專題1.3整式的加減應(yīng)用及綜合問題八大核心考點(diǎn)精講精練-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍 （原卷版）【人教版】

2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題1.3整式的加減應(yīng)用及綜合問題八大核心考點(diǎn)精講精練（知識(shí)梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】1.代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡(jiǎn)，要先化簡(jiǎn)再求值．（3）題型簡(jiǎn)單總結(jié)以下三種：已知條件不化簡(jiǎn)，所給代數(shù)式化簡(jiǎn)；已知條件化簡(jiǎn)，所給代數(shù)式不化簡(jiǎn)；已知條件和所給代數(shù)式都要化簡(jiǎn)．2.整式加減的應(yīng)用主要考查的題型有：（1）整體思想在整式加減中的應(yīng)用（2）代數(shù)式求值問題（3）整式加減中的無關(guān)性問題（4）整式的應(yīng)用——面積問題（5）整式的應(yīng)用——銷售問題（6）整式的應(yīng)用——方案比較問題（7）探索規(guī)律——數(shù)字變化問題（8）探索規(guī)律——圖形變化問題【典例剖析】【考點(diǎn)1】整體思想在整式加減中的應(yīng)用【例1】（2020秋?濱海新區(qū)期末）我們知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，類似地，我們把（x+y）看成一個(gè)整體，則4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．請(qǐng)嘗試：（1）把（m﹣n）2看成一個(gè)整體，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的結(jié)果是；（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x-15（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．【變式1.1】（2022秋?香洲區(qū)期中）我們知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，類似地，我們把（x+y）看成一個(gè)整體，則4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．請(qǐng)嘗試：（1）把（m﹣n）2看成一個(gè)整體，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的結(jié)果是．（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x﹣10的值；（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．【變式1.2】（2022秋?張灣區(qū)期中）閱讀材料：“如果代數(shù)式5a+3b的值為﹣4，那么代數(shù)式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”我們可以這樣來解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．把式子5a+3b＝﹣4兩邊同乘以2，得10a+6b＝﹣8．仿照上面的解題方法，完成下面的問題：（1）已知a2+a＝0，求2a2+2a+2017的值；（2）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣a+b+5的值；【變式1.3】（2022秋?石阡縣期中）[閱讀材料]我們知道，4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，類似地，我們把（a+b）看成一個(gè)整體，則4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．“整體思想”是解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．[嘗試應(yīng)用]（1）把（a﹣b）2看成一個(gè)整體，將3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2合并同類項(xiàng)，結(jié)果是；（2）已知x2+2y＝5，求3x2+6y﹣21的值；[拓展探索]（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣c）﹣（2b﹣d）的值．【考點(diǎn)2】代數(shù)式求值問題【例2】（2020秋?平山縣期中）已知a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，試求a2+2ab+b2與a2﹣b2的值．【變式2.1】通過計(jì)算填寫下表．