2024年1月“七省聯(lián)考”考前押題卷3試題+答案

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測(cè)卷03

業(yè)/rJ”,

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng):

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.設(shè)集合/=H（3x-4）（x-5）叫，3={心＜8},則-5=

)

A.(_*5]B.P5

2.設(shè)xeR,則“sinx=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

3.已知非零向量"，B滿足3=(右,1),(a,3)=(,若伍-可人，則向量［在向量』方向上的

投影向量為（）

B1c苧D.b

ab

4.形如」我們稱為“二階行列式”，規(guī)定運(yùn)算d=aLbc，若在復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)/

ca

z1-i

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為Z,其中復(fù)數(shù)Z滿足］+石1=1，則點(diǎn)/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（）

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)

5.已知圓G：X2+/+4X+3=0,圓C2：/+必—8X+12=0,下列直線中不能與圓G，C2同

時(shí)相切的是()_

A.y/3x+3)=0B.拒x-3〉=0

C.x+J35y+8=0D.x—J35y—8=0

6.若函數(shù)/(3)=25畝，0彳一^](0>0)在(0,兀)內(nèi)恰好存在4個(gè)％,使得/(Xo)=l,則。的取

值范圍為（）

7.凈水機(jī)通過分級(jí)過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的P尸棉濾

芯過濾，其中第一級(jí)過濾一般由孔徑為5微米的尸尸棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是

多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層P尸棉濾芯可以過濾

掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒

雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則改棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：坨2。0.30,lg3?0.48）

（）

A.9B.8C.7D.6

8.設(shè)°=1?05],b=sin《，c=,則a,b,c的大小關(guān)系為（）.

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.已知隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布：設(shè)77=24+1,則/的方差。（"）=3

B.數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,11,13的第60百分位數(shù)為9

C.若樣本數(shù)據(jù)芯,%，…,%”的平均數(shù)為2,則3%+2,3%+2,…,3%+2的平均數(shù)為8

D.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是、

10.在正四棱臺(tái)48。。一481G2中，48=3,4瓦=2,44]=友則（）

A.該正四棱臺(tái)的體積為吆旦

6

B.直線44]與底面N8C。所成的角為60°

C,線段4。的長(zhǎng)為10

D.以4為球心，且表面積為6兀的球與底面48。。相切

11.已知雙曲線0=1,直線，：夕=h+加（左/±2）與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)眼過點(diǎn)〃且

與/垂直的直線分別交x軸、y軸于/（%,0）,8（0,九）兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)〃變化時(shí)，點(diǎn)尸（為,匕）之

變化.則下列結(jié)論中正確的是（）

k

12

A.k=m4-4B.y0=—x0

C.P點(diǎn)坐標(biāo)可以是（7,幾）D.有最大值1

12.已知函數(shù)/（x）,g（x）的定義域均為R,它們的導(dǎo)函數(shù)分別為了'⑴，g'（x）,且

〃x）+g（27）=5,g（x）-/（x-4）=3,若g（x+2）是偶函數(shù)，則下列正確的是（）.

A.g'（2）=0

B./(x)的最小正周期為4

C./(x+1)是奇函數(shù)

2024

D.g⑵=5,則￡/(左)=2024

左=]

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.二項(xiàng)式(x-2)(l+x)"的展開式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為-256,則/的系數(shù)為(用數(shù)字作

答).

14.隨機(jī)變量J有3個(gè)不同的取值，且其分布列如下：

4sina4cosa2sin2a

j_j_

Pa

44

則的最小值為.

15.已知數(shù)列｛4｝滿足%+2出+…+2而%,=〃2,記數(shù)列｛%-勿｝的前，項(xiàng)和為邑，若

S“<Ho對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

16.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足)砂=lnx-lny,則J+lny的最小值為.

X

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(2/31

17.在AJLSC中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,sin2+sin25=sinC一——sinsin5sinC.

(1)求c；

(2)若。=2?，a=3b,點(diǎn)〃在邊上，且NACD=NBCD,求力的長(zhǎng).

18.已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S〃，且滿足斗=一4，4=1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2%,"為偶數(shù)

(2)設(shè)數(shù)列｛"｝滿足”="“+2?/__2〃為奇數(shù)，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和七?

,??%+2'

19.如圖，直三棱柱48C-43cl中，AASC為等腰直角三角形，CA=CB,E,尸分別是棱

上的點(diǎn)，平面跳下，平面48及4,〃是48的中點(diǎn).

