2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷3（全國甲卷文科）含答案

2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷3（全國甲卷文科）一．選擇題（共12小題）1．若復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，則集合（?RA）∩B＝（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|2＜x＜3} C．{x|2＜x≤3} D．?3．已知，，若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列，則b＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣1或14．已知直線y＝x+m與圓O：x2+y2＝4交于A，B兩點，且△AOB為等邊三角形，則m的值為（）A． B． C．±2 D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入N＝2023，則輸出的結(jié)果是（）A．﹣1010 B．1011 C．1012 D．﹣10126．我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1，2，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，如圖所示．一般地．將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方記為S3＝45，那么S9＝（）A．3321 B．361 C．99 D．337．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．8．習(xí)近平總書記多次強調(diào)生態(tài)文明建設(shè)關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來，是事關(guān)實現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標(biāo)；事關(guān)中華民族永續(xù)發(fā)展的大事．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！保S著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識日益增強．某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為3mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.25mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．10 B．11 C．12 D．139．已知數(shù)列{an}滿足2an+1﹣2＝an?an+1，且a1＝3，則a2023＝（）A．3 B． C．﹣2 D．10．設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）＝ex﹣cosx，則不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0的解集為（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣3，+∞） D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）11．在三棱錐P﹣ABC中，側(cè)面PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝BC＝2，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），若f（x）≤f（），f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的取值可以是（）A．3 B．5 C．7 D．9二．填空題（共4小題）13．已知函數(shù)，則f（f（﹣2））＝．14．已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時f（x）＝ex，則f（ln2）＝．15．若函數(shù)存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍為．16．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為“高斯函數(shù)”，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[2.7]＝2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an+2+2an＝3an+1，若bn＝[log2an+1]，Sn為數(shù)列的前n項和，則S2023＝．三．解答題（共7小題）17．《中國詩詞大會》是中央電視臺于2016年推出的大型益智類節(jié)目，中央電視臺為了解該節(jié)目的收視情況，抽查北方與南方各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如莖葉圖所示，但其中一個數(shù)字被污損．（1）若將被污損的數(shù)字視為0～9中10個數(shù)字中的一個，求北方觀眾平均人數(shù)超過南方觀眾平均人數(shù)的概率；（2）該節(jié)目的播出極大激發(fā)了觀眾學(xué)習(xí)詩詞的熱情，現(xiàn)在隨機統(tǒng)計了4位觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間y（單位：小時）與年齡x（單位：歲），并制作了對照表（如表所示）：年齡x20304050每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間y33.53.54由表中數(shù)據(jù)分析，x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，試求線性回歸方程，并預(yù)測年齡為60歲的觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間．參考公式：，．18．如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABCD．（1）證明：BD⊥CC1；（2）若M是棱BC上一動點（含端點），求三棱錐D﹣AMD1的體積．19．已知橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為．點P是橢圓C上不同于頂點的任意一點，射線PF1、PF2分別與橢圓C交于點A、B，△PF1B的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，，求證：λ1+λ2為定值．20．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）?2n+1，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Tn＜m2﹣3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x）＝ax+cosx（0≤x≤π，a∈R）．（1）當(dāng)時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為M、m，求證：．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）過點P（1，2）傾斜角為135°的直線l與曲線C交于M、N兩點，求PM2+PN2的值．23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（1）當(dāng)a＝1，b＝2時，解不等式f（x）＜x+8；（2）若函數(shù)f（x）的最小值是2，證明：．

