重難點(diǎn)01 二次函數(shù)的平移問題 （解析版）

重難點(diǎn)01二次函數(shù)的平移問題技巧技巧方法一．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．二．坐標(biāo)與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標(biāo)變化①向右平移a個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個圖形各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）三、二次函數(shù)中的平移問題主要是點(diǎn)的平移和圖形的平移：針對頂點(diǎn)式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內(nèi)），上加下減”，同時保持a不變。能力拓展能力拓展一、解答題1．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)．(1)函數(shù)圖象過點(diǎn)，①當(dāng)時，求該函數(shù)的表達(dá)式；②證明該函數(shù)的必過點(diǎn)；(2)平移該函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)始終在直線上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)①；②見解析，(2)小于等于【分析】（1）把點(diǎn)代入，即可求解；②把點(diǎn)代入得到該函數(shù)的表達(dá)式為，再把代入，即可求證；（2）設(shè)平移后所得拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，根據(jù)頂點(diǎn)始終在直線上，可得平移后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得到平移后所得拋物線的解析式為，進(jìn)而得到平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，即可求解．(1)解∶①當(dāng)時，點(diǎn)，∴，解得：，∴該函數(shù)的表達(dá)式為；②∵函數(shù)圖象過點(diǎn)，∴，解得：，∴該函數(shù)的表達(dá)式為，當(dāng)時，，∴該函數(shù)的必過點(diǎn)；(2)解：設(shè)平移后所得拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，∵頂點(diǎn)始終在直線上，∴平移后所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平移后所得拋物線的解析式為，令，則，∴平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∵，∴平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為小于等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)在軸正半軸上，且．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求這條拋物線的解析式，并直接寫出當(dāng)時的取值范圍；(2)將拋物線先向右平移個單位，再向上平移2個單位，此時點(diǎn)恰好落在線段上，求的值．【答案】(1)，x<1或x>3；(2)2【分析】（1）求出A坐標(biāo)，將A、C坐標(biāo)代入y=ax2+bx即可得，然后把y=-代入得到關(guān)于x的方程，解方程求得x=1或x=3，結(jié)合圖象即可求得；（2）求出AB解析式，用m表示的坐標(biāo)代入即可得答案．(1)解：∵B(0，2)，∴OB=2，∵點(diǎn)A在x軸正半軸上，且OA=2OB，∴A(4，0)．∶將A(4，0)，代入y=ax2+bx得∶解得∴拋物線的表達(dá)式為把y=代入解得x=1或x=3，由圖象可知，當(dāng)y>時，x的取值范圍是x<1或x>3；(2)解：設(shè)直線AB的解析式是y=px+q，將A(4，0)，B(0，2)代入得解得∴直線AB的解析式是y=-x+2，∵拋物線向右平移m個單位，再向上平移2個單位，則其上的點(diǎn)C也向右平移m個單位，再向上平移2個單位，而C(1，)·∴∵在線段AB上，∴，∴m=2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江寧波·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx＋3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，且交線段AB于點(diǎn)C，．(1)求k的值．(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)向左平移拋物線，使得拋物線再次經(jīng)過點(diǎn)C，求平移后拋物線的函數(shù)解析式．【答案】(1)；(2)C的坐標(biāo)為；(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A在拋物線上，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A的坐標(biāo)代入直線的解析式求出k的值即可；（2）直接將直線與拋物線的解析式聯(lián)立，求解即可；（3）根據(jù)平移規(guī)律，設(shè)平移后的解析式為，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．(1)解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，∴解得x=6，∴A（6，0），∵A點(diǎn)在直線y＝kx＋3上，∴，∴．(2)解∶∵直線y＝＋3與交于點(diǎn)C，∴，解得，，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．(3)解：∵，向左平移h個單位，再次經(jīng)過點(diǎn)C．∴過點(diǎn)C（2，2），∴，解得h=2或h=0，∴平移后拋物線函數(shù)解析式．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和直線的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，及交點(diǎn)坐標(biāo)，和拋物線平移規(guī)律，熟練掌握平移規(guī)律及交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江湖州·一模）如圖已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)D，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，連接．