（1）證明：CM〃平面BE尸；

（2）若4c=4E=2,求平面5ER與平面Z5C所成銳二面角的余弦值.

20.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入

一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四

個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打

開2號(hào)箱之前，主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲

的選擇之外的一個(gè)空箱子.

（1）計(jì)算主持人打開4號(hào)箱的概率；

（2）當(dāng)主持人打開4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還

是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）

21.已知橢圓公土+上-=1,橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)4B,C,D,CDHAB,股與寬相交于P點(diǎn).

164

（1）當(dāng)4皮恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線與灰的斜率之積是否為定

值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；

（2）若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（8,6）,求直線4?的斜率.

22.已知函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=tzx2+x.

(1)當(dāng)。=1時(shí),求證：/(x)Vg(x)；

(2)當(dāng)x>-1時(shí)，/(x)<g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)已矢口加EN+,證明：sin」一+sin---+L+sin—<ln2.

〃+1〃+22n

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測(cè)卷03

業(yè)/rJ”,

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.設(shè)集合/=同（31）卜-5）叫，”{心<8},則如人（）

/<1「4J」3八「4八

A.（-℃,5]B.§,5C.-,4ID.y,4I

【答案】D

【解析]因?yàn)?={x|（3x—4）（x_5）W0}=1,5,3={x|2x<8}=（y,4）,

所以*4]

故選：D.

2.設(shè)xwR,則“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】A

【解析】因?yàn)閟in.2x+cos2x=l可得：

當(dāng)sinx=l時(shí)，cosx=0,充分性成立；

當(dāng)cosx=0時(shí)，sinx=±1,必要性不成立；

所以當(dāng)XER,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知非零向量B滿足3=（石,1）,（a,b）=^,若"可人，則向量3在向量[方向上的

投影向量為（）

A.-bB.-bC,—bD.b

422

【答案】A

【解析】因?yàn)?。一可，。，所以(。一可閨==0,

邛(—軀忖=0,又辦=(百』)，所以同=’(退了+12=2,.?胴=1或同=0(舍去)，

所以Zj=/=i，

a，b717

所以3在加方向上的投影向量為同后力=1比

m4

故選：A

abab

4.形如，我們稱為“二階行列式”，規(guī)定運(yùn)算,=ad-bc,若在復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)4

caca

z1-i

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為二，其中復(fù)數(shù)二滿足，、,=i，則點(diǎn)4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為()

1+211

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)

【答案】A

【解析】由題意可得：r-(l+2i)(l-i)=--(3+i)=i,

貝k=i+(3+i)=3+2i,

所以點(diǎn)/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(3,2).

故選：A.

5.已知圓G：X2+/+4X+3=0,圓。2：*2+F一8X+12=0,下列直線中不能與圓G,G同

時(shí)相切的是()

A.Gr+3y=0B.y/3x-3y=0

C.x+V35v+8=0D.x-V35v-8=0

【答案】D

2222

【解析】由題意知：C1：(x+2)+y=1,C2：(x-4)+y=4,

所以圓G的圓心為(-2,0),半徑為1；圓G的圓心為(4,0),半徑為2,

卜2制

對(duì)于A,圓G的圓心(-2,0)到直線的距離為4==與半.徑相等，故滿足相切條件,

卜閻

d

圓c2的圓心(4,0)到直線的距離為2=底)23,=2，'J華徑相等，故也滿足相切條件，

即直線6x+3y=0是兩圓的一條公切線；

卜2網(wǎng)

對(duì)于B,圓G的圓心(-2,0)到直線的距離為4=I,T=1，與半徑相等，故滿足相切條件,

圓c的圓心（4,0）到直線的距離為辦=㈣232=2，與半徑相等，故也滿足相切條件，

2J

即直線J§x-3y=0是兩圓的一條公切線;

卜2+8|

對(duì)于C,圓G的圓心（-2,0）到直線的距離為&I與半徑相等，故滿足相切條件,

圓的圓心（4,0）到直線的距離為當(dāng)

C2,與半徑相等，故也滿足相切條件,

即直線x+屈y+8=0是兩圓的一條公切線；

,卜2-8|5

對(duì)于D,圓G的圓心（-2,0）到直線的距離為％一M（網(wǎng)2一3，不滿足相切條件,

即直線x—J石了-8=0不可能是兩圓的公切線；

故選：D.