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)終極押題密卷3（全國甲卷文科）參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．若復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝2i，則z＝＝，故在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點（）位于第二象限．故選：B．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知集合A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，則集合（?RA）∩B＝（）A．{x|3＜x＜4} B．{x|2＜x＜3} C．{x|2＜x≤3} D．?【考點】一元二次不等式及其應(yīng)用；交、并、補集的混合運算．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯．【答案】C【分析】分別求出B，?RA，進(jìn)而求出（?RA）∩B．【解答】解：B＝{x|x2﹣6x+8＜0}＝{x|2＜x＜4}，因為集合A＝{x|x＜1，或x＞3}，所以?RA＝{x|1≤x≤3}，所以（?RA）∩B＝{x|2＜x≤3}．故選：C．【點評】本題考查二次不等式的求法，補集的求法及兩個集合的交集的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．已知，，若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列，則b＝（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣1或1【考點】等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與性質(zhì)，列方程求解即可．【解答】解：因為，，且a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列，所以b2＝ac＝（5+2）（5﹣2）＝25﹣24＝1，所以b＝±1．故選：D．【點評】本題考查了等比數(shù)列的定義與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4．已知直線y＝x+m與圓O：x2+y2＝4交于A，B兩點，且△AOB為等邊三角形，則m的值為（）A． B． C．±2 D．【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】確定圓心到直線的距離為，利用點到直線的距離公式，建立方程，即可求出實數(shù)m的值．【解答】解：由題意，圓心到直線的距離為，∴＝，∴m＝±，故選：D．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生的計算能力，屬基礎(chǔ)題．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入N＝2023，則輸出的結(jié)果是（）A．﹣1010 B．1011 C．1012 D．﹣1012【考點】程序框圖．【專題】計算題．【答案】C【分析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)計算數(shù)列求和即可．【解答】解：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S＝1﹣2+3﹣……﹣2020+2021﹣2022+2023的值，因為S＝1﹣2+3﹣……﹣2020+2021﹣2022+2023＝（1﹣2）+（3﹣4）+……+（2019﹣2020）+（2021﹣2022）+2023＝﹣1011+2023＝1012，所以輸出的結(jié)果為1012．故選：C．【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．6．我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1，2，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對角線的三個數(shù)之和都等于15，如圖所示．一般地．將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形叫做n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方記為S3＝45，那么S9＝（）A．3321 B．361 C．99 D．33【考點】歸納推理．【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法；推理和證明；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，求出Nn的通項公式，然后代入n＝9進(jìn)行計算即可求S9的值．【解答】解：根據(jù)題意，幻方的每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，Nn＝[1+2+3+……+（n2﹣1）+n2]＝×＝，故N9＝＝369，∴S9＝9×369＝3321．故選：A．【點評】本題考查歸納推理，涉及等差數(shù)列的前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．7．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】B【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，判斷當(dāng)x∈（0，1）時函數(shù)值的大小進(jìn)行排除即可求得答案．【解答】解：函數(shù)y＝f（x）＝的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝＝＝f（x），故函數(shù)是偶函數(shù)，故排除選項AC；當(dāng)x∈（0，1）時，y＜0，故排除選項D．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的判斷，考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及排除法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．習(xí)近平總書記多次強調(diào)生態(tài)文明建設(shè)關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來，是事關(guān)實現(xiàn)“兩個一百年”奮斗目標(biāo)；事關(guān)中華民族永續(xù)發(fā)展的大事．“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸福”，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識日益增強．某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為3mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.25mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）A．10 B．11 C．12 D．13【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，推得3×（1﹣20%）n≤0.25，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：設(shè)排放前需要過濾n次，則3×（1﹣20%）n≤0.25，即，故n≥＝﹣＝﹣＝≈﹣≈11.1，∵n∈N*，∴nmin＝12，故要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為12．故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．已知數(shù)列{an}滿足2an+1﹣2＝an?an+1，且a1＝3，則a2023＝（）A．3 B． C．﹣2 D．【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】由已知可得數(shù)列遞推式，求出其前面幾項，可得數(shù)列的周期，由此可求得答案．【解答】解：由題意數(shù)列{an}滿足2an+1﹣2＝an?an+1，則，由a1＝3，得，由此可知數(shù)列{an}的周期為4，故．故選：B．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）＝ex﹣cosx，則不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0的解集為（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣3，+∞） D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合f（x）為偶函數(shù)，化簡不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0得到|2x﹣1|＞|x﹣2|，解之即可得到本題的答案．