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若將該二次函數(shù)圖象向上平移個單位，使平移后每到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求m的取值范圍；(3)若E為y軸上且位于點(diǎn)C下方的一點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，在第四象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以C、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)二次函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-5）(2)(3)當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為時，四邊形CEQP為頂點(diǎn)的四邊形為菱形【分析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，進(jìn)而求得該二次函數(shù)的表達(dá)式，通過配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是沿著對稱軸直線向上平移的，可先求出直線AC的解析式，將代入求出點(diǎn)M在向上平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，列方程求解，即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．(1)解：把點(diǎn)A（3，-1），點(diǎn)C（0，-4）代入二次函數(shù)得：，解得：，∴二次函數(shù)解析式為，配方得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-5）；(2)解：設(shè)直線AC解析式為，把點(diǎn)A（3，-1），點(diǎn)C（0，-4）代入得：，解得：，∴直線AC的解析式為，如圖所示，對稱軸直線與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，把代入直線AC解析式，得：，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，-3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，-1），∴，解得：；(3)解：存在點(diǎn)Q使以C、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由如下：如圖，由題意可知，且，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，直線AB與y軸交于點(diǎn)D設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m-4）則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，）∴AD=CD=3∴為等腰直角三角形∴∴CH=PH=m根據(jù)勾股定理可知∵∴解得（舍）∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為∴當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為時，四邊形CEQP為頂點(diǎn)的四邊形為菱形【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形的平移、菱形的判定及其性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)二模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求的值．(2)延長至點(diǎn)，使得．若將該拋物線向下平移個單位長度，再向右平移個單位長度，平移后的拋物線恰好經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，已知，，求，的值．【答案】(1)2；(2)，【分析】（1）先確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性找到該拋物線的對稱軸，再根據(jù)對稱軸公式代入計算即可；（2）根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)可確定且軸，再由可計算出，，進(jìn)而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）；當(dāng)平移后的拋物線恰好經(jīng)過A、C兩點(diǎn)時，可確定新的對稱軸，計算n的值，然后設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入計算m值即可．(1)解（1）由知，當(dāng)時，，故點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，），∵A（2，），∴對稱軸為直線x==，∴；(2)∵A（2，），B（0，），∴且軸，∵，∴，∴C（3，）．根據(jù)A（2，）和C（3，）確定線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴根據(jù)拋物線的軸對稱，得平移后的拋物線的對稱軸直線x=，∴，設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，把C（3，）代入，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)拋物線上對稱兩點(diǎn)求對稱軸以及函數(shù)圖像平移的知識，解題關(guān)鍵熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．6．（2022·浙江溫州·一模）已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)將拋物線向下平移個單位，使頂點(diǎn)落在直線l上，求m，n的值．【答案】(1)；；(2)3；2【分析】（1）把點(diǎn)代入，求出a的值即可；再運(yùn)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）把C代入可求出m的值；再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，從而可求出平移后押物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可得結(jié)論．