6.若函數(shù)/(x)=2sin(ox-?)(0>O)在(0,冗)內(nèi)恰好存在4個(gè)％,使得/(x0)=l,則。的取

值范圍為()

-199)(1991\1外(79-

A，fB，匕5_|。［于義D.匕,2

【答案】B

/7T|JTJTJT5冗

【解析】令/(x)=2sincox--=1,貝ijox—-=—+2板或ox——二一+2MC,《EZ,

V3)3636

即ox='+2hr,或=—+2kit,keZ

26

7177r5兀19兀9瓦

故S可取一,

2

由于xe(0,7t),則<yxe(O,07t),

1QijrO1QO

要使在（o,冗）內(nèi)恰好存在4個(gè)％,使得〃x0）=l,則＜的（解得

6262

故選：B

7.凈水機(jī)通過分級(jí)過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的尸產(chǎn)棉濾

芯過濾，其中第一級(jí)過濾一般由孔徑為5微米的尸產(chǎn)棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯）構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是

多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過濾

掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒

雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則PP棉濾芯的層數(shù)最少為（參考數(shù)據(jù)：1g2Ho.30,lg3?0.48）

（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【解析】設(shè)經(jīng)過〃層尸尸棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為了，則y=80x[l-g[=8°x[g]，

令80x[g[<2,解得[g)《圭，兩邊取常用對(duì)數(shù)得"Ig^Wlg:，即“Igg21g40

即〃(lg3—Ig2"l+21g2,因?yàn)閘g2no.30,1g3ao.48,

on

所以(0.48-0.30)〃21.60,解得〃上券，因?yàn)椤╡N*,所以〃的最小值為9.

故選：A

-

8.設(shè)4="^^0$^,b=sin,,Q—g5,則a,b,c的大小關(guān)系為().

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】設(shè)N/08=ae[o，W],作出單位圓，與x軸交于A點(diǎn)，則/。,0),

過點(diǎn)A作/C垂直于x軸，交射線。8于點(diǎn)C,連接48,過點(diǎn)3作軸于點(diǎn)D,

由三角函數(shù)定義可知ZC=tana,BD=sina,AB=a'

設(shè)扇形048的面積為d,則邑3C>E>S“BO，即:tana>；sintz,故

因?yàn)?e(0,g]，所以tan!>!>sin!,

J1乙JJJJ

又cos：>0,由tang〉(得sin[>(cos[,即入

令%<0,

則7''(1)=e=l,當(dāng)x<0時(shí)，/,(x)=er-l<0,

故/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

所以/1—gj>/(o)=o,所以

故c>b,

綜上，a<b<c.

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.已知隨機(jī)變量J服從二項(xiàng)分布：J?設(shè)〃=24+1,則〃的方差。(〃)=3

B.數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,11,13的第60百分位數(shù)為9

C.若樣本數(shù)據(jù)看,》2,…,x”的平均數(shù)為2,則3否+2,3%+2,…,3%+2的平均數(shù)為8

D.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是、

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,易知Q(3=8x：x1l-：=(而"2J+1,

所以。⑺=22x0團(tuán)=6,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,共有7個(gè)數(shù)據(jù)，而7x60%=4.2,故第60百分位數(shù)為9,B正確；

對(duì)于C,若樣本數(shù)據(jù)占戶2,…，%的平均數(shù)為2,

則3X1+2,3x?+2,---,3xn+2的平均數(shù)為3x2+2=8,C正確；

對(duì)于D,由古典概型可知：從51個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，

2

每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是五，D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.在正四棱臺(tái)—44Goi中，AB=3,44=2,44]=友貝IJ()

A.該正四棱臺(tái)的體積為吆2

6

B.直線44]與底面N8C。所成的角為60°

c.線段4c的長(zhǎng)為10

D.以4為球心，且表面積為6兀的球與底面48C。相切

【答案】BD

【解析】連接/c,4C,過4作垂足為

因?yàn)?8=3,4及=2,所以ZC=3后，4G=2后，

r-r-|>|3V2—2V2V2I2ATT2V6

所以/A〃TT=----------=——，A.H=JAA：-AH-=—,

22??2

所以該正四棱臺(tái)的體積％=竿X卜1+1AB2.A?+4用）=TR,A錯(cuò)誤.

TAH1

直線44I與底面48。。所成的角為///〃，由COSN4/〃=77=J,所以N&4H=60。，B正

確.

4c=Jc“2+4H2=3V2-—+—=y/14,c錯(cuò)誤

W2JI2,

設(shè)以4為球心，且表面積為67r的球的半徑為22,則4位2=6兀，解得尺=半=477,

所以以4為球心，且表面積為6兀的球與底面,43。相切，D正確.

