決戰(zhàn)2023年高考數(shù)學金榜押題預測卷2（江蘇專用）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1決戰(zhàn)2023年高考數(shù)學金榜押題預測卷2（江蘇專用）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗或所以，所以.故選：B2．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗A〖解析〗對應的點為，對應的點位于第一象限.故選：A.3．某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊，2、5、6班組成聯(lián)盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38〖答案〗C〖解析〗在循環(huán)賽階段，4個小組，每個小組由4支球隊組成，每個球隊都要進行三場比賽，故每組要進行場，4組要進行場；在淘汰賽階段，第一輪：8支球隊，2支一場，則共進行；第二輪：8支球隊，2支一場，共進行場，此時決出分別爭奪冠亞軍、第三四名、第五六名、第七八名的球隊，再分別進行4場，決出冠軍、亞軍、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.綜上，可得共進行場.故選：C.4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是（）A．1 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗是等比數(shù)列

是等差數(shù)列

本題正確選項：.5．已知圓的半徑為，點滿足，，分別是上兩個動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，設(shè)的中點為，在半徑為的圓中，，得，，，即，當與反向共線時，取得最小值；當與同向共線時，取得最大值；即的取值范圍是；故選：D6．已知，則（

）A． B．－1 C． D．〖答案〗C〖解析〗由，所以，則，所以，則，故，由.故選：C7．已知動直線l的方程為，，，O為坐標原點，過點O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由可得，令，由萬能公式可得，，所以直線的方程為①，由題意可知過原點與直線垂直的直線方程為②，可得，即表示點的軌跡為圓心為半徑為3的圓，于是線段長度的取值范圍為，因為，所以線段PQ長度的取值范圍為，故選：B.8．已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點對稱，則（

）A．0 B．3 C．4 D．1〖答案〗D〖解析〗由關(guān)于原點對稱，則關(guān)于軸對稱，且，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，且，又，即，則關(guān)于對稱，綜上，，，則，所以，而，故，又，則關(guān)于對稱，即，所以，則，所以.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．下列說法正確的是（

）A．線性回歸方程對應的直線一定經(jīng)過點B．若隨機變量，則C．方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小D．“事件是互斥事件”是“事件是對立事件”的充分不必要條件〖答案〗ABC〖解析〗選項A:線性回歸方程對應的直線經(jīng)過樣本點的中心.判斷正確；選項B:若隨機變量，則.判斷正確；選項C:方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.判斷正確；選項D:“事件是互斥事件”是“事件是對立事件”的必要不充分條件.選項D判斷錯誤.故選：ABC10．已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．是函數(shù)的一個零點B．函數(shù)的最大值為1C．是函數(shù)的一個極值點D．函數(shù)在處的切線的斜率為〖答案〗ACD〖解析〗因為，當時，，A正確；因為，函數(shù)的最大值為，B錯誤；因為，所以當時，C正確；因為，所以當時，，D正確.故選：ACD.11．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，B．直線與平面所成角的正弦值最大值為C．當平面截直四棱柱所得截面面積為時，D．四面體的體積為定值〖答案〗ABD〖解析〗當時，P為AC的中點，連接，，則，因為平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，A正確.因為四棱柱為直四棱柱，所以，因為平面，平面，所以平面，則點P到平面的距離等于點A到平面的距離.設(shè)點A到平面的距離為，由,可得,即,又設(shè)與交于點，連接，則，則,

，則所以所以設(shè)直線BP與平面所成的角為，，因為點P到平面的距離為定值，則,所以當BP最小，即P為AC的中點時，直線BP與平面所成的角最大，此時，所以，所以B正確.當時，點P為AC上靠近點C的四等分點，過點P作的平行線分別交于連接，由，所以，又所以等腰梯形為平面截四棱柱所得截面圖形.易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面積為，由幾何體的對稱性可知，當平面截直四棱柱所得截面面積為時，或，C錯誤.由上可知，平面，所以點P到平面的距離恒為定值，因為的面積為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選：ABD.12．阿基米德的“平衡法”體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，他用平衡法求得拋物線弓形（拋物線與其弦所在直線圍成的圖形）面積等于此弓形的內(nèi)接三角形（內(nèi)接三角形的頂點C在拋物線上，且在過弦的中點與拋物線對稱軸平行或重合的直線上）面積的.現(xiàn)已知直線與拋物線交于A，B兩點，且A為第一象限的點，E在A處的切線為l，線段的中點為D，直線軸所在的直線交E于點C，下列說法正確的是（