【解答】解：當(dāng)x≥0時，f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex+sinx，因為x≥0時，ex≥e0＝1，﹣1≤sinx≤1，所以f′（x）＝ex+sinx≥0，可知f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，因為f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，所以f（x）在（﹣∞，0]上為減函數(shù)．因此不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0，即f（2x﹣1）＞f（x﹣2），可得|2x﹣1|＞|x﹣2|，解得x＜﹣1或x＞1，即不等式f（2x﹣1）﹣f（x﹣2）＞0的解集為（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、絕對值不等式的解法等知識，屬于中檔題．11．在三棱錐P﹣ABC中，側(cè)面PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝BC＝2，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為（）A． B． C． D．【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；整體思想；綜合法；球；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】由題意得出三棱錐P﹣ABC外接球的球心一定在過三角形PAB中心（外接圓圓心）G的垂線上，也一定在過三角形ABC的外接圓圓心E（E為直角三角形ABC斜邊AC中點）的垂線上，由此可得外接球圓心、半徑，進(jìn)一步即可求解．【解答】解：因為側(cè)面PAB是等邊三角形，所以三棱錐P﹣ABC外接球的球心一定在過三角形PAB中心（外接圓圓心）G的垂線上，因為平面PAB⊥平面ABC，作GO⊥平面PAB，其中O為三棱錐P﹣ABC外接球的球心，又因為AB⊥BC，所以三棱錐P﹣ABC外接球的球心一定在過三角形ABC的外接圓圓心E（E為直角三角形ABC斜邊AC中點）的垂線上，作OE⊥平面ABC，交AC于E，由題意知，所以三棱錐P﹣ABC外接球的半徑為，所以三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為．故選：C．【點評】本題考查了三棱錐外接球的表面積計算，屬于中檔題．12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），若f（x）≤f（），f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的取值可以是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)可知時，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，結(jié)合，可求出ω＝2k+1，k∈Z，結(jié)合選項，分類討論，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求得ω的值，利用函數(shù)的單調(diào)性確定ω的具體值，即可求得答案．【解答】解：因為，故時，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，因為，可知為f（x）的對稱中心，故，k∈Z，所以T＝＝，k∈Z，故ω＝2k+1，k∈Z；又f（x）在上單調(diào)，故，即T＝≥，所以0＜ω≤12，A中，當(dāng)ω＝3時，f（x）＝sin（3x+φ），時，f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，故，k∈Z，則φ＝2kπ，k∈Z，結(jié)合，可得φ＝0，則f（x）＝sin3x，滿足為f（x）的對稱中心，由，得，由于y＝sinx在上單調(diào)遞減，故f（x）在上單調(diào)遞減，符合題意，所以A正確；B中，當(dāng)ω＝5時，f（x）＝sin（5x+φ），時，f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，故，k∈Z，則，k∈Z，結(jié)合，可得，則，由，得，由于y＝sinx在上不單調(diào)，故f（x）在上不單調(diào)，不合題意，所以B不正確；C中，當(dāng)ω＝7時，f（x）＝sin（7x+φ），時，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，故，k∈Z，則，k∈Z，結(jié)合，φ沒有符合題意的值，不合題意，所以C不正確；D中，當(dāng)ω＝9時，f（x）＝sin（9x+φ），時，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）取到最大值，所以，k∈Z，則φ＝﹣π+2kπ，k∈Z，結(jié)合，φ沒有符合題意的值，不合題意，所以D不正確．故選：A．【點評】本題考查了根據(jù)f（x）＝sin（ωx+φ）的性質(zhì)求解參數(shù)，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）13．已知函數(shù)，則f（f（﹣2））＝4．【考點】函數(shù)的值；對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】4．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式先求f（﹣2），進(jìn)而求解即可．【解答】解：因為，所以f（﹣2）＝1+log2（2﹣（﹣2））＝1+log24＝3，所以f（f（﹣2））＝f（3）＝23﹣1＝22＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了分段函數(shù)中函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．14．已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時f（x）＝ex，則f（ln2）＝．【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f（﹣ln2）的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)x＜0時，f（x）＝ex，而ln2＞0，則﹣ln2＜0，所以，由f（x）是奇函數(shù)，則；故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題．15．若函數(shù)存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f′（x）＝0有2個實數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．【解答】解：f（x）＝x3﹣ax2+x+1，f′（x）＝x2﹣2ax+1，若函數(shù)f（x）在R上存在極值點，即f′（x）＝0有2個實數(shù)根，故Δ＝4a2﹣4＞0，解得：a＞1或a＜﹣1，故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為“高斯函數(shù)”，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[2.7]＝2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an+2+2an＝3an+1，若bn＝[log2an+1]，Sn為數(shù)列的前n項和，則S2023＝．【考點】數(shù)列的求和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．【答案】．【分析】由an+2+2an＝3an+1，可得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an）．利用等比數(shù)列的通項公式可得an+1﹣an，利用累加求和方法可得an，利用“高斯函數(shù)”可得bn，利用裂項求和方法即可得出S2023．