人做上衣。這樣才能發(fā)揮各自的長處，保證最后的總數(shù)最大。相等的可以做機(jī)動的補(bǔ)差！進(jìn)行微調(diào)！綜合系數(shù)是（8＋9＋7＋6）：（10＋12＋11＋7）＝3：4

單獨(dú)看4個人的系數(shù)是

4：5

大于綜合系數(shù)

3：4等于綜合系數(shù)

7：11小于綜合系數(shù)

6：7大于綜合系數(shù)

則甲，丁做衣服。丙做褲子。乙機(jī)動

7×（8＋6）＝98

11×7＝77

多出98－77＝21套衣服

機(jī)動乙根據(jù)自己的情況需要一天12＋9套褲子才能補(bǔ)上

9/(12-9)=3

需要各自3天的生產(chǎn)（3天衣服＋3天褲子）＋1天褲子

則答案是衣服98＋3×9＝125

褲子是77＋4×12＝12547.五個瓶子都貼了標(biāo)簽，全部貼錯的可能性有多少種？

A6

B.12

C.26

D44

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【天字一號解析】

首先我們從簡單的1封信開始

1封：不可能貼錯

0種

2封：貼錯的情況是相互交換1種

3封：貼錯的情況是2種

4封：貼錯的情況是9種

5封：貼錯的情況是44種

大家就像記住平方數(shù)一樣記住就可以了，一般如果考試考到也就是查不到在5以內(nèi)的情況。

好我們接著對這些數(shù)字形成的數(shù)列進(jìn)行歸納：0，1，2，9，44

得到了這樣一個遞歸公式：Sn＝n×S(n-1)＋(-1)^n

Sn表示n個貼錯的情況種數(shù)

如S1＝0

S2=2×S1+(-1)^2=1

S3=3×S2+(-1)^3=2

S4=4×S3+(-1)^4=9

S5=5×S4+(-1)^5=44

48.某書店得優(yōu)惠政策,每次買書200元至499.99元優(yōu)惠5％，每次買書500元以上（含500元)優(yōu)惠10％，某顧客買了3次書，如果第一次于第二次合并買比分開買便宜13.5元，如果三次合并買比三次分開買便宜39.4。已知第一次付款是第三次付款得5/8，求第二次買了多少錢書？

A115

B120

C125

D130

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【天字一號解析】

第一次與第二次購書的合價=13.5/5%=270

第三次購書優(yōu)惠=39.4-270*10%=12.4

如果第三次購書原價=12.4/10%=124

則三次購書款=270+124=394，

不符合題意

所以第三次購書款應(yīng)該是200以上的，即已經(jīng)享受優(yōu)惠。

則第三次購書原價=12.4/（10%-5%）=248

第一次書價=248*5/8=155

第二次書價=270-155=115

49.電車公司維修站有７輛電車需要進(jìn)行維修．如果用一名工人維修著７輛車的修復(fù)時間分別為１２．１７．８．１８．２３．３０．１４分鐘．每輛電車每停開一分鐘經(jīng)濟(jì)損失為１１元．現(xiàn)在由３名工人效率相等的維修電車，各自獨(dú)立工作。要使經(jīng)濟(jì)損失減少到最小程度，最少損失多少錢？

Ａ２３２１

Ｂ２１５６

Ｃ１９９１

Ｄ１８５９

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【天字一號解析】

這是一道統(tǒng)籌問題，抓住題目的關(guān)鍵：耗時多的放到最后這樣大家等待時間就少

A：8

17

30

耗時＝8×3＋17×2＋30＝88

B：12

18

耗時12×2＋18＝42

C：14

23

耗時14×2＋23＝51

總耗時＝88＋42＋51＝181

則費(fèi)用是181×11＝1991

50.1^2007+3^2007+5^2007+7^2007+9^2007的值的個位數(shù)是（）

A、2

B、3

C、5

D、7

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【天字一號解析】

這里不再多說給大家介紹一下我總結(jié)的規(guī)律

當(dāng)某2個數(shù)的個位數(shù)之和是10的時候這2個數(shù)字的相同奇數(shù)次方的個位數(shù)和還是10，相同的偶數(shù)次方的個位數(shù)相同。