）A．若拋物線弓形面積為8，則其內(nèi)接三角形的面積為6B．切線l的方程為C．若，則弦對應的拋物線弓形面積大于D．若分別取的中點，，過，且垂直y軸的直線分別交E于，，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項：內(nèi)接三角形的面積，正確；B選項：，解得，又A為第一象限的點，，，，故切線方程為，即，正確；C選項：由，得，令，，弓形面積為，所以不等式不成立，錯誤；D選項：由知，軸，，又的中點，，易求，，，，因此成立，正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某年級有1000名學生，一次數(shù)學測試成績，，則該年級學生數(shù)學成績在115分以上的人數(shù)大約為______.〖答案〗160〖解析〗考試的成績服從正態(tài)分布，．考試的成績關(guān)于對稱，，，該班數(shù)學成績在115分以上的人數(shù)為故〖答案〗為．14．若的展開式中常數(shù)項為160，則的最小值為_____________．〖答案〗4〖解析〗二項式展開式的通項公式為:，令，則，所以，即,所以，因為，當且僅當時，等號成立.所以的最小值為4.故〖答案〗為：4.15．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，令，則與在上有兩個交點，則、交點都在上，它們互為反函數(shù)，設(shè)、與相切，，，若切點為，所以，可得，此時，綜上，、之間，在時有兩個交點，在時有一個交點，在時無交點，所以.故〖答案〗為：16．已知X為包含v個元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個v階的Steiner三元系．若為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數(shù)為_____________．〖答案〗7〖解析〗由題設(shè)，令集合，共有7個元素，所以的三元子集，如下共有35個：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因為中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以中元素滿足要求的有：、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個元素.故〖答案〗為：7.解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．在中，，D為中點，.（1）若，求的長；（2）若，求的長.解：（1）在中，，則，在中，，所以.（2）設(shè)，在和中，由正弦定理得，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又由，整理得：，②聯(lián)立①②得，，即.，解得或，又，故，所以.18．已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列（2）設(shè)數(shù)列滿足，求最小的實數(shù)，使得對一切正整數(shù)均成立．（1）證明：因為，所以．又，所以數(shù)列是一個首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，故，當時，，則，所以的最小值為．19．如圖，在三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，且EF⊥平面．（1）求棱BC的長度；（2）若，且的面積，求二面角的正弦值．解：（1）取AC中點D，連接ED，BD，∵分別為的中點，則且，又∵為三棱柱，且分別為的中點，則且，可得且，即四邊形DEFB為平行四邊形，故，又∵平面，則平面，平面，可得，又∵D為AC的中點，則△ABC為等腰三角形，∴.（2）由（1）可知：，且，即，∴，則可得，且，∵平面，平面，則，∴，解得，由（1）知平面，平面，則，又∵，則又∵，，則，，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，則，且，可得，∴為直角三角形，則，以為坐標原點，向量，，方向為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，∵平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，可得，∴，故二面角的正弦值為.20．2022世界機器人大會在北京召開，來自各個領(lǐng)域的參展機器人給參觀者帶來了不同的高科技體驗．現(xiàn)有A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人，其工作程序依次分為三個步驟：分撿，歸類，處理，每個步驟完成后進入下一步驟．若分撿步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為20分，若歸類步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為30分，若處理步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為50分．若各步驟完成但效能沒有達到95%，則該步驟得分為0分，在第三個步驟完成后，機器人停止工作．現(xiàn)已知A款機器人完成各步驟且效能達到95%及以上的概率依次為，，，B款機器人完成各步驟且效能達到95%及以上的概率均為，每款機器人完成每個步驟且效能是否達到95%及以上都相互獨立．（1）求B款機器人只有一個步驟的效能達到95%及以上的概率；（2）若準備在A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人中選擇一款機器人，從最后總得分的期望角度來分析，你會選擇哪一種型號？解：（1）記“B款機器人只有一個步驟的效能達到及以上”為事件，則．（2）設(shè)款機器人完成所有工作總得分為，則的可能取值為，所以，，，，，，，所以的分布列為：02030507080100則．設(shè)款機器人完成所有工作總得分為，則的可能取值為，所以，，所以的分布列為：02030507080100則因為，所以，所以從最后總得分的期望角度來分析，應該選擇種型號的機器人．21．已知離心率為的雙曲線，直線與C的右支交于兩點，直線l與C的兩條漸近線分別交于兩點，且從上至下依次為，．（1）求雙曲線C的方程；（2）求的面積．解：（1）設(shè)，設(shè)的中點為，記，則直線即，因為雙曲線的離心率為，所以，故，于是雙曲線的漸近線為．聯(lián)立,解得,即，同理由,解得,即，于是．聯(lián)立,消去x，得．即,需滿足，由韋達定理，得，所以，，說明與的中點均為同一個點P，所以，關(guān)于點P對稱，關(guān)于點P對稱，所以，因為，所以是線段的兩個四等分點，故P點縱坐標為，所以，于是，即，結(jié)合，解得，滿足，則，故所求雙曲線方程為．（2）由（1）可知，，于是．設(shè)，則，代入，得，故的面積為．22．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為．如果存在實數(shù)a和函數(shù)，其中對任意的都有，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）設(shè)函數(shù)，其中b為實數(shù)．（i）求證：函數(shù)具有性質(zhì)；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）已知函數(shù)具有性質(zhì).給定，，設(shè)m為實數(shù)，，，且，，若，求m的取值范圍．（1）（i）證明：，因為，恒成立，所以函數(shù)具有性質(zhì)；（ii）解：設(shè)，與的符號相同.當即時，，，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，的圖象開口向上，對稱軸，而，對于，總有，，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，的圖象開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，且，，當時，，，此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增.綜上所述：當時，在區(qū)間上遞增；當時，在區(qū)間上遞減，在上遞增.（2）解：由題意，得：，又對任意的都有，所以對任意的都有，在上遞增.又，當時，，且，所以，所以或，若，則，所以不合題意.所以，即，解得：，，當時，，，符合題意.當時，，且，同理有，即，解得：，，綜合以上討論，所求m的取值范圍時.決戰(zhàn)2023年高考數(shù)學金榜押題預測卷2（江蘇專用）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗或所以，所以.故選：B2．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限〖答案〗A〖解析〗對應的點為，對應的點位于第一象限.故選：A.3．某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊，2、5、6班組成聯(lián)盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38〖答案〗C〖解析〗在循環(huán)賽階段，4個小組，每個小組由4支球隊組成，每個球隊都要進行三場比賽，故每組要進行場，4組要進行場；在淘汰賽階段，第一輪：8支球隊，2支一場，則共進行；第二輪：8支球隊，2支一場，共進行場，此時決出分別爭奪冠亞軍、第三四名、第五六名、第七八名的球隊，再分別進行4場，決出冠軍、亞軍、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.綜上，可得共進行場.故選：C.4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是（）A．1 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗是等比數(shù)列