【解答】解：由an+2+2an＝3an+1，得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an）．又a2﹣a1＝2，∴數(shù)列{an+1﹣an}構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an+1﹣an＝2n．∴．又∵a1＝1滿足上式，∴．∴．∵2n＜2n+1﹣1＜2n+1，∴，即，∴．故．∴．故答案為：．【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、累加求和方法、“高斯函數(shù)”、裂項求和方法、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三．解答題（共7小題）17．《中國詩詞大會》是中央電視臺于2016年推出的大型益智類節(jié)目，中央電視臺為了解該節(jié)目的收視情況，抽查北方與南方各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如莖葉圖所示，但其中一個數(shù)字被污損．（1）若將被污損的數(shù)字視為0～9中10個數(shù)字中的一個，求北方觀眾平均人數(shù)超過南方觀眾平均人數(shù)的概率；（2）該節(jié)目的播出極大激發(fā)了觀眾學(xué)習(xí)詩詞的熱情，現(xiàn)在隨機統(tǒng)計了4位觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間y（單位：小時）與年齡x（單位：歲），并制作了對照表（如表所示）：年齡x20304050每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間y33.53.54由表中數(shù)據(jù)分析，x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，試求線性回歸方程，并預(yù)測年齡為60歲的觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間．參考公式：，．【考點】線性回歸方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，推出x的范圍，然后求解概率．（2）求出樣本中心坐標(biāo)，求出回歸直線的斜率以及截距，然后求解即可．【解答】解：（1）設(shè)污損的數(shù)字為x，由北方觀眾平均人數(shù)超過南方觀眾平均人數(shù)得，?x＜6，即x＝0，1，2，3，4，5，∴；（2），，∴，又，，∴，∴，∴，∴x＝60時，．答：年齡為60歲的觀眾每周學(xué)習(xí)詩詞的平均時間大約為4.25小時．【點評】本題考查回歸直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．18．如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2AA1＝2A1B1＝2，AA1⊥平面ABCD．（1）證明：BD⊥CC1；（2）若M是棱BC上一動點（含端點），求三棱錐D﹣AMD1的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明BD⊥平面AA1C1C，后可得證線線垂直；（2）由計算即可．【解答】解：（1）證明：如圖，連接AC，A1C1，因為ABCD﹣A1B1C1D1為棱臺，所以A，A1，C1，C四點共面，因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，因為AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又CC1?平面AA1C1C，所以BD⊥CC1；（2）根據(jù)題意可得AD∥BC，則為定值，∵，點D1到平面AMD的距離為A1A＝1，∴．【點評】本題考查線線垂直的證明，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．19．已知橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為．點P是橢圓C上不同于頂點的任意一點，射線PF1、PF2分別與橢圓C交于點A、B，△PF1B的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，，求證：λ1+λ2為定值．【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的性質(zhì)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）；（2）證明過程見解答．【分析】（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)計算即可；（2）設(shè)直線PA的方程為x＝my﹣1，設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)條件可得y0，y1，y2的關(guān)系，再由，計算即可．【解答】解：（1）因為＝|PF1|+|PF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，所以4a＝8，a＝2，由離心率為，得c＝1，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），則，可設(shè)直線PA的方程為x＝my﹣1，其中，聯(lián)立，化簡，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，則，同理可得，．因為，．所以＝＝，所以λ1+λ2是定值．【點評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題．20．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）?2n+1，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Tn＜m2﹣3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）an＝2n．（2）（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【分析】（1）a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）?2n+1，n∈N*，n≥2時，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝2+（n﹣2）?2n，相減化簡即可得出an．（2）bn＝＝﹣，利用裂項求和方法即可得出數(shù)列{bn}的前n項和Tn，根據(jù)Tn＜m2﹣3恒成立，即可得出實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan＝2+（n﹣1）?2n+1，n∈N*，∴n≥2時，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝2+（n﹣2）?2n，相減可得：nan＝2+（n﹣1）?2n+1﹣[2+（n﹣2）?2n]，化為an＝2n．（2）bn＝＝＝﹣，∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＜1，∵Tn＜m2﹣3恒成立，∴1≤m2﹣3，解得m≤﹣2，或m≥2．∴實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、裂項求和方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21．已知函數(shù)f（x）＝ax+cosx（0≤x≤π，a∈R）．（1）當(dāng)時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）恰有兩個極值點，記極大值和極小值分別為M、m，求證：．