(1)將代入得：，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)把C代入得，，設(shè)直線AB的解析式為，將，代入得，解得，∴直線AB的解析式為，∵頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴把代入得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式以及二次函數(shù)圖象的平移，正確理解題意是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江寧波·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求拋物線表達(dá)式，并根據(jù)圖像寫出當(dāng)時x的取值范圍；(2)請寫出一種平移方法，使得平移后拋物線的頂點(diǎn)落在直線上，并求平移后拋物線表達(dá)式．【答案】(1)或；(2)平移方法見解析，【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再令y=0求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖像即可求出當(dāng)y>0時x的取值范圍；（2）把拋物線沿對稱軸向上平移2個單位，頂點(diǎn)就落在直線上；根據(jù)新的頂點(diǎn)即可求出平移后的拋物線解析式．(1)∵A、B在拋物線上，∴將A、B坐標(biāo)代入拋物線得：，解得：，∴拋物線解析式為：，∵拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的解，解方程，得：或，由圖像知：時，圖像在x軸上方，∴或，故時x的取值范圍為：或；(2)①平移方法：把拋物線沿對稱軸向上平移2個單位，頂點(diǎn)就落在直線上；②∵拋物線，∴配成頂點(diǎn)式為：，∴對稱軸為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)，把拋物線沿對稱軸平移到頂點(diǎn)在直線上，此時把代入得：，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，把，代入，得：，∴此時拋物線為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，平移，根據(jù)二次函數(shù)圖像求解不等式解集等知識，綜合性比較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的平移的性質(zhì)．8．（2022·浙江嘉興·中考真題）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)．(1)求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．(3)把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點(diǎn)B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【答案】(1)；(2)的值為4；(3)【分析】（1）把代入即可解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）將拋物線向上平移個單位得到拋物線，頂點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，代入可解得的值為4；（3）把拋物線向右平移個單位得拋物線為，根據(jù)點(diǎn)B(1，y1)，C(3，y2)都在拋物線上，當(dāng)y1＞y2時，可得，即可解得的取值范圍是．(1)解：把代入得：，解得，；答：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)解：拋物線的頂點(diǎn)為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，則拋物線的頂點(diǎn)為，而關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，把代入得：，解得，答：的值為4；(3)解：把拋物線向右平移個單位得到拋物線，拋物線解析式為，點(diǎn)，都在拋物線上，，，y1＞y2，，整理變形得：，，解得，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，對稱及平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是能得出含字母的式子表達(dá)拋物線平移后的解析式．9．（2021·浙江·溫州市第二中學(xué)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+（m+1）x+m．(1)若m＞0，將該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)向右平移4m個單位后，仍落在該函數(shù)圖象上；求m的值(2)若m＜﹣1，當(dāng)2≤x≤4時，y有最大值﹣6，求m的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出拋物線的對稱軸為2m，即可根據(jù)對稱軸方程得到解方程求得m=1；（2）求得拋物線對稱軸為直線x=m+1，由m＜-1得到m+1＜0，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得到當(dāng)x=2時，y=-6，即-2+2（m+1）+m=-6，解得m=-2．(1)解：由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x=2m，∴解得m=1；(2)∵二次函數(shù)，∴開口向下，對稱軸為直線，∵m＜-1，∴m+1＜0，∴當(dāng)x=2時，y=-6，即-2+2（m+1）+m=-6，解得m=-2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，明確題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．10．（2021·浙江·九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）求b，c的值．（2）連結(jié)，，若P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，直線把的面積分成相等的兩部分．①求直線的解析式．②將該拋物線沿著射線的方向平移m個單位，使其頂點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括邊界），求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）將代入中，列方程組求解即可．（2）直線把的面積分成相等的兩部分．則此直線必過AB中點(diǎn)，求出中點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．（3）因?yàn)槠揭?，所以過點(diǎn)Ｄ的直線必然與平行，頂點(diǎn)要在三角形內(nèi)部，畫圖分析即可.