2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 事件的概率與概型-解析版

事件的概率與概型

【知識(shí)通關(guān)】

通關(guān)一、隨機(jī)事件及其概率

1.事件的相關(guān)概念

(D必然事件：在條件s下，一定會(huì)發(fā)生的事件.

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件.

(3)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

2.頻率與概率

(1)事件的頻率：在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱w

次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)?為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比【例】XXA)=—

n

為事件A出現(xiàn)的頻率。

(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的

頻率0(4)=%會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，則把這個(gè)常數(shù)記作尸(A),稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱

n

為A的概率。

要點(diǎn)詮釋：

(1)頻數(shù)是一個(gè)整數(shù)，其取值范圍為N,因此隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率

力(A)=區(qū)的可能取值介于0與1之間，即OW〉(A)U

n

(2)必然事件M的概率為1,即P(M)=1；不可能事件N的概率為0,即尸(N)=0；隨機(jī)事件

A的概率滿足0<P(A)〈l.

通關(guān)二、概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

1.任何事件的概率都在01之間，即0WP(A)t.必然事件的概率為1,不可能事件的概率

為o.

2.當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí)，P(AUB)=P(A)+P(B).

3.對(duì)立事件的概率之和為1,即若事件A與事件B對(duì)立，則P(A)+P(B)=1.

4.當(dāng)事件A與事件B互相獨(dú)立時(shí)，P(AB)=P(A)P(B).

結(jié)論一、獨(dú)立事件的概率與性

事件42相互獨(dú)立概率計(jì)算公式

A,B同時(shí)發(fā)生P(AB)=P(A)P(B)

A,B同時(shí)不發(fā)生P(AS)=P(A)P(B)=[1-P(A)]-[l-P(B)]

=1-P(A)-P(B)+P⑷P(B)

A,B至少有一個(gè)不發(fā)生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)

A,B至少有一個(gè)發(fā)生

P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=P(A)+尸(B)-P(A)P(B)

A,8恰有一個(gè)發(fā)生

P=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)

19

【例1】已知A,B,C為三個(gè)獨(dú)立事件，若事件A發(fā)生的概率是上，事件B發(fā)生的概率是三,

23

3

事件C發(fā)生的概率是一,求下列事件的概率：

4

(1)事件A,B,C至少發(fā)生一個(gè)；

(2)事件A,B,C只發(fā)生一個(gè)；

(3)事件A,B,C只發(fā)生兩個(gè)；

(4)事件A,B,C至多發(fā)生兩個(gè).

【解析】(1)記“事件A,B,C至少發(fā)生一個(gè)“為司，其對(duì)立事件為A:“事件A,B,C一個(gè)也不發(fā)生”,

-.............11123

從而「(4)=1-尸。)=1-尸6力0=1--*—><—=一.所以事件A,B,C至少發(fā)生一個(gè)的

1123424

概率為2上3.

24

(2)記“事件A,B,C只發(fā)生一個(gè)"為劣，則事件包括三種情況：第一種是只發(fā)生

事件A，事件B,C不發(fā)生(即事件4及C發(fā)生)；第二種是只發(fā)生事件8,事件A,C不發(fā)

生(即事件發(fā)生)；第三種是只發(fā)生事件C,事件A,8不發(fā)生(即事件ZAC發(fā)生)；

而這三種情況是不可能同時(shí)發(fā)生的，即事件4瓦C,A.B.C,ZB.C彼此互斥.根據(jù)互斥事件

的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為

P(A,)=P(A.B.C)+P(A.B.C)+P(A.B.C)=J-+A+J_=l所以A,B,C只發(fā)生一個(gè)的概

2424244

率為J.

4

(3)記“事件A,B,C只發(fā)生兩個(gè)”為A3,則事件A3,包括三種彼此互斥的情況：A.B.C;

A.B.C;A.B.C由互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為P

(A)=P(A,B.C)+P(A.B.C)+P(A.B.C)=2+亙+￡=11所以事件A,B,C只

24242424

發(fā)生兩個(gè)的概率為L(zhǎng)

24

(4)記“事件A,B,C至多發(fā)生兩個(gè)"為則包括彼此互斥的三種情況：事件A,B,

C一個(gè)也不發(fā)生，即X;事件A,B,C只發(fā)生一個(gè)，即A?；事件A,B,C只發(fā)生兩個(gè)，即

心故

P(A4)=P(A1)+P(A2)

P(A3)=J_+g+11=竺=』所以事件A,B,C至多發(fā)生兩個(gè)的概率為』

2424242444

【變式】甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為工和L求：

34

(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率；

(2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率；

(3)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率;

(4)至多1個(gè)人譯出密碼的概率;

(5)至少1個(gè)人譯出密碼的概率.

【解析】記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A,“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B,A,B為相互獨(dú)立

事件，且P(A)=-,P(B)=

34

(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率為：P(AB)=P(A)P(B)=-x-=—.

