高考文數(shù)一輪復(fù)習(xí)課件第四章三角函數(shù)解三角形第八節(jié)解三角形

第八節(jié)解三角形總綱目錄教材研讀2.實(shí)際問題中的常用角考點(diǎn)突破3.解關(guān)于解三角形的應(yīng)用題的一般步驟考點(diǎn)二測(cè)量高度問題考點(diǎn)一測(cè)量距離問題考點(diǎn)三測(cè)量角度問題

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型:測(cè)量距離、高度、角度

問題,計(jì)算面積問題等.教材研讀2.實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在

水平線①上方

的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線②下方

的角叫俯

角(如圖甲).

(2)方向角一般指相對(duì)于正北或正南方向的水平銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.(3)方位角從③正北

方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如點(diǎn)B的

方位角為α(如圖乙).(4)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角.(附:坡度(坡比):坡面的鉛直高度與水平寬度之比)3.解關(guān)于解三角形的應(yīng)用題的一般步驟(1)理解題意,弄清問題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的

關(guān)系;(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題抽象成解三角形問題;(3)根據(jù)題意選用正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解;(4)將所得結(jié)論還原到實(shí)際問題,注意實(shí)際問題中有關(guān)單位、近似計(jì)算

等的要求.

1.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔

A在觀察站C的北偏東20°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方

向上,則燈塔A與燈塔B的距離為

()

A.akmB.

akmC.

akmD.2akmB答案

B在△ABC中,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,∵AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=a2+a2-2a2×

=3a2,∴AB=

a(km),故選B.2.(2015北京東城期末)如圖所示,為了測(cè)量湖泊兩側(cè)A,B間的距離,某同

學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C,然后給出了四種測(cè)量方案:(△ABC

的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c)

①測(cè)量A,C,b;②測(cè)量a,b,C;③測(cè)量A,B,a;④測(cè)量a,b,B.則一定能確定A,B間距離的所有方案的序號(hào)為

()A.①②③

B.②③④C.①③④

D.①②③④2.(2015北京東城期末)如圖所示,為了測(cè)量湖泊兩側(cè)A,B間的距離,某同

學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C,然后給出了四種測(cè)量方案:(△ABC

的角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c)

①測(cè)量A,C,b;②測(cè)量a,b,C;③測(cè)量A,B,a;④測(cè)量a,b,B.則一定能確定A,B間距離的所有方案的序號(hào)為

()A.①②③

B.②③④C.①③④

D.①②③④答案

A對(duì)于①③,由正弦定理可確定A,B間的距離;對(duì)于②,由余弦定

理可確定A,B間的距離;對(duì)于④,不能確定A,B間的距離,故選A.A3.如圖所示,D,C,B三點(diǎn)在地面的同一直線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)

的仰角分別為60°,30°,則A點(diǎn)離地面的高度AB等于

()

A.

B.

C.

a

D.

答案

B因?yàn)椤螪=30°,∠ACB=60°,所以∠CAD=30°,故CA=CD=a,所以AB=asin60°=

.B4.一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°,距燈塔68海

里的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度

為

海里/小時(shí).答案

解析如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

在△PMN中,

=

,∴MN=68×

=34

海里.又由M到N所用的時(shí)間為14-10=4小時(shí),∴此船的航行速度v=

=

海里/小時(shí).5.江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水平面

上,在炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船的俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺(tái)

底部所連的線成30°角,則兩條船相距

m.5.江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水平面

上,在炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船的俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺(tái)

底部所連的線成30°角,則兩條船相距

m.答案10

10

解析由題意畫示意圖,如圖,

OM=AOtan45°=30(m),ON=AOtan30°=

×30=10

(m),在△MON中,由余弦定理得,MN=

=

=10

(m).典例1(1)如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為

75°,30°,此時(shí)氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于

()

A.240(

-1)mB.180(

-1)mC.120(

-1)mD.30(

+1)m考點(diǎn)一測(cè)量距離問題考點(diǎn)突破(2)如圖,某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°的方向上,從城A出發(fā)有一條走向?yàn)槟掀珫|40°的公路,在C處觀測(cè)到距離C處31km的公路上的B處有一輛

汽車正沿公路向A城駛?cè)?行駛了20km后到達(dá)D處,測(cè)得C,D兩處的距離

為21km,這時(shí)此車距離A城

千米.

答案(1)C(2)15解析(1)如圖,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=

=

=60

m,在Rt△ABD中,BD=

=

=

=60(2-

)m,∴BC=CD-BD=60

-60(2-

)=120(

-1)m.

(2)在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km,由余弦定理得cos∠BDC=

=

=-

,所以cos∠ADC=

,所以sin∠ADC=

.在△ACD中,CD=21km,∠CAD=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=

×

+

×

=

.由正弦定理得

=

,所以AD=

×

=15km.方法技巧求解距離問題的一般步驟(1)畫出示意圖,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題;(2)明確所求的距離在哪個(gè)三角形中,有幾個(gè)已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對(duì)于解答題,應(yīng)作答).1-1設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的

距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)間的距離

為

()

A.50

mB.50

mC.25

mD.

mA答案

A由題意,易得B=30°.由正弦定理,得

=

,∴AB=

=

=50

(m).典例2

(2015湖北,15,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西

行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m

后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度

CD=

m.

考點(diǎn)二測(cè)量高度問題100答案100

解析依題意有AB=600m,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由

=

,得

=

,解得CB=300

m,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100

m,則此山的高度CD為100

m.易錯(cuò)警示解決高度問題的注意事項(xiàng)(1)在解決有關(guān)高度的問題時(shí),要理解仰角、俯角的概念.(2)在實(shí)際問題中,可能會(huì)遇到同時(shí)研究空間與平面(地面)的問題,這時(shí)

最好畫兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣處理起來既清楚又

不容易搞錯(cuò).(3)一般是把高度問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題,要注意三角形中的邊角關(guān)

系的應(yīng)用,若是空間的問題,則要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.2-1在200米高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°,則塔高是

()A.

米

B.

米C.200

米

D.200米A答案

A如圖所示,AB為山高,CD為塔高,則由題意知,在Rt△ABC中,

∠BAC=30°,AB=200米.

則AC=

=

(米).在△ACD中,∠CAD=60°-30°=30°,∠ACD=30°,∴∠ADC=120°.由正弦定理得

=

,∴CD=

=

(米).典例3如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇(位于A處)

發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12nmile的水面B處,有藍(lán)方一艘小艇正以每

小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時(shí)14n

mile的速度,沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)

攔截住,求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.

考點(diǎn)三測(cè)量角度問題解析如圖,設(shè)紅方偵察艇在C處攔截住藍(lán)方的小艇,且經(jīng)過的時(shí)間為x

小時(shí),

則AC=14x(nmile),BC=10x(nmile),∠ABC=120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2(負(fù)值舍去).故AC=28nmile,BC=20nmile.根據(jù)正弦定理得

=

,解得sinα=

=

.所以,要使紅方偵察艇在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住藍(lán)方小艇,則所需要的時(shí)

間為2小時(shí),角α的正弦值為

.易錯(cuò)警示解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)(1)明確方向角的含義;(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關(guān)

鍵、最重要的一步;(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正、余弦定理

的綜合運(yùn)用.3-1如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向,相距40海里的

B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南

偏西30°,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線前往

B處救援,求cosθ的值.

解析在△