專題02 中線四大模型在三角形中的應(yīng)用（能力提升）（原卷版）

專題02中線四大模型在三角形中的應(yīng)用（能力提升）1．直角三角形中有兩條邊的長分別為4，8，則此直角三角形斜邊上的中線長等于（）A．4 B．4 C．4或4 D．4或22．如圖，點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且BE＝BD＝CF，連接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，則線段BE的長為．3．如圖所示，已知四邊形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，且點(diǎn)R從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減少 C．線段EF的長不變 D．△ABP和△CRP的面積和不變4．求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．求證：OB＝AC．證明：延長BO到D，使OD＝OB，連接AD、CD，中間的證明過程排亂了：①∵∠ABC＝90°，②∵OB＝OD，OA＝OC，③∴四邊形ABCD是平行四邊形，④∴四邊形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．則中間證明過程正確的順序是（）A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④5．如圖，AB為⊙O的直徑，CA與⊙O相切于點(diǎn)A，BC交⊙O于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接OE并延長交AC于點(diǎn)F，若BD＝CD，AB＝5，則AF的長為（）A． B． C． D．46．如圖，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A與BC邊的中點(diǎn)F重合，下列結(jié)論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF?DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．矩形ABCD與CEFG，如圖放置，點(diǎn)B、C、E共線，點(diǎn)C、D、G共線，連接AF，取AF的中點(diǎn)H，連接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，則GH＝．8．如圖，在△ABC中，延長CA到點(diǎn)D，使AD＝AC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接DE，并延長DE交BC于點(diǎn)F，已知BC＝4，則BF＝．9．如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，連接BD，△ABD的中線AE的延長線交BC于點(diǎn)F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，則EF的長為．10．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．請根據(jù)上述分析寫出詳細(xì)的證明過程（只需寫一種思路）．11．如圖所示，D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，滿足AE＝BD＝DC，F(xiàn)A＝FE．求∠ADC的度數(shù)．12．（1）如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求證：AD＝AC；（2）如圖2，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，中線BD與AE相交于點(diǎn)P，AP＝BC．求證：PE＝BE．13．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，再證明“△ADC≌△EDB”．（1）探究得出AD的取值范圍是；（2）【問題解決】如圖2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的長．14．如圖，BC為⊙O直徑，AB切⊙O于B點(diǎn)，AC交⊙O于D點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠A＝30°，BC＝4，求陰影部分的面積．15．（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：．證明：（2）問題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．16．如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點(diǎn)，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．17．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．18．我們定義：如圖1，在△ABC中，把AC點(diǎn)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CA'，把BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CB′，連接A′B′．我們稱△A′B′C是△ABC的“旋補(bǔ)交差三角形”，連接AB′、A′B，我們將AB′、A′B所在直線的相交而成的角稱之為△ABC“旋補(bǔ)交差角”，C點(diǎn)到A′B′中點(diǎn)E間的距離成為“旋轉(zhuǎn)中距”．如圖1，∠B′OB即為△ABC“旋補(bǔ)交差角”，CE即為△ABC“旋補(bǔ)中距”．（1）若已知圖1中AB的長度等于4，當(dāng)∠ACB＝90°，則△ABC“旋補(bǔ)交差角”∠B′OB＝90°，“旋補(bǔ)中距”CE長度＝2；（2）若圖1中∠ACB的度數(shù)發(fā)生改變，則△ABC“旋補(bǔ)交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結(jié)論，并直接判斷△ABC“旋補(bǔ)中距”是否也發(fā)生改變；（3）已知圖2中△A′B′C是△ABC“旋補(bǔ)交差三角形”，AB的長度等于4，A′B′長度等于6，問OC是否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由．19．在四邊形ABCD中，∠ABC＝9