第5章 二次根式（單元測(cè)試·綜合卷）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（湘教版）

第5章二次根式（單元測(cè)試·綜合卷）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023下·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是的選項(xiàng)是（

）A． B． C． D．2．（2021下·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：，則□中的數(shù)是（

）A．6 B． C．2 D．3．（2020·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若a為正數(shù)，則有（

）A．a(chǎn)＞ B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)與的關(guān)系不確定4．（2023下·天津·八年級(jí)校聯(lián)考期中）將化簡(jiǎn)得（

）A． B． C． D．5．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）與結(jié)果相同的是（

）．A． B．C． D．6．（2021·山西·校聯(lián)考三模）化簡(jiǎn)二次根式除了利用二次根式的性質(zhì)外，還可以借助圖形解釋驗(yàn)證．如：化簡(jiǎn)時(shí)，我們可以構(gòu)造如圖所示的圖形，其中圖1是一個(gè)面積為8的正方形，圖2是一個(gè)面積為2的正方形，根據(jù)兩圖的關(guān)系我們可以得到：．這種分析問題的方法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．分類討論 B．?dāng)?shù)形結(jié)合 C．公理化 D．類比7．（2022下·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．8．（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）要用柵欄圍成如圖所示的兩個(gè)正方形雞圈，它們的面積分別為，，則所需柵欄的總長(zhǎng)度最少為（

）

A． B． C． D．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個(gè)數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）．A． B． C． D．10．（2022下·重慶開州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）二次根式除法可以這樣做：如．像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或者把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結(jié)論：①將式子進(jìn)行分母有理化，可以對(duì)其分子、分母同時(shí)乘以；②若a是的小數(shù)部分，則的值為；③比較兩個(gè)二次根式的大小：；④計(jì)算；⑤若，，且，則整數(shù)．以上結(jié)論正確的是（