3412

(2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率為：

.........——111

P(A-B)=P(A)-P(JB)=[1-P(A)]-[l-P(B)]=(1—)x(1—)=-

342

(3)恰有1個(gè)人譯出密碼可以分為兩類(lèi)：甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個(gè)

事件為互斥事件，所以恰有1個(gè)人譯出密碼的概率為:

---11115

P=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x(l——)+(1一一)x-=

343412

(4)“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“有兩個(gè)人譯出密碼”，所以至多1個(gè)人譯出

密碼的概率為：1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1—工x工=U.

3412

(5)“至少1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“兩人未譯出密碼“，所以至少1個(gè)人譯出密

碼的概率為：1一玖N.豆)=1-P(K)P(②=1一=3.

結(jié)論二、條件概率

1.條件概率：事件B在事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率稱為B在A條件下的條

件概率，記為B|A.

2.利用定義計(jì)算，先分別計(jì)算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=^^.

P(A)

3.利用縮小樣本空間法計(jì)算(局限在古典概型內(nèi))，即將原來(lái)的樣本空間。縮小為已知

的事件A,原來(lái)的事件B縮小為AB,利用古典概型計(jì)算概率：P(B|A)=打些

尸(A)

要點(diǎn)詮釋:

P(AB}P(A3)

P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間關(guān)系的應(yīng)用，即P(B|A)=——,P(A|B)=

P(A)P(B)

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A).

【例2】在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取

一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為

【答案】±

99

【解析】設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”，事件8為“第二次取到不合格品”，

4

P(B|A)------

99

【變式】甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑

球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A，4和4表示由甲罐取出的球是紅球，白

球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以3表示由乙罐取出的球是紅球的事件.則下

列結(jié)論中正確的是(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

①P(B)=-；

5

②PCBIA)=*

③事件B與事件A相互獨(dú)立；

④A，4是兩兩互斥的事件;

⑤尸(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA，4，4中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān).

【答案】②④

【解析】易見(jiàn)A],4，4是兩兩互斥的事件，④正確；P(A)=—=-，P(A)=—=-，

102105

15

_x_

P(A)=—;P(B\A.)=P(BAI)=2__L1A,由此知，②正確;

io”尸(A)1=11

2

44/、

尸(例4)=石，尸(04)=打；而尸(B)

1514349

尸尸（&尸）尸（例尸（尸（刃尸尸（例三不

=p（AB）+（&3）+3）=（AA）+4）4）+（A）4）=5x6+x6+Gx7T=

乙1_LJA.IVUXL/■/,

由此知①③⑤不正確。綜上：正確的結(jié)論為：②④

結(jié)論三、古典概型

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

1.古典概型的概率公式P(A尸

基本事件的總數(shù)

2.從集合的觀點(diǎn)看古典概型：從集合的觀點(diǎn)來(lái)看，如果把一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的〃個(gè)等可能

結(jié)果組成一個(gè)集合I,其中每個(gè)結(jié)果都是I的元素。包含m個(gè)結(jié)果的一個(gè)事件就對(duì)應(yīng)于I的某

個(gè)有m個(gè)元素的子集A(每個(gè)基本事件都對(duì)應(yīng)于集合I的某個(gè)m元子集)，所以該事件的概

率是子集A的元素個(gè)數(shù)(記為card(A))與集合I的元素個(gè)數(shù)(card(I))的比值：P(A尸

card(A)m

card(I)n

【例3】從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張,

則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()

A.J-B.-C.AD.-

105105

【答案】D

【解析】從分別寫(xiě)有1，2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張,

基本事件總數(shù)“=5x5=25,抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事

件有：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共有

m=10個(gè)基本事件，所以抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

尸』二.

255

故選D.

【變式】生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取

出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為()

A.-B.-C.-D.-

3555

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)組合的概念，可知:從這5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有情況數(shù)為

恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的所有情況數(shù)為；.2=攀=^.故選8.

結(jié)論四、幾何概型

1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān);

2.與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可

將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,

即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題;

3.與角度有關(guān)的幾何概型，如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示，則

構(gòu)成事件A的區(qū)域角度

其概率的計(jì)算公式為P（A）=

試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域角度

4.與體積有關(guān)的幾何概型，如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則

構(gòu)成事件A的區(qū)域體積

其概率的計(jì)算公式為P（A尸

試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積.

【例4】ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2,BC=1＜。為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一

點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為（）

A.CB.「2C.-D.1--

488

【答案】B

【解析】如圖所示，己知長(zhǎng)方形面積為2,以。為圓心，1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分

2--

（半圓）面積竹,因此取到的點(diǎn)到。的距離大于1的概率尸-（.故選"

【變式】如圖，正方形"CD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分

和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的

概率是（）

B

D

A.C.-D.-

424

【答案】B

【解析】根據(jù)圖像的對(duì)稱性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1,則正方形的邊

￡

2

1江

故選B

長(zhǎng)為2,則黑色部分的面積S=%，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率4-8-

2

結(jié)論五、隨機(jī)模擬

利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形A的面積，解題的依據(jù)是根據(jù)隨機(jī)模擬估計(jì)

隨機(jī)取的點(diǎn)落在A中的頻數(shù)

概率尸（止然后根據(jù)

隨機(jī)取點(diǎn)的總次數(shù)~A)

構(gòu)成事件