舉例：4^4跟6^4：4＋6＝10

那么他們的偶數(shù)次方個位數(shù)相同4^4=256

6^6=個位數(shù)也是6

4^5和6^5次方

其個位數(shù)之和是4＋6＝10

此題我們先分組（1，9）（3，7）（5）

根據(jù)上述規(guī)律

其次方數(shù)是2007

奇數(shù)次方。那么其個位數(shù)之和是10＋10＋5＝25

則答案是選C51.甲,乙,丙三個人共解出20道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的12道題,每道題都有人解出.只有一人解出的題叫做難題,只有兩人解出的題叫做中等題,三人解出的題叫做容易題,難題比容易題多（）題?

A、6B、5C、4D、3

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【天使在唱歌解析】

第三題需要結(jié)合文氏圖來理解了，畫圖會很清楚的

/read-htm-tid-9818850.html第14題

我們設(shè)A表示難題，B表示中檔題目，T表示簡單題目

（1）：A＋B＋T＝20

（2）：A＋2B＋3T＝12×3這個式子式文氏圖中必須要記住和理解的

將（1）×2－（2）＝A－T＝4

這就是我們要求的難題比簡單題目多出4

可能很多人都說這個方法太耗時了，的確。在開始使用這樣方法的時候費(fèi)時不少。當(dāng)你完全了解和熟練運(yùn)用：A＋2B＋3T這個公式的時候，這個題目我在第一部分就有說明！

52.甲夫婦邀請乙丙兩對夫婦來家做客，大家隨意圍坐在一個圓桌上用餐。請問每對夫婦相鄰而坐的概率是多大？

A.1/15B.2/15C1/5D.4/15

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【天字一號解析】

這個題目我們必須先掌握一個基礎(chǔ)知識

環(huán)形排列跟直線排列的區(qū)別。我們知道直線排列例如5個人站成一排有多少種方法P55＝120，

但是如果問5個人圍成一圈有多少種方法呢？我們必須注意環(huán)形排列的特別之處，環(huán)形的開始也就是結(jié)束。首尾相連的。所以沒有絕對位置之分，只有相對位置。所以第一個人一般是作為參照物。不參與全排列。所以5個人圍成一圈是P44＝24種方法

再看這個題目。

先看三對夫婦六個人全排列應(yīng)該是P55＝120種

滿足條件的情況：我們我可以先將這三對夫婦捆綁視為3個人那么圍成一桌的全排列是P22＝2種，然后我們再對每對夫婦進(jìn)行調(diào)換位置那就是2*2*2=2^3

所以滿足情況的方法有2×8＝16種

答案是16/120=2/15

53.一個袋里有四種不同顏色的小球，每次摸出兩個，要保證有10次所摸的結(jié)果是一樣的，至少要摸多少次?

A55B87C41D91

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【天字一號解析】

這個題目是一個典型的“抽屜原理”題目！

碰到抽屜原理類型的題目，我們首先需要去尋找什么是抽屜。其次是抽屜的個數(shù)。當(dāng)這些都確定以后。我們可以根據(jù)題目提供的條件對抽屜進(jìn)行極限化分配。

什么是抽屜，題目中告訴我們四種不同顏色的小球任意取2個小球組成的不同組合，這里就是指不同顏色的搭配形成的組合

那么我們看有多少個抽屜（組合）呢

4種顏色的搭配應(yīng)該是分兩種情況

（1）不同顏色的組合：C（4，2）＝6

（2）相同顏色的組合：C（4，1）＝4

很明顯了抽屜（組合）的種數(shù)就是6＋4＝10種

要的10次所摸的結(jié)果一樣。最壞的情況就是每種組合都會摸到最大限度

最大限度就是10－1＝9種

所以答案是9×10＋1＝91選D

54.已知連續(xù)四個自然數(shù)的積是1680,這四個數(shù)的和是（）

A、22B、24C、26D、28

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【天字一號解析】

此