【詳解】（1）將代入，得解得：．（2）①取的中點(diǎn)C，∵∴又∵P是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且直線把的面積分成相等的兩部分．∴直線OP必過AB的中點(diǎn)C∴直線OP的表達(dá)式為：②由（1）可得拋物線的一般式為：，將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式如下：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過拋物線的頂點(diǎn)，且與直線平行的直線解析式為：將頂點(diǎn)代入，得，解得∴設(shè)，將，代入，得，解得∴聯(lián)立：，得：，設(shè)直線與直線AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)M，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N，則,拋物線頂點(diǎn)落在的內(nèi)部，即頂點(diǎn)在點(diǎn)M，點(diǎn)N之間，如圖：∴,∴【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的解析式求法，兩點(diǎn)之間的距離公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．11．（2021·浙江金華·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)B

是一次函數(shù)上一點(diǎn)．(1)當(dāng)a＝0時，求頂點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)若a＞0，且一次函數(shù)的圖象與此拋物線沒有交點(diǎn)，請你寫出一個符合條件的一次函數(shù)關(guān)系式（只需寫一個，不必寫出過程）；(3)作直線OC：與一次函數(shù)交于點(diǎn)C．連結(jié)OB，當(dāng)拋物線與△OBC的邊有兩個交點(diǎn)時，求a的取值范圍．【答案】(1)（1，-1）；(2)(答案不唯一)；(3)或【分析】(1)當(dāng)a=0時，y=x2-2x，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)令，根據(jù)y=-2x+b與拋物線沒有交點(diǎn)，由一元二次方程根的判別式可得，再a>0，即可確定b的取值范圍，據(jù)此即可解答；(3)先聯(lián)立成方程組求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，點(diǎn)C在拋物線圖象的下方，再分兩種情況：當(dāng)拋物線與OB、OC相交時；當(dāng)拋物線與OB、BC相交時，分別計算即可分別求得．(1)解：當(dāng)a=0時，y=x2-2x=(x-1)2-1，故此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,-1)；(2)解：令，即x2-2ax+(a2+2a-b)=0，∵y=-2x+b與拋物線沒有交點(diǎn)∴，∴b<2a，∵a>0，∴可取b=-1，則符合條件的一次函數(shù)為y=-2x-1；(3)解：，解得，，，故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)C在拋物線圖象的下方，當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過原點(diǎn)時，得，解得a=0或a=-2，當(dāng)時，此時，函數(shù)圖象如下：此時，拋物線與△OBC的邊有兩個交點(diǎn)；當(dāng)拋物線圖象與直線相切時，如下圖方程有唯一的一個解得，，解得，當(dāng)拋物線圖象與直線相切時，如下圖方程有唯一的一個解，得，，解得，故當(dāng)時，拋物線與△OBC的邊有兩個交點(diǎn)；綜上，故當(dāng)或時，拋物線與△OBC的邊有兩個交點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法確定解析式，一元二次方程根的判別式，用平移的思想分析問題是解決(3)小題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)蔣鎮(zhèn)學(xué)校一模）已知拋物線y=ax2+bx+l經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），（-2，13）.(1)求a，b的值；(2)若（5，y1），（n，y2）是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且y2=12-y1，求n的值；(3)將此拋物線沿x軸平移m（m>0）個單位長度，當(dāng)自變量x的值滿足-1≤x≤3時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為6，求m的值．【答案】(1)a=1，b=-4；(2)n的值為-1；(3)m的值為4或6【分析】（1）把點(diǎn)（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1解方程組即可得到結(jié)論；（2）把x=5代入y=x2-4x+1得到y(tǒng)1=6，于是得到y(tǒng)1=y2，即可得到結(jié)論；（3）求出平移后的解析式及對稱軸，根據(jù)對稱軸與取值范圍的關(guān)系分類討論即可．(1)解：把點(diǎn)（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1得，，解得：；(2)解：由（1）得函數(shù)解析式為y=x2-4x+1，把x=5代入y=x2-4x+1得，y1=6，∴y2=12-y1=6=y1，∵（5，y1），（n，y2）是拋物線上不同的兩點(diǎn)，∴（5，y1）與（n，y2）關(guān)于對稱軸對稱，∵對稱軸為直線x=2，∴n=4-5=-1．(3)解：由（1）得函數(shù)解析式為，∵此拋物線沿x軸平移m（m>0）個單位長度，∴①當(dāng)向右平移時，平移后的解析式為，∴對稱軸為，當(dāng)時，頂點(diǎn)處取最小值，此時最小值為-3，不合題意；當(dāng)即時，對稱軸-1≤x≤3的右邊，此時當(dāng)-1≤x≤3時y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，有最小值6，即，解得，（舍去）；②當(dāng)向左平移時，平移后的解析式為，∴對稱軸為，當(dāng)時，頂點(diǎn)處取最小值，此時最小值為-3，不合題意；當(dāng)，時，當(dāng)-1≤x≤3時y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，有最小值6，即，解得，（舍去），綜上所述，m的值為4或6.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要知識點(diǎn)有通過已知條件求函數(shù)解析式，函數(shù)的增減性，平移等，注意分類討論．