2022-2023學(xué)年上海市閔行區(qū)高一下學(xué)期期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.函數(shù)的最小正周期是________________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期是故〖答案〗為：2.若復(fù)數(shù)，則____________.〖答案〗〖解析〗∵復(fù)數(shù)，則，∴.故〖答案〗為：.3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則cosα=______________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，所以，故〖答案〗4.已知，，則角____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以角，故〖答案〗為?.若函數(shù)的最大值為，則____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，且函數(shù)的最大值為，所以，解得，故〖答案〗為：.6.已知，則的值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則．故〖答案〗為：．7.已知向量，的夾角為，，則在方向上的數(shù)量投影為____________.〖答案〗〖解析〗，的夾角為，，則，,在方向上的數(shù)量投影為．故〖答案〗為：．8.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則___________．〖答案〗5.〖解析〗是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，也是此方程的一個(gè)虛根，

∴故〖答案〗為5.9.已知，，與平行，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，又與平行，所以，解得.故〖答案〗為：10.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．若，則____________.〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，不妨設(shè)角的終邊過點(diǎn)，則角的終邊過點(diǎn)，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義可知，若，則，則，故〖答案〗為：．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，，其中取一切正整數(shù).函數(shù)的圖像與直線恰有24個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在各段中的最大值逐漸減小，要使函數(shù)的圖像與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的圖像與直線只在前幾段有交點(diǎn)，依題意當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線的圖象僅有個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，不滿足函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，所以，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：12.已知平面向量、、、、、兩兩互不相等，且.若對(duì)任意的，均滿足，則當(dāng)且時(shí)，的值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以向量、、分別看作以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為正三角形的中心，又因?yàn)?，所以向量、、則是以為起點(diǎn)，正三角形各邊中點(diǎn)為終點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值為，故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確〖答案〗，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為.故選：A14.下列命題中正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于B：若時(shí)，與的方向可能不同，與可能不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若時(shí)，即，所以，得不出，故D錯(cuò)誤．故選：B．15.某同學(xué)將兩角和的正弦、余弦、余切公式錯(cuò)誤地記成如下三個(gè)式子：①②；③；若存在、恰巧能使上述某些式子成立，則能成立的式子最多有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，且，即①符合題意；②當(dāng)，時(shí)，，且，即②符合題意；③因?yàn)椋匀舫闪?，則，即，所以，化簡(jiǎn)得，不符合實(shí)際，即③不符合題意．故選：C．16.在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，當(dāng)由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，點(diǎn)在單位圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是的面積與弓形的面積之和.由于，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以的面積等于的面積(因?yàn)檫@兩個(gè)三角形同底且等高)，故向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形的面積，因?yàn)椋陨刃蔚拿娣e為等于.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，設(shè)向量，（1）試用表示向量與；（2）求的值.解：（1）如圖，因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，則，同理，.（2）由（1）可知，，，又因?yàn)闉榫匦?，所以，則.18.歐拉公式將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，已知復(fù)數(shù)滿足，.（1）求，；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值.解：（1）；（2）且，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，.19.上?；ú?huì)的成功舉辦離不開對(duì)展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為米，，動(dòng)點(diǎn)在扇形的弧上，點(diǎn)在半徑上，且.（1）當(dāng)米時(shí)，求分隔欄的長(zhǎng)；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角的面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的長(zhǎng)為米；（2）因?yàn)?，，設(shè)，，則，在中，由正弦定理得，所有，則，當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為平方米.20.已知函數(shù)，其中，，分別求滿足下列條件的函的〖解析〗式.（1），，.（2），、是的兩個(gè)相異零點(diǎn)，的最小值為，且的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱.（3），，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，，函數(shù)的值域?yàn)?解：（1）依題意，又，所以，所以，，解得，，又，所以，所以.（2）依題意，，所以，所以，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，又關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，又，所以，所以.（3）因?yàn)?，，即區(qū)間的長(zhǎng)度恰為，又，令，，解得，，所以的對(duì)稱軸為，，根據(jù)正弦曲線的性質(zhì)當(dāng)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)時(shí)取得最大值，當(dāng)與恰關(guān)于，對(duì)稱時(shí)取得最小值，①不妨設(shè)當(dāng)，則是上嚴(yán)格增函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，則，即，即，②不妨設(shè)當(dāng)，則，因?yàn)?，所以，則，即，即，綜上所述，即，解得，所以，又，所以，所以或，，因?yàn)椋?，所?21.通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)看作一個(gè)向量，記，則稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運(yùn)算法則，對(duì)于，，、、、、，我們有如下運(yùn)算法則：①；②；③；④.（1）設(shè)，，求和.