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)極值點的定義可得方程a﹣sinx＝0有兩個不相等的實根x1，x2（x1＜x2），由正弦函數(shù)圖象可知x1+x2＝π，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)h（x）＝3xsinx+3cosx﹣πsinx，再次利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）min即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為[0，π]，當(dāng)時，，，令或，當(dāng)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；證明：（2）f（x）＝ax+cosx?f′（x）＝a﹣sinx，因為函數(shù)f（x）恰有兩個極值點，所以方程f′（x）＝a﹣sinx＝0有兩個不相等的實根，設(shè)為x1、x2且x1＜x2，當(dāng)0≤x≤π時，函數(shù)y＝sinx圖象關(guān)于直線對稱，則x1+x2＝π，即sinx1＝sinx2＝a，因為0≤x≤π，所以a∈（0，1），當(dāng)x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x2，π）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以x1，x2分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，即M＝f（x1）＝ax1+cosx1，m＝f′（x2）＝ax2+cosx2，于是有2M﹣m＝2（ax1+cosx1）﹣（ax2+cosx2），因為x1+x2＝π，所以x2＝π﹣x1，所以2M﹣m＝3ax1+3cosx1﹣aπ，而sinx1＝a，所以2M﹣m＝3x1sinx1+3cosx1﹣πsinx1，設(shè)，則h′（x）＝（3x﹣π）cosx，令或，當(dāng)時，h（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時，h（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，因此有，即．【點評】在解決類似的問題時，要熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，要掌握極值與極值點的定義，縷清極值點與方程的根之間關(guān)系，善于培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）過點P（1，2）傾斜角為135°的直線l與曲線C交于M、N兩點，求PM2+PN2的值．【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計算題；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先求出曲線C的普通方程為x2+（y﹣2）2＝4，再化成極坐標(biāo)方程；（2）先寫出直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），再將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答．【解答】解（1）依題意，曲線C的普通方程為x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，故x2+y2＝4y，故ρ＝4sinθ，故所求極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ；（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將此參數(shù)方程代入x2+y2﹣4y＝0中，化簡可得t2﹣t﹣3＝0，顯然Δ＞0．設(shè)M，N所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則．∴PM2+PN2＝t12+t22＝（t1+t2）2﹣2t1t2＝8．【點評】本題主要考查參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義解答，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．屬中檔題．23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（1）當(dāng)a＝1，b＝2時，解不等式f（x）＜x+8；（2）若函數(shù)f（x）的最小值是2，證明：．【考點】不等式的證明；絕對值不等式的解法．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；不等式；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）{x|﹣3＜x＜7}（2）證明見解答．【分析】（1）解法一：去掉絕對值符號，求解不等式的解集即可．解法二：化簡函數(shù)為分段函數(shù)，用圖象解不等式f（x）＜x+8的解集．（2）通過f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|結(jié)合函數(shù)的最小值，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解證明即可．【解答】（1）解法一：當(dāng)a＝1，b＝2時，不等式為|x﹣1|+|x+2|＜x+8．當(dāng)x＜﹣2時不等式化為﹣（x﹣1）﹣（x+2）＜x+8得x＞﹣3，故﹣3＜x＜﹣2；當(dāng)﹣2≤x≤1時不等式化為﹣（x﹣1）+（x+2）＜x+8得x＞﹣5．故﹣2≤x≤1；當(dāng)x＞1時不等式化為（x﹣1）+（x+2）＜x+8?x＜7．故1＜x＜7．綜上可知，不等式f（x）＜x+8的解集為{x|﹣3＜x＜7}，解法二：用圖象解，作出f（x）與y＝x+8的圖象：由﹣2x﹣1＝x+8?x＝﹣3，由2x+1＝x+8?x＝7，所以不等式f（x）＜x+8的解集為{x|﹣3＜x＜7}．（2）證明：易知f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，因為f（x）的最小值是2且a＞0，b＞0所以a+b＝2，故（a+2）+（b+2）＝6．所以＝＝（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號）．【點評】本題考查絕對值不等式的解法，不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．

考點卡片1．交、并、補集的混合運算【知識點的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．2．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個實根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點．【解題方法點撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個題的特點是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．3．函數(shù)的圖象與圖象的變換【知識點的認(rèn)識】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線．解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點，然后連線（平滑曲線）．命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．圖象的變換1．利用描點法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等），描點，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換：y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．（2）伸縮變換：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．（3）對稱變換：y＝f（x）關(guān)于x軸對稱?y＝﹣f（x）；y＝f（x）關(guān)于y軸對稱?y＝f（﹣x）；y＝f（x）關(guān)于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折變換：y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．【解題方法點撥】1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．（3）描點法：當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法（1）知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．