a(chǎn)2-1﹣1a2+（a+1a請(qǐng)你根據(jù)上表，直接寫出a2+1a2與（a+1a）【變式2.2】請(qǐng)根據(jù)圖示的對(duì)話，解答下列問題．我不小心把老師布置的作業(yè)題弄丟了，只記得式子是8﹣a+b﹣c．我告訴你，a的相反數(shù)是3，b的絕對(duì)值是7，c與b的和是﹣8．（1）求a，b的值；（2）求8﹣a+b﹣c的值．【變式2.3】（2022秋?南開區(qū)期中）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．（Ⅰ）化簡(jiǎn)：2A﹣B；（Ⅱ）若x+y=67，xy＝﹣1，求2A﹣3【考點(diǎn)3】整式加減中的無關(guān)性問題【例3】（2019秋?黃岡期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2．（1）化簡(jiǎn)4A﹣（3A﹣2B）；（2）若（1）中式子的值與a的取值無關(guān)，求b的值．【變式3.1】（2022秋?東港區(qū)校級(jí)期中）有這樣一道題：當(dāng)a＝2，b＝﹣2時(shí)，求多項(xiàng)式3a3b3-12a2【變式3.2】（2022秋?丹徒區(qū)期中）已知：A＝x2+2x﹣1，B＝3x2﹣2ax+1．（1）當(dāng)x＝1，a＝﹣3時(shí)，求B的值；（2）用含a，x的代數(shù)式表示3A﹣B；（3）若3A﹣B的值與x無關(guān)，求a的值．【變式3.3】（2022秋?石阡縣期中）已知M＝x2﹣ax﹣1，N＝3x2﹣2ax﹣2x﹣1．（1）求N﹣（N﹣2M）；（2）若多項(xiàng)式3M﹣N的值與字母x的取值無關(guān)，求a的值．【考點(diǎn)4】整式的應(yīng)用——面積問題【例4】（2018秋?曲陽(yáng)縣期末）將7張相同的小長(zhǎng)方形紙片（如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊的放在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個(gè)長(zhǎng)方形，面積分別為S1，S2，已知小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為a，寬為b，且a＞b（1）當(dāng)a＝9，b＝2，AD＝30時(shí)，請(qǐng)求：①長(zhǎng)方形ABCD的面積；②S2﹣S1的值．當(dāng)AD＝30時(shí)，請(qǐng)用含a，b的式子表示S2﹣S1的值．【變式4.1】（2022秋?社旗縣期中）某校開展了豐富多樣的勞動(dòng)實(shí)踐課．八（1）班在邊長(zhǎng)為a米的正方形空地的四角均留出一塊邊長(zhǎng)為b米的正方形空地種植蘿卜，其余的地方種植白菜．（1）先畫出本題的示意圖．（2）用含a、b的代數(shù)式表示種植白菜的面積．（3）當(dāng)a＝6.4米、b＝1.8米時(shí)，計(jì)算種植白菜的面積．【變式4.2】（2022秋?歷下區(qū)期中）小磊房間窗戶的裝飾物如圖陰影部分所示，它們由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓組成（單位：米）．（1）請(qǐng)用字母表示裝飾物的面積（結(jié)果保留π）：；（2）請(qǐng)用字母表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的部分面積（結(jié)果保留π）：；（3）若a=23，b＝2時(shí)，請(qǐng)求出窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積（π取【變式4.3】（2022秋?高港區(qū)期中）如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片剪去兩個(gè)小矩形，得到一個(gè)“5”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個(gè)小矩形拼成一個(gè)新的矩形，如圖3所示．（1）用含a、b的代數(shù)式表示新矩形的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)a＝4，b＝1時(shí)，求新矩形的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)5】整式的應(yīng)用——銷售問題【例5】（2020秋?岐山縣期中）某商店銷售一種商品，每件成本a元，每件先按成本增加b元定出售價(jià)，銷售了20件．后來由于庫(kù)存積壓，在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)20%出售，又銷售了50件．請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示．（1）該商店銷售70件這種商品的總銷售額為多少元？（2）銷售70件這種商品，該商店共盈利多少元？【變式5.1】（2022秋?