故選：BD.

11.己知雙曲線x2-1-=i,直線/：y=h+7"(后力±2)與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)〃，過點(diǎn)"且

4

與/垂直的直線分別交X軸、y軸于/(x0,0),3(0,.%)兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)〃變化時(shí)，點(diǎn)尸(%,%)之

變化.則下列結(jié)論中正確的是()

k

727

A.k=111+4B.yQ=-x0

C.尸點(diǎn)坐標(biāo)可以是(7,6)D.廣一〒■有最大值±

【答案】ACD

2v2

Y2_—1

【解析】對(duì)于A,聯(lián)立，4~消y可得(4—產(chǎn))￥一2初戰(zhàn)_7〃2-4=0,

V=Ax+m

直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且左工±2,則A=0,

4^2W/2-4(4-A-2)(-7M2-4)=0,：.k2=m2+4.即選項(xiàng)A正確；

k/〃/—左2-4（k4

對(duì)于B,由方程可得x”=,則y=----+〃?=-------=——,----,---

初mmm\mrn

4\k\5k

則4B的直線方程為y+一二—工X+一,令y=o,X°=——,

rnk\inJm

令X=O,yQ=--9所以為二履0,即B錯(cuò)誤；

m

對(duì)于C,則易知尸（一盤，一若——=y/6,則7〃=--,

\mm）m，6

7

產(chǎn)=高+4=孩，取左=京，_\_5x丹=7,即尸(7,灰)，所以C正確;

m飛

2

in2til_Z?2后2_(.24)(]k2)_-才4+5后2一4

對(duì)于D,可得—5---------2

-25—25k2-25k2~25k2

X。%25F

=一去+白+3T/+9A，當(dāng)且僅當(dāng)立=±五時(shí)'等號(hào)成立，即D正確;

故選：ACD

12.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,它們的導(dǎo)函數(shù)分別為了'(x),g'(x),且

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=3,若g(x+2)是偶函數(shù)，則下列正確的是().

A.g<2)=0

B./(x)的最小正周期為4

C./(x+1)是奇函數(shù)

2024

D.g(2)=5,貝1]Z/(左)=2024

【答案】ABD

【解析】A選項(xiàng)，g(x+2)為偶函數(shù)，故g(-x+2)=g(x+2),

兩邊求導(dǎo)得，-g'(-x+2)=g'(x+2),

令x=0得-g<2)=g<2),解得g，(2)=0,A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,g(-x+2)=g(x+2),

所以/(x)+g(x+2)=5①，

因?yàn)間(*)—/(x—4)=3,所以g(x+2)-/(x—2)=3②,

則①②相減得，/(x)+/(x-2)=2@,

X/(x-2)+/(x-4)=2@,

則③④相減得/(x)—/(x-4)=0,即〃x)=/(x—4),

又—2),故/(x)的最小正周期為4,B正確;

C選項(xiàng)，假如/(x+1)為奇函數(shù)，則/(—x+l)+/(x+l)=0,

當(dāng)x=l時(shí)，可得/(0)+/(2)=0,

但/(X)+/(X-2)=2,當(dāng)x=2可得/(2)+/(0)=2,

顯然不滿足要求，故/(x+1)不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)?(x)+g(2-。=5,所以/(0)+g(2)=5,

又g⑵=5,故/(0)=0,

由B選項(xiàng)得〃x)+/(x—2)=2,故/(2)+〃0)=2,解得/(2)=2,

且/(3)+〃1)=2,

由B選項(xiàng)知/(X)的一個(gè)周期為4,故/(4)=/(0)=0,

所以〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2024

貝(左)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x4=2024,D正確.

k=[

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.二項(xiàng)式(x-2)(l+x)"的展開式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為-256,則f的系數(shù)為(用數(shù)字作

答).

【答案】-48

【解析】令x=l可得二項(xiàng)式(x-2)(1+%)"的所有項(xiàng)系數(shù)和為-20=-256,所以〃=8.

二項(xiàng)式(l+x)8的展開式的通項(xiàng)公式為7；+1=C/，，r=Q,b8,

所以(x-2)(1+x)n的展開式中，x2的系數(shù)為C；-2C；=-48.