（2）由平面向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，我們類比得到復(fù)向量的相關(guān)結(jié)論：①②③.試判斷這三個(gè)結(jié)論是否正確，并對(duì)正確的結(jié)論予以證明.（3）若，集合，.對(duì)于任意的，求出滿足條件的，并將此時(shí)的記為，證明對(duì)任意的，不等式恒成立.根據(jù)對(duì)上述問題的解答過程，試寫出一個(gè)一般性的命題（不需要證明）.（1）解：因?yàn)椋?，所以，?）解：設(shè)，，，、、、、、、，則，，故①不成立，，，，因?yàn)?，，所以，故②正確；，，，，設(shè)，，，則，，，所以，故，即③錯(cuò)誤；（3）證明：設(shè)滿足條件的，，、，則，，因?yàn)闉槿我獾膹?fù)數(shù)，不妨設(shè)且，由定義可得，即，則，所以，則，以下證明對(duì)任意的，不等式恒成立，只需計(jì)算的最小值，不妨令，則，則，當(dāng)，時(shí)取得最小值，此時(shí)與之前得到的相同，結(jié)論得證；推廣結(jié)論：對(duì)于任意復(fù)向量，，若對(duì)于任意的，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值.上海市閔行區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.函數(shù)的最小正周期是________________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期是故〖答案〗為：2.若復(fù)數(shù)，則____________.〖答案〗〖解析〗∵復(fù)數(shù)，則，∴.故〖答案〗為：.3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則cosα=______________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，所以，故〖答案〗4.已知，，則角____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以角，故〖答案〗為?.若函數(shù)的最大值為，則____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，且函數(shù)的最大值為，所以，解得，故〖答案〗為：.6.已知，則的值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，則．故〖答案〗為：．7.已知向量，的夾角為，，則在方向上的數(shù)量投影為____________.〖答案〗〖解析〗，的夾角為，，則，,在方向上的數(shù)量投影為．故〖答案〗為：．8.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，則___________．〖答案〗5.〖解析〗是關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，也是此方程的一個(gè)虛根，

∴故〖答案〗為5.9.已知，，與平行，則實(shí)數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，又與平行，所以，解得.故〖答案〗為：10.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．若，則____________.〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，，不妨設(shè)角的終邊過點(diǎn)，則角的終邊過點(diǎn)，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義可知，若，則，則，故〖答案〗為：．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，其中取一切正整數(shù).函數(shù)的圖像與直線恰有24個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在各段中的最大值逐漸減小，要使函數(shù)的圖像與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的圖像與直線只在前幾段有交點(diǎn)，依題意當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線的圖象僅有個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖像與直線必有個(gè)交點(diǎn)，不滿足函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，所以，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：12.已知平面向量、、、、、兩兩互不相等，且.若對(duì)任意的，均滿足，則當(dāng)且時(shí)，的值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以向量、、分別看作以為起點(diǎn)，以為終點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為正三角形的中心，又因?yàn)椋韵蛄俊?、則是以為起點(diǎn)，正三角形各邊中點(diǎn)為終點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的值為，故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確〖答案〗，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：A14.下列命題中正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于B：若時(shí)，與的方向可能不同，與可能不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若時(shí)，即，所以，得不出，故D錯(cuò)誤．故選：B．15.某同學(xué)將兩角和的正弦、余弦、余切公式錯(cuò)誤地記成如下三個(gè)式子：①②；③；若存在、恰巧能使上述某些式子成立，則能成立的式子最多有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，且，即①符合題意；②當(dāng)，時(shí)，，且，即②符合題意；③因?yàn)?，所以若成立，則，即，所以，化簡(jiǎn)得，不符合實(shí)際，即③不符合題意．故選：C．16.在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，當(dāng)由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，點(diǎn)在單位圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是的面積與弓形的面積之和.由于，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以的面積等于的面積(因?yàn)檫@兩個(gè)三角形同底且等高)，故向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形的面積，因?yàn)?，所以扇形的面積為等于.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，設(shè)向量，（1）試用表示向量與；（2）求的值.解：（1）如圖，因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，則，同理，.（2）由（1）可知，，，又因?yàn)闉榫匦?，所以，則.18.歐拉公式將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，已知復(fù)數(shù)滿足，.（1）求，；（2）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值.解：（1）；（2）且，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，.19.上?；ú?huì)的成功舉辦離不開對(duì)展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為米，，動(dòng)點(diǎn)在扇形的弧上，點(diǎn)在半徑上，且.（1）當(dāng)米時(shí)，求分隔欄的長(zhǎng)；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角的面積的最大值.解：（1）因?yàn)椋?，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的長(zhǎng)為米；（2）因?yàn)椋?，設(shè)，，則，在中，由正弦定理得，所有，則，當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為平方米.20.已知函數(shù)，其中，，分別求滿足下列條件的函的〖解析〗式.（1），，.（2），、是的兩個(gè)相異零點(diǎn)，的最小值為，且的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱.（3），，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，，函數(shù)的值域?yàn)?解：（1）依題意，又，所以，所以，，解得，，又，所以，所以.（2）依題意，，所以，所以，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)