13．（2022·浙江杭州·二模）設(shè)二次函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)把二次函數(shù)的圖象向上平移個單位，使圖象與軸無交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)的最小值為0【分析】（1）把代入解析式，即可解得a值，即可求解；（2）先由二次函數(shù)交點(diǎn)式求出拋物線的對稱軸，從而求得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1，則將二次函數(shù)圖象向上平移個單位可得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，因?yàn)閳D象與軸無交點(diǎn)，所以，即可求解；（3）因?yàn)槎魏瘮?shù)的對稱軸為直線，設(shè)，則，．然后把，代入函數(shù)解析式，得．又因?yàn)?，即可求出的最小值?1)解：把，代入得，解得．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．(2)解：由二次函數(shù)的交點(diǎn)式得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，把代入解析式得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1．∴將二次函數(shù)圖象向上平移個單位可得頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∵圖象與軸無交點(diǎn)，∴，∴．(3)解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，不妨設(shè)，∴，．把，代入函數(shù)解析式，得．因?yàn)?，所以的最小值?．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象平移，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵．14．（2022·浙江舟山·中考真題）已知拋物線：（）經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線向上平移m（）個單位得到拋物線．若拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)在拋物線上，求m的值．(3)把拋物線向右平移n（）個單位得到拋物線．已知點(diǎn)，都在拋物線上，若當(dāng)時，都有，求n的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解．（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．（3）根據(jù)平移的性質(zhì)對稱軸為直線，，開口向上，進(jìn)而得到點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，分兩種情況討論：①當(dāng)P，Q同在對稱軸左側(cè)時，②當(dāng)P，Q在對稱軸異側(cè)時，③當(dāng)P，Q同在對稱軸右側(cè)時即可求解．(1)解：將代入得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式：．(2)∵將拋物線向上平移m個單位得到拋物線，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式：．∴頂點(diǎn)，∴它關(guān)于O的對稱點(diǎn)為，將代入拋物線得：，∴．(3)把向右平移n個單位，得：，對稱軸為直線，，開口向上，∵點(diǎn)，，由得：，∴點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，①當(dāng)P，Q同在對稱軸左側(cè)時，，即，∵，∴，②當(dāng)P，Q在對稱軸異側(cè)時，∵，∴，解得：，③當(dāng)P，Q同在對稱軸右側(cè)時，都有（舍去），綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象平移變換，熟練掌握待定系數(shù)法及平移的性質(zhì)結(jié)，巧妙運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江麗水·一模）已知拋物線（其中m是常數(shù)）．(1)若拋物線L與x軸有唯一公共點(diǎn)，求m的值；(2)當(dāng)時，拋物線L上的點(diǎn)P到x軸的距離等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若直線與拋物線L交于A，B兩點(diǎn)，無論m取何值時，線段的長度不變，求k的值及線段的長度．【答案】(1)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；(3)，【分析】（1）將解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，令縱坐標(biāo)為0，求出m的值即可；（2）將m=1代入求出解析式，令y=±1，分別求出x的值，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷頂點(diǎn)在直線上，線段AB的長度要保持不變，則可得k=2，聯(lián)立兩個解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可求出線段AB的長．(1)將拋物線的解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵L與x軸有唯一公共點(diǎn)，即頂點(diǎn)在x軸上，∴，解得．(2)當(dāng)時，拋物線表達(dá)式為，∵點(diǎn)P到x軸的距離為1，∴y=1或-1，令，解得，令，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．(3)因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線的頂點(diǎn)在直線上，線段的長不變，則直線與直線互相平行，所以，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：，則線段AB的長=，故k的值為2，線段AB的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握求二次函數(shù)頂點(diǎn)式，函數(shù)上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離和拋物線與直線交點(diǎn)的方法是解題的關(guān)鍵．16．（2021·浙江湖州·一模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物