安徽省黃山市高三下學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)

黃山市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)戰(zhàn)內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，則（）A. B. C. D.2.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則的值為（）A. B. C.1 D.23.已知是以為公比的等比數(shù)列，，，則（）A B. C. D.4.已知，，則（）A. B. C. D.5.2024年是安徽省實(shí)施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)，假設(shè)每門(mén)學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門(mén)被選中的概率是（）A B. C. D.6.已知向量，滿(mǎn)足，則向量的夾角為（）A. B. C. D.7.過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為，則（）A. B. C. D.8.已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交于，且，當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)離心率的最大值為（）A. B. C.2 D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，已知正方體，點(diǎn)、、分別為棱、、中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與共面 B.平面平面C. D.平面10.下列說(shuō)法正確的有（）A.若線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)B.若隨機(jī)變量，，則C.若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為D.若事件、滿(mǎn)足，，，則有11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿(mǎn)足，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則（）A.是奇函數(shù) B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______．14.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其外接圓半徑為，且，則角大小為_(kāi)______，若點(diǎn)在邊上，，則的面積為_(kāi)______．四、解答題：本題共5小逐，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處取值得極大值．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值．16.某校高三年級(jí)名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、、、．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績(jī)位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，該人中成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．17.如圖，四棱錐，平面平面為中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．18.設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的最大值．19.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？（2）數(shù)列是以1為公差等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；（3）各項(xiàng)均為正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，對(duì)滿(mǎn)足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．黃山市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)戰(zhàn)內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無(wú)效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意由可得，又，所以.故選：C2.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求得的值.【詳解】根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，可得.故選：C3.已知是以為公比的等比數(shù)列，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以為公比等比數(shù)列，且，，則，解得.故選：A.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式可得出的值，再利用兩角和的余弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?解得，因此，.故選：B.5.2024年是安徽省實(shí)施“”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)，假設(shè)每門(mén)學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門(mén)被選中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別計(jì)算出任選兩門(mén)的種類(lèi)數(shù)，再得出化學(xué)和地理都沒(méi)有被選中的情況，即可得出結(jié)果.【詳解】依題意從從政治、地理、化學(xué)、生物4門(mén)學(xué)科中任選2門(mén)共有種情況，其中化學(xué)和地理都沒(méi)有被選中共有種，因此化學(xué)和地理至少有一門(mén)被選中的概率是.故選：D6.已知向量，滿(mǎn)足，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量運(yùn)算律根據(jù)模長(zhǎng)可得，再由數(shù)量積定義可得夾角為.【詳解】根據(jù)題意由可得，又，可得，設(shè)向量的夾角為，所以，可得，即.故選：B7.過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線(xiàn)的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】記點(diǎn)，記切點(diǎn)分別為、，求出圓心的坐標(biāo)，證明出，可得出，設(shè)，求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合二倍角的正弦公式可求得的值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，記點(diǎn)，記切點(diǎn)分別為、，如下圖所示：由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)椋?，所以，，所以，，設(shè)，由圓的幾何性質(zhì)可得，則，所以，，由圖可知，為銳角，則，所以，，故.故選：A.8.已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交于，且，當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)離心率的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程求出直線(xiàn)的方程為，可求得，再由雙曲線(xiàn)定義利用即可求得雙曲線(xiàn)離心率的最大值為.【詳解】如下圖所示：不妨取漸近線(xiàn)方程為，又易知，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，可得，所以；且，由雙曲線(xiàn)定義可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得；因此雙曲線(xiàn)離心率的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用雙曲線(xiàn)定義結(jié)合，表示出的長(zhǎng)度再利用建立不等式即可解得離心率的取值范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，已知正方體，點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與共面 B.平面平面C. D.平面【答案】AB【解析】【分析】證明出，可判斷A選項(xiàng)；利用面面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理可判斷C選項(xiàng)；利用反證法可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，故，所以，與共面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，同理可證平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，不妨設(shè)的棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，所以，，故、不垂直，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)平面，又因?yàn)槠矫?，，、平面，所以，平面平面，事?shí)上，平面與平面不平行，假設(shè)不成立，D錯(cuò).故選：AB.10.下列說(shuō)法正確的有（）A.若線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)B.