（2）知式選圖：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．【命題方向】（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．（2）3個關(guān)鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：①正確求出函數(shù)的定義域；②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．（3）3種方法﹣﹣識圖的方法對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．4．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【知識點的認(rèn)識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．5．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識點的認(rèn)識】對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域為R，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視這一個知識點．6．函數(shù)的值【知識點的認(rèn)識】函數(shù)不等同于方程，嚴(yán)格來說函數(shù)的值應(yīng)該說成是函數(shù)的值域．函數(shù)的值域和定義域一樣，都是?？键c，也是易得分的點．其概念為在某一個定義域內(nèi)因變量的取值范圍．【解題方法點撥】求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進(jìn)行比較例題：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函數(shù)在（0，1]單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減∴最大值為：ln1﹣1＝﹣1，無最小值；故值域為（﹣∞，﹣1）【命題方向】函數(shù)的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方法集中，希望同學(xué)們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主．7．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．8．正弦函數(shù)的圖象【知識點的認(rèn)識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ9．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識點的認(rèn)識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．10．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的認(rèn)識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當(dāng)x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當(dāng)x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用+生產(chǎn)費用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x＝，且當(dāng)t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因為當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝7時取等號，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．11．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項公式其實就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數(shù)列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關(guān)鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．12．等比數(shù)列的通項公式【知識點的認(rèn)識】1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．13．?dāng)?shù)列的求和【知識點的認(rèn)識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學(xué)會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．14．?dāng)?shù)列遞推式【知識點的認(rèn)識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．15．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識點的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點撥】若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ）（2分）當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴16．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【知識點的認(rèn)識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．2、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最??；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導(dǎo)）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點．17．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【知識點的認(rèn)識】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點z（a，b）→平面向量．2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點之間的距離．3、復(fù)數(shù)中的解題策略：（1）證明復(fù)數(shù)是實數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．18．復(fù)數(shù)的運算【知識點的認(rèn)識】復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則19．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認(rèn)識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．20．球的體積和表面積【知識點的認(rèn)識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．21．直線與平面垂直【知識點的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．22．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．23．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認(rèn)識】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞b＞0）中心在原點，焦點在x軸上（a＞b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準(zhǔn)線x＝±y＝±24．橢圓的性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1