鹽城期中）隨著北京冬奧會(huì)周邊“冰墩墩”不斷售罄，某玩具加工廠打算緊急招聘了80名工人進(jìn)行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分為普通款和升級(jí)款兩種款式，普通工人每人每天可以生產(chǎn)2件普通款或1件升級(jí)款，根據(jù)市場(chǎng)行情，普通款每件利潤(rùn)為150元，升級(jí)款每件利潤(rùn)為350元，設(shè)每天生產(chǎn)升級(jí)款x件．（1）根據(jù)信息填表：產(chǎn)品種類每天工人數(shù)（人）每天產(chǎn)量（件）普通款升級(jí)款（2）當(dāng)x＝30時(shí)，工廠每日的利潤(rùn)可達(dá)到多少元？【變式5.2】（2022秋?長(zhǎng)汀縣期中）某農(nóng)戶去年承包荒山若干畝，投資17800元改造后，種果樹2000棵．今年水果總產(chǎn)量為18000千克，此水果在市場(chǎng)上每千克售a元，在果園每千克售b元（b＜a）．該農(nóng)戶將水果拉到市場(chǎng)出售平均每天出售2000千克，需8人幫忙，每人每天付工資100元，農(nóng)用車運(yùn)費(fèi)及其他各項(xiàng)稅費(fèi)平均每天400元．（1）分別用a，b表示兩種方式出售水果的收入？（2）若a＝2.6，b＝2.1，且兩種出售水果方式都在相同的時(shí)間內(nèi)售完全部水果，請(qǐng)你通過計(jì)算說明選擇哪種出售方式較好．（3）該農(nóng)戶加強(qiáng)果園管理，力爭(zhēng)到明年純收入達(dá)到25000元，那么純收入增長(zhǎng)率是多少？（純收入＝總收入﹣總支出，該農(nóng)戶采用了（2）中較好的出售方式出售）【變式5.3】（2022秋?青云譜區(qū)期中）某超市在雙十一期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：一次性購(gòu)物優(yōu)惠辦法少于200元不予優(yōu)惠低于500元但不低于200元八折優(yōu)惠500元或超過500元其中500元部分給予八折優(yōu)惠，超過500元部分給予七折優(yōu)惠（1）若王老師一次性購(gòu)物600元，他實(shí)際付款元．若王老師實(shí)際付款160元，那么王老師一次性購(gòu)物可能是元；（2）若顧客在該超市一次性購(gòu)物x元，當(dāng)x小于500元但不小于200時(shí)，他實(shí)際付款元，當(dāng)x大于或等于500元時(shí)，他實(shí)際付款元（用含x的代數(shù)式表示并化簡(jiǎn)）；（3）如果王老師有兩天去超市購(gòu)物原價(jià)合計(jì)900元，第一天購(gòu)物的原價(jià)為a元（200＜a＜300），用含a的代數(shù)式表示這兩天購(gòu)物王老師實(shí)際一共付款多少元？當(dāng)a＝250元時(shí)，王老師兩天一共節(jié)省了多少元？【考點(diǎn)6】整式的應(yīng)用——方案比較問題【例6】（2019秋?南召縣期末）某電器商銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺(tái)定價(jià)800元，電磁爐每臺(tái)定價(jià)200元．“十一”期間商場(chǎng)決定開展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一臺(tái)微波爐送一臺(tái)電磁爐；方案二：微波爐和電磁爐都按定價(jià)的90%付款．現(xiàn)某客戶要到該賣場(chǎng)購(gòu)買微波爐10臺(tái)，電磁爐x臺(tái)（x＞10）．（1）若該客戶按方案一購(gòu)買，需付款（200x+6000）元．（用含x的代數(shù)式表示）若該客戶按方案二購(gòu)買，需付款（180x+7200）元．（用含x的代數(shù)式表示）（2）若x＝30，通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買較為合算？（3）當(dāng)x＝30時(shí)，你能給出一種更為省錢的購(gòu)買方案嗎？試寫出你的購(gòu)買方法．并計(jì)算需付款多少元？【變式6.1】（2022秋?未央?yún)^(qū)校級(jí)期中）某商場(chǎng)銷售一款運(yùn)動(dòng)鞋和運(yùn)動(dòng)襪，運(yùn)動(dòng)鞋每雙定價(jià)200元，運(yùn)動(dòng)襪每雙定價(jià)40元，商場(chǎng)決定開展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案，方案一：買一雙運(yùn)動(dòng)鞋送一雙運(yùn)動(dòng)襪；方案二：運(yùn)動(dòng)鞋和運(yùn)動(dòng)襪都按定價(jià)的90%付款，現(xiàn)某客戶要到該商場(chǎng)購(gòu)買運(yùn)動(dòng)鞋10雙和運(yùn)動(dòng)襪x雙（x＞10）．（1）若該客戶按方案一購(gòu)買，需付款元；（需化簡(jiǎn)）若該客戶按方案二購(gòu)買，需付款元．（需化簡(jiǎn)）（2）當(dāng)x＝20時(shí)，通過計(jì)算說明上面的兩種購(gòu)買方案哪種省錢？【變式6.2】（2022秋?臨潼區(qū)期中）青少年活動(dòng)中心為了滿足乒乓球社團(tuán)活動(dòng)的需要，決定購(gòu)置某品牌乒乓球拍和乒乓球．