是等差數(shù)列

本題正確選項：.5．已知圓的半徑為，點滿足，，分別是上兩個動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，設(shè)的中點為，在半徑為的圓中，，得，，，即，當與反向共線時，取得最小值；當與同向共線時，取得最大值；即的取值范圍是；故選：D6．已知，則（

）A． B．－1 C． D．〖答案〗C〖解析〗由，所以，則，所以，則，故，由.故選：C7．已知動直線l的方程為，，，O為坐標原點，過點O作直線l的垂線，垂足為Q，則線段PQ長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由可得，令，由萬能公式可得，，所以直線的方程為①，由題意可知過原點與直線垂直的直線方程為②，可得，即表示點的軌跡為圓心為半徑為3的圓，于是線段長度的取值范圍為，因為，所以線段PQ長度的取值范圍為，故選：B.8．已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點對稱，則（

）A．0 B．3 C．4 D．1〖答案〗D〖解析〗由關(guān)于原點對稱，則關(guān)于軸對稱，且，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，且，又，即，則關(guān)于對稱，綜上，，，則，所以，而，故，又，則關(guān)于對稱，即，所以，則，所以.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．下列說法正確的是（

）A．線性回歸方程對應的直線一定經(jīng)過點B．若隨機變量，則C．方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小D．“事件是互斥事件”是“事件是對立事件”的充分不必要條件〖答案〗ABC〖解析〗選項A:線性回歸方程對應的直線經(jīng)過樣本點的中心.判斷正確；選項B:若隨機變量，則.判斷正確；選項C:方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.判斷正確；選項D:“事件是互斥事件”是“事件是對立事件”的必要不充分條件.選項D判斷錯誤.故選：ABC10．已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．是函數(shù)的一個零點B．函數(shù)的最大值為1C．是函數(shù)的一個極值點D．函數(shù)在處的切線的斜率為〖答案〗ACD〖解析〗因為，當時，，A正確；因為，函數(shù)的最大值為，B錯誤；因為，所以當時，C正確；因為，所以當時，，D正確.故選：ACD.11．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，B．直線與平面所成角的正弦值最大值為C．當平面截直四棱柱所得截面面積為時，D．四面體的體積為定值〖答案〗ABD〖解析〗當時，P為AC的中點，連接，，則，因為平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以，A正確.因為四棱柱為直四棱柱，所以，因為平面，平面，所以平面，則點P到平面的距離等于點A到平面的距離.設(shè)點A到平面的距離為，由,可得,即,又設(shè)與交于點，連接，則，則,