若隨機(jī)變量，，則C.若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為D.若事件、滿(mǎn)足，，，則有【答案】ABD【解析】【分析】利用線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)與線(xiàn)性相關(guān)性之間的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；可以正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可判斷B選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用條件概率公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若隨機(jī)變量，，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若事件、滿(mǎn)足，，，由條件概率公式可得，則，因此，，D對(duì).故選：ABD.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿(mǎn)足，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則（）A.奇函數(shù) B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出為常值函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，令代值計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；由、推導(dǎo)可判斷C選項(xiàng)；求出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，即，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)?，則，令，則，所以，為常值函數(shù)，設(shè)，其中常數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，令，可得，即，等式兩邊求?dǎo)得，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在等式中，令可得，可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，可得，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，即，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)?，所以，，，，可得，，，由中令，可得，則，，所以，，因?yàn)?，則，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，可利用以下結(jié)論來(lái)轉(zhuǎn)化：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，解得.故答案為：.13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______．【答案】126【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求出含有的項(xiàng)，計(jì)算可得其系數(shù).【詳解】依題意得，展開(kāi)式中含有的項(xiàng)為,所以展開(kāi)式中的系數(shù)為126.故答案為：12614.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其外接圓半徑為，且，則角大小為_(kāi)______，若點(diǎn)在邊上，，則的面積為_(kāi)______．【答案】①.②.【解析】【分析】化簡(jiǎn)得，解得，得角大??；由外接圓半徑，求，，兩邊同時(shí)平方，結(jié)合余弦定理，求出，面積公式求的面積.【詳解】中，，即，得，解得，（舍），由，得.的外接圓半徑為，則，解得，由余弦定理，，得，點(diǎn)在邊上，，則，有，得，即，由，解得，所以的面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的也是一種常見(jiàn)類(lèi)型，主要方法有兩類(lèi)，一是找到邊之間的關(guān)系，利用公式求解，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.四、解答題：本題共5小逐，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處取值得極大值．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后令求出，代入驗(yàn)證是否符合題意即可；（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.【小問(wèn)1詳解】由已知令得或，當(dāng)時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，與函數(shù)在處取值得極大值不符；當(dāng)，即時(shí)，令得或，令得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，符合題意；所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.16.某校高三年級(jí)名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、、、．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績(jī)位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，該人中成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），第分位數(shù)為（2）分布列答案見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖所有矩形的面積之和為可得出的值，利用百分位數(shù)的定義可求得這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖可得，解得.前四個(gè)矩形的面積之和為，前五個(gè)矩形面積之和為，設(shè)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)為，則，解得，因此，這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：數(shù)學(xué)成績(jī)位于、的學(xué)生人數(shù)之比為，所以，所抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.17.如圖，四棱錐，平面平面為中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)四棱錐棱長(zhǎng)及其性質(zhì)，利用三角形全等可證明，再由面面垂直性質(zhì)可得，再由線(xiàn)面垂直判定定理可得平面，即可得平面平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量分別求出平面與平面的法向量，即可求得其夾角的正弦值為.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可得為中點(diǎn)，所以，易知，所以，可得，易知，所以，即；由，為中點(diǎn)，可得，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以；又，平面，所以平面，又平面，因此平面平面；【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則；所以；設(shè)平面夾角的的一個(gè)法向量為，則，解得，令；所以；可得，設(shè)平面與平面的夾角為，可得可得平面與平面夾角的正弦值為.18.設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，可得出，其中，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，分兩種情況討論，①直線(xiàn)、的斜率存在且斜率分別為、，設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)的方程為，將該直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，由結(jié)合可求出點(diǎn)的軌跡方程，②直線(xiàn)、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，驗(yàn)證此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足①中的軌跡方程，再利用勾股定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，其中，，，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值，可得，因此，橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)、斜率都存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、，設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立可得，則，整理可得，即，則、是關(guān)于的方程的兩根，因?yàn)?，則，整理可得；當(dāng)、分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則，滿(mǎn)足.所以，點(diǎn)的軌跡方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓，該圓的半徑為，由勾股定理可得，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即矩形的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．19.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量