以陽(yáng)呼乒乓球拍每副定價(jià)90元，乒乓球每個(gè)定價(jià)20元．現(xiàn)有A、B兩個(gè)體育店出售這種品牌，并提出了各自的優(yōu)惠方案．具體如下：A店乒乓球拍和乒乓球都按定價(jià)的8折付款；B店買一副乒乓球拍送4個(gè)乒乓球．已知該青少年活動(dòng)中心共購(gòu)買乒乓球拍50副，乒乓球x個(gè)（x＞200）．（1）求在A店、B店購(gòu)買各需付多少元錢（用含x的式子表示）？（2）當(dāng)x＝500時(shí)，在哪家購(gòu)買劃算．【變式6.3】（2022秋?黃岡期中）某商店銷售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定價(jià)40元，羽毛球每桶定價(jià)10元，“雙十一”期間商店決定開展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定價(jià)的90%付款．現(xiàn)某客戶要到該商店購(gòu)買羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．（1）若該客戶按方案一、方案二購(gòu)買，分別需付款多少元？（用含x的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)x＝30時(shí)，通過計(jì)算，說明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買較為合算？（3）當(dāng)x＝30時(shí)，你還能給出一種更為省錢的購(gòu)買方案嗎？試寫出你的購(gòu)買方法，并計(jì)算需付款多少元？【考點(diǎn)7】探索規(guī)律——數(shù)字變化問題【例7】（2020秋?蓮湖區(qū)期中）觀察下列等式：11×2=1-12，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：11×2+12×3+（1）猜想并寫出：12020×2021=1（2）直接寫出計(jì)算結(jié)果：11×2+12×3（3）探究并計(jì)算：①11×3②11×3【變式7.1】（2022秋?順德區(qū)校級(jí)期中）定義一種新運(yùn)算“f”：f（n）表示n在運(yùn)算f作用下的結(jié)果．若f（n）＝n2﹣（n﹣1）2表示n在運(yùn)算f作用下的結(jié)果，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：f（1）＝12﹣（t﹣1）2＝1，f（2）＝22﹣（2﹣1）2＝3，f（3）＝32﹣（3﹣1）2＝5，……根據(jù)以上定義完成以下問題：（1）計(jì)算f（20）的值；（2）計(jì)算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（20）的值；（3）計(jì)算1f【變式7.2】（2022秋?龍口市期中）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+2100．首先設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+2100①，則2S＝2+22+23+24+25+…+2101②，②﹣①得S＝2101﹣1，即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1．以上解法，在數(shù)列求和中，我們稱之為“錯(cuò)位相減法”．請(qǐng)你根據(jù)上面的材料，解決下列問題：（1）1+2+22+23+24+…+22000．（2）1+12+（12）2+（12）3+（12）4+…（3）求1+3+32+33+34+…+32022的值．【變式7.3】（2022秋?黃陂區(qū)期中）觀察下列四行數(shù)，回答下面的問題：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…；③3，﹣3，9，﹣15，33，…；④（1）第①行數(shù)的第7個(gè)數(shù)是；（2）設(shè)第①行第n個(gè)數(shù)為a，寫出第②行數(shù)的第n個(gè)數(shù)是（用含a的式子表示）；（3）取每行數(shù)中的第m個(gè)數(shù)，則第①②④行這三個(gè)數(shù)的和能否等于﹣509？如果能，請(qǐng)你求出m的值，如果不能，請(qǐng)說明理由；（4）若第③行連續(xù)三個(gè)數(shù)的和恰為﹣192，直接寫出這三個(gè)數(shù)分別為．【考點(diǎn)8】探索規(guī)律——圖形變化問題【例8】（2019秋?海州區(qū)校級(jí)期中）列代數(shù)式表示（1）某商品售價(jià)為a元，打八折后又降價(jià)20元，則現(xiàn)價(jià)為（16a﹣20）元．（2）如圖，搭一個(gè)三角形需要3根火柴，搭兩個(gè)三角形需要5根火柴，搭三個(gè)三角形需要7根火柴，…，按這個(gè)規(guī)律，搭n個(gè)這樣的三角形的需要火柴棒根數(shù)為2n+1．（3）用代數(shù)式表示：①a與b的差的平方：（a﹣b）2；②a的立方與﹣1的和a3﹣1