故答案為：-48

14.隨機(jī)變量占有3個(gè)不同的取值，且其分布列如下：

44sina4cosa2sin2a

Pa

44

則￡《)的最小值為______,

【答案】[

【解析】依題意知,+工+。=1,則。=工，則￡C)=sini+cosa+sin2。，

442

設(shè)，=sina+cosa=行sin(a+：

,貝Ufe|^_V2,V2J,

故sin2a=(sina+cosa)2-l=t2-1,所以￡(J)=/+%-1=1+；

當(dāng)"-ge[-后，行]時(shí)，E化)取最小值—；，

故答案為：-二

4

15.已知數(shù)列｛為｝滿足%+2%+…+2"%”=n-T,記數(shù)列｛%-勿｝的前〃項(xiàng)和為邑,若

S“<E0對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

…「121T

【答案】［TT何

【解析】由4+2%+…+214=〃-2",

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2,

1121

當(dāng)〃22時(shí)，由q+2a?H----F2'cin=H,2"得a1+2a2~1----1~2〃dn_i=(〃-1),2〃,

兩式相減并化簡(jiǎn)得%=〃+1(〃22),

生也符合上式，所以為=〃+1,

令〃=4〃一切=〃+1一切=（1一，）〃+1,

4+1-4=（1一。（〃+1）+1-[（1一，）〃+1]=1-，為常數(shù)，

所以數(shù)列出｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4=27,

「「Mo2-f+（l7）〃+l1-t23-t

所以S“=---------------XM=--n~+----n，

222

3-t

對(duì)稱軸為石—3—t,

n----=-------

1-t2-2?

由于S“<Sw對(duì)任意的“eN*恒成立，

年<。

21211

所以，，解得二工三示，

9.5<-^<10,51110

〔2-2t

所以》的取值范圍是.

故答案為：

16.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足ye"=lnx-lny,則J+ln）的最小值為—

x

【答案】e-l##-l+e

,AVyvx1m—x

【解析】由yex=lnx—Iny得歹v/=111一,即加工=2ln二=ln二-e>

設(shè)/。）=汨，則y（x）=/In-,=+,

Iy）

當(dāng)/>-1時(shí)，/'⑺>0,所以〃/）在（一1,+8）上單調(diào)遞增.

因?yàn)閄,y均為正實(shí)數(shù)，所以"、=ln—>0,

y

yYY

由/（X）=/In—,可得x=ln_,即y=（x〉o）.

Vy）ye-

1—xY

由y=一；知，當(dāng)Ovxvl時(shí)，y>0,y=不單調(diào)遞增，

ee

當(dāng)時(shí)，y<o,歹二三單調(diào)遞減，所以y=彳￡（o,‘.

eeIe」

e%]]]]

則\-]ny=——blny,O<y?—.g（u]=--\-]nu,0<u<—,

xyeue

則8'3=-4+,=可＜0,所以g(")在［o-］上單調(diào)遞減，

uuuye_

所以g(")mM=gH=e—l,所以：+lny?e—l,即J+ln)的最小值為e-l.

故答案為：e—1

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在445c中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,

sin2A+sin2B=sinC-----sinAsinBsinC.

I3J

(1)求a

(2)若c=2&i，a=3b,點(diǎn)〃在邊熊上，^.ZACD=ZBCD,求切的長(zhǎng).

(2)

【答案】⑴Y1

【解析】(1)由已知借助正弦定理可得:

(26)

sin2A+sin2B=sinC-----sinAsinBsinC=>tz2+62=也—"abslnC,

33

7

2、h

即labcosC二-----absinC，即tanC=—A/3,

3

CG(0,71),故。=—;

3

(2)由余弦定理知/+9/-52=2b,3b6=2,

TT萬

由S“BD+S?CAD=S^ABC知，-I6?CO?Sin々77+-13b-CD-sm-=-1b-3b-sin—2,

33

即CQ=—b=—.

42

18.已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S〃，且滿足S"一a",q=1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2冊(cè)，〃為偶數(shù)

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足6"=1%+2an0不在將，求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和零”.

------1--------2,"為黃致

anan+2

4"+i-44n

【答案】(1)an=n(2)-——-+—

32?+1

〃+1

【解析】(1)因?yàn)閟“=三一%,

“22時(shí)，S“T=2%T，

n

兩式相減得

〃一1

生=2曳=3L*_n

?i'a22'，—1

相乘得。=〃，所以％,=〃（〃22）,

a\

當(dāng)〃=1時(shí)符合上式，

所以4〃二〃；

2\〃為偶數(shù)

(2)b—<774-2n.4大姐，

n----+—^-2,〃為奇數(shù)

、〃ri+2

22(11

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)4=1+―+1——7-2=2一

n〃+2\n〃+2

1

^=22+24+---+22〃+21---1-----1--1----

W[3352w-l2/7+1

4（1—4”）4〃

1-42〃+1

4?i—44〃

=-----H-----.