，則所以所以設(shè)直線BP與平面所成的角為，，因為點P到平面的距離為定值，則,所以當BP最小，即P為AC的中點時，直線BP與平面所成的角最大，此時，所以，所以B正確.當時，點P為AC上靠近點C的四等分點，過點P作的平行線分別交于連接，由，所以，又所以等腰梯形為平面截四棱柱所得截面圖形.易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面積為，由幾何體的對稱性可知，當平面截直四棱柱所得截面面積為時，或，C錯誤.由上可知，平面，所以點P到平面的距離恒為定值，因為的面積為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選：ABD.12．阿基米德的“平衡法”體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，他用平衡法求得拋物線弓形（拋物線與其弦所在直線圍成的圖形）面積等于此弓形的內(nèi)接三角形（內(nèi)接三角形的頂點C在拋物線上，且在過弦的中點與拋物線對稱軸平行或重合的直線上）面積的.現(xiàn)已知直線與拋物線交于A，B兩點，且A為第一象限的點，E在A處的切線為l，線段的中點為D，直線軸所在的直線交E于點C，下列說法正確的是（

）A．若拋物線弓形面積為8，則其內(nèi)接三角形的面積為6B．切線l的方程為C．若，則弦對應的拋物線弓形面積大于D．若分別取的中點，，過，且垂直y軸的直線分別交E于，，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項：內(nèi)接三角形的面積，正確；B選項：，解得，又A為第一象限的點，，，，故切線方程為，即，正確；C選項：由，得，令，，弓形面積為，所以不等式不成立，錯誤；D選項：由知，軸，，又的中點，，易求，，，，因此成立，正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．某年級有1000名學生，一次數(shù)學測試成績，，則該年級學生數(shù)學成績在115分以上的人數(shù)大約為______.〖答案〗160〖解析〗考試的成績服從正態(tài)分布，．考試的成績關(guān)于對稱，，，該班數(shù)學成績在115分以上的人數(shù)為故〖答案〗為．14．若的展開式中常數(shù)項為160，則的最小值為_____________．〖答案〗4〖解析〗二項式展開式的通項公式為:，令，則，所以，即,所以，因為，當且僅當時，等號成立.所以的最小值為4.故〖答案〗為：4.15．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，令，則與在上有兩個交點，則、交點都在上，它們互為反函數(shù)，設(shè)、與相切，，，若切點為，所以，可得，此時，綜上，、之間，在時有兩個交點，在時有一個交點，在時無交點，所以.故〖答案〗為：16．已知X為包含v個元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個v階的Steiner三元系．若為一個7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個數(shù)為_____________．〖答案〗7〖解析〗由題設(shè)，令集合，共有7個元素，所以的三元子集，如下共有35個：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因為中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以中元素滿足要求的有：、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；、、、、、、，共有7個；共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個元素.故〖答案〗為：7.解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．在中，，D為中點，.（1）若，求的長；（2）若，求的長.解：（1）在中，，則，在中，，所以.（2）設(shè)，在和中，由正弦定理得，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又由，整理得：，②聯(lián)立①②得，，即.，解得或，又，故，所以.18．已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列（2）設(shè)數(shù)列滿足，求最小的實數(shù)，使得對一切正整數(shù)均成立．（1）證明：因為，所以．又，所以數(shù)列是一個首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，故，當時，，則，所以的最小值為．19．如圖，在三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，且EF⊥平面．（1）求棱BC的長度；（2）若，且的面積，求二面角的正弦值．解：（1）取AC中點D，連接ED，BD，∵分別為的中點，則且，又∵為三棱柱，且分別為的中點，則且，可得且，即四邊形DEFB為平行四邊形，故，又∵平面，則平面，平面，可得，又∵D為AC的中點，則△ABC為等腰三角形，∴.（2）由（1）可知：，且，即，∴，則可得，且，∵平面，平面，則，∴，解得，由（1）知平面，平面，則，又∵，則又∵，，則，，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，則，且，可得，∴為直角三角形，則，以為坐標原點，向量，，方向為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，∵平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，可得，∴，故二面角的正弦值為.20．2022世界機器人大會在北京召開，來自各個領(lǐng)域的參展機器人給參觀者帶來了不同的高科技體驗．現(xiàn)有A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人，其工作程序依次分為三個步驟：分撿，歸類，處理，每個步驟完成后進入下一步驟．若分撿步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為20分，若歸類步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為30分，若處理步驟完成并且效能達到95%及以上，則該步驟得分為50分．若各步驟完成但效能沒有達到95%，