32w+l

19.如圖，直三棱柱43C-44G中，A45c為等腰直角三角形，CA=CB,E,尸分別是棱

明,。。1上的點(diǎn)，平面3￡歹_1平面48片4,〃是48的中點(diǎn).

（1）證明：CW〃平面AE產(chǎn)；

（2）若ZC=/E=2,求平面麻尸與平面4BC所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）逅

3

【解析】（1）過尸作即_LE3交BE于D,因?yàn)槠矫嫫矫?8與4,

平面AEFI平面4544=3E,

FDu平面BEF,則如J_3E，

.?.尸。_1平面4544，

?.?M"為中點(diǎn)，且。=C3,CMLAB,

又可，平面N5C,CMu平面4C,

/.AA1±CM,又AB,AA^u平面ABBXAi,

48c44,=月，CMJ_平面,

：.CM//FD,CM<Z平面跳下，F(xiàn)Du平面

:.CM//平面BEF.

(2)-.-CMf/DF,

：.可確定一平面CMDF,

CF/IAAX,CP6平面48四4,44u平面43片4

.?.CF〃平面48用4，CFu平面。/。尸，

平面CMDFc平面ABB^=MD,

:.CF//MD,

二四邊形。位。尸為平行四邊形，

AV

:.CF=MD=——=1

2

以C4,CB,CCi為x,y,z軸建系，

則5(0,2,0),E(2,0,2),尸(0,0,1),

設(shè)力=(x,y,二)為平面BEF的法向量，

而=(-20,-1)屈=。-2D，

ni?EF-02x+z=0

則〈一，即〈2,一二。’令x=l，貝仃=T，z=.2,

幣,BF=Q

.-./?=(1,-1,-2)是平面BEF的一個(gè)法向量,

方=(0,0,1)為平面08C的一個(gè)法向量，

由伍小扁|冷

平面BEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為立

3

20.在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為L(zhǎng)2,3,4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入

一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四

個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得.現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打

開2號(hào)箱之前，主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲

的選擇之外的一個(gè)空箱子.

（1）計(jì)算主持人打開4號(hào)箱的概率；

（2）當(dāng)主持人打開4號(hào)箱后，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還

是改選1號(hào)或3號(hào)箱？（以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）

【答案】（1）|（2）甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.

【解析】（1）設(shè)4,4,4,4分別表示1，2,3,4號(hào)箱子里有獎(jiǎng)品，

設(shè)司,功,員,4分別表示主持人打開1,2,3,4號(hào)箱子,

則。=4口4口4，且兩兩互斥.

由題意可知，事件的概率都是:，尸（見4）=；，尸（&4）=}尸（&4）=；，

尸（囪4）=0.

41A111Ai

由全概率公式，得？（4）=\＞（4產(chǎn)回=7-

i=i41/3，/J

（2）在主持人打開4號(hào)箱的條件下，1號(hào)箱、2號(hào)箱、3號(hào)箱里有獎(jiǎng)品的條件概率分別為

\B）d（4自）P（4）P（&4）一3

p（AJJ-p（Bj-P（Bj-8'

*IRP（4）P㈤4）/

r尸⑶-尸⑶-41

尸⑷刀”誓"一⑷”以）一

I7P（Bj尸（見）8

通過概率大小比較，甲應(yīng)該改選1號(hào)或3號(hào)箱.

21.已知橢圓氏二+匕=1,橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)4B,C,D,CD//AB,4）與寬相交于尸點(diǎn).

164

（1）當(dāng)4分恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線/〃與灰的斜率之積是否為定

值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；

（2）若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（8,6）,求直線4?的斜率.

【答案】（1）是定值，定值為!（2）

43

【解析】（1）由題意知，a=4,b=2,所以4（0,2）,5（4,0）,所以心=

2

設(shè)直線5的方程為.y=—gx+/（，w2）,設(shè)。（演,必），C（x2,j2）,

（

X2V21

——+」=1

聯(lián)立直線力與橢圓的方程164,整理得Xa一2氏+2，-8=0,

y=——x+7

I2

由A=4產(chǎn)一4（2產(chǎn)—8）＞0,解得-2亞＜，＜2五，且,工2,

2

則再+工2=21,xxx2=2t-8,

5-2加65-2）（-卜2+/）

所以4k

nADnBC

Xi