）①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·遼寧鐵嶺·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）當(dāng)a取值范圍為時(shí)，．12．（2022下·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知．（1）將化為最簡(jiǎn)二次根式是；（2）若，則“■”表示的數(shù)是．13．（2023下·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若與都是二次根式，那么．14．（2019上·浙江溫州·七年級(jí)期中）請(qǐng)寫出一個(gè)含字母a、b的三次單項(xiàng)式，滿足下列兩個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，它的值是無(wú)理數(shù)；②當(dāng)時(shí)，它的值是正整數(shù)．這個(gè)單項(xiàng)式可以是．15．（2022上·上海嘉定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若兩個(gè)代數(shù)式與滿足，則稱這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是．16．（2022上·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們規(guī)定：如果實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，那么稱a與b互為“勻稱數(shù)”．（1）1－π與互為“勻稱數(shù)”；（2）已知，那么m與互為“勻稱數(shù)”．17．（2021下·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中與是同類二次根式的有個(gè)．已知，則yx＝．若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則＝．18．（2021·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·山東棗莊·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）計(jì)算：； （2）計(jì)算：．20．（8分）（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算（1） （2）（10分）（2023下·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）若，求； （2）若，求的值．22．（10分）（2023上·福建漳州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）觀察下列等式及其驗(yàn)證過(guò)程：，驗(yàn)證：，驗(yàn)證：（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想______．（2）針對(duì)上述等式反映的規(guī)律，寫出用（為大于的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．23．（10分）（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們知道．是一個(gè)無(wú)理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請(qǐng)回答以下問題：（1）的整數(shù)部分是_________，的小數(shù)部分是_________；（2）若是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的平方根；（3）若，其中是整數(shù)，且，求的值．24．（12分）（2022上·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過(guò)程并解決問題．【探究發(fā)現(xiàn)】；；；；；．【猜想結(jié)論】如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．【證明結(jié)論】∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．【應(yīng)用結(jié)論】（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最小？最小值是多少？（2）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？【拓展應(yīng)用】（3）疫情期間，高速公路某檢測(cè)站入口處，為了解決疑似人員的臨時(shí)隔離問題，檢測(cè)人員利用檢測(cè)站的一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），計(jì)劃用鋼絲網(wǎng)圍成6間相同的長(zhǎng)方形隔離房．如圖，已知每間隔離房的面積為6m2．問：每間隔離房的長(zhǎng)、寬各為多少米時(shí)，所用鋼絲網(wǎng)長(zhǎng)度最短？最短長(zhǎng)度是多少？參考答案：1．B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，A選項(xiàng)保證被開放式大于等于0，且分母不為0；B選項(xiàng)保證被開放式大于等于0；C選項(xiàng)保證被開放式大于等于0，且墳?zāi)共粸?；D選項(xiàng)保證被開放式大于等于0，且分母不為0，求出x的取值范圍即可．解：A.中，的取值范圍是，故此項(xiàng)不符合題意；B.中，的取值范圍是，故此項(xiàng)符合題意；C.中，的取值范圍是，且，故此項(xiàng)不符合題意；D.中，的取值范圍是，故此項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】由可得，化簡(jiǎn)即可．解：∵∴＝＝故答案為：D【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題是重點(diǎn).3．D【分析】根據(jù)的取值范圍，對(duì)和的大小關(guān)系分情況進(jìn)行分類討論即可解決．解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，與的關(guān)系不確定，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：掌握二次根式的意義和性質(zhì)．4．D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．解：∵，∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟知二次根式的被開方數(shù)具有非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．解：∵，且選項(xiàng)B、C、D的運(yùn)算結(jié)果分別為：4、6、0故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式、有理數(shù)運(yùn)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)，即可得到答案．6．B【分析】根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想的定義進(jìn)行判斷即可．解：顯然，在題目描述過(guò)程中，構(gòu)造了相應(yīng)邊長(zhǎng)的正方形，將數(shù)字變化為圖形來(lái)進(jìn)行研究，這樣的方法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，理解并熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學(xué)問題的常用辦法．7．A【分析】先根據(jù)二次根式的意義求出n，再求出m，最后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則得到最終解答．解：由題意可得：2n-5=5-2n=0，∴m=0+0+2=2，∴n-m=故選A．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次根式有意義的條件及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．8．B【分析】先根據(jù)正方形面積公式求出兩個(gè)相鄰的正方形雞圈的邊長(zhǎng)，再根據(jù)平移和長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式可求需要的柵欄的總長(zhǎng)度．解：∵兩個(gè)相鄰的正方形雞圈的面積分別為，，∴兩個(gè)相鄰的正方形雞圈的邊長(zhǎng)是，，∴需要的柵欄的總長(zhǎng)度是，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出兩個(gè)相鄰的正方形雞圈的邊長(zhǎng)．9．C【分析】觀察數(shù)陣排列，可發(fā)現(xiàn)各數(shù)的被開方數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，行數(shù)中的數(shù)字個(gè)數(shù)是行數(shù)的2倍，求出n-1行的數(shù)字個(gè)數(shù)，再加上從左向右的第n-3個(gè)數(shù)，就得到所求數(shù)的被開方數(shù)，再寫成算術(shù)平方根的形式即可．解：由圖中規(guī)律知，前（n-1）行的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個(gè)數(shù)的被開方數(shù)是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個(gè)數(shù)是：故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律、二次根式的性質(zhì)，從而完成求解．10．D【分析】①類比示例，利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分母有理化；②估計(jì)無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分，求出小數(shù)部分，進(jìn)而分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)；③通過(guò)分母有理化，比較兩個(gè)二次根式的大?。虎芡ㄟ^(guò)分母有理化找到題中無(wú)理式求和的運(yùn)算規(guī)律，從而化簡(jiǎn)求出值；⑤與y可以利用分母有理化化簡(jiǎn)，可得出x與y互為倒數(shù)，故，然后觀察方程特點(diǎn)，求得n的值．解：，故將式子進(jìn)行分母有理化，可以對(duì)其分子、分母同時(shí)乘以，故①對(duì)；∵a是的小數(shù)部分，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③對(duì)；∵，故④錯(cuò)誤；⑤∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴，即，解得.故⑤正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查利用分式的基本性質(zhì)、平方差公式進(jìn)行分母有理化,解決二次根式的化簡(jiǎn)、比較大小和運(yùn)算的問題．11．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件進(jìn)行求解即可．解：當(dāng)且時(shí)，成立，解得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)非負(fù)，分式有意義的條件是分母不為0．12．【分析】（1）根據(jù)?（a≥0，b≥0）化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)除數(shù)＝被除數(shù)÷商計(jì)算即可．解：（1）＝3；故答案為：3；（2）3．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式、二次根式的運(yùn)算，熟練掌握計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．13．0【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，進(jìn)而即可求解．解：∵與都是二次根式，∴∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．14．（答案不唯一）【分析】根據(jù)所給字母的值確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)即可．解：該單項(xiàng)式可以為，當(dāng)時(shí)，==，是無(wú)理數(shù)；當(dāng)時(shí)，==2，是正整數(shù)，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題考查了單項(xiàng)式的定義，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)值確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)．15．/【分析】根據(jù)“互為友好因式”的概念解答即可．解：由題意可得：的“互為友好因式”為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了定義新運(yùn)算，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化的方法．16．【分析】（1）根據(jù)“勻稱數(shù)”的概念可直接進(jìn)行求解；（2）由題意易得，然后根據(jù)“勻稱數(shù)”的概念可進(jìn)行求解．解：（1）由題意易得：1－π與互為“勻稱數(shù)”；故答案為；（2）∵，∴，∴m的“勻稱數(shù)”為，∴與互為“勻稱數(shù)”；故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算及實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．17．291【分析】（1）先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)每個(gè)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可；（2）由于與互為相反數(shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可得到的值，然后求出，最后代入所求代數(shù)式即可求解；（3）首先估算的整數(shù)部分和小數(shù)部分，然后代入所求代數(shù)式計(jì)算即可求解．解：（1）∵，，，，∴與是同類二次根式的有、，共2個(gè)；（2）∵，∴，∴，；（3），∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，∴，故答案為：2，9，1．【點(diǎn)撥】此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式有意義的情況及無(wú)理數(shù)的估算能力，有一定的綜合性，解題關(guān)鍵是利用限制條件解出變量的值．18．10【分析】先根據(jù)求出（為正整數(shù)）的值，從而可得的值，再求和即可得．解：，（為正整數(shù)），，，，，則，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．19．（1）3；（2）5．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可求解；（2）利用完全平方公式、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可求解．解：（1）；（2）．【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）1；（2）【分析】本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算，（1）根據(jù)二次根式乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：；（2）解：．21．（1）18；（2）【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則求出，根據(jù)二次根式的乘法法則求出，根據(jù)提公因式、完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)完全平方公式把原式變形，計(jì)算即可．解：（1），，，，則；（2），，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的乘法法則、加法法則是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）（為大于的整數(shù)）【分析】（1）根據(jù)材料提示的運(yùn)算方法即可求解；（2）根據(jù)材料提示，二次函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解；本題主要考查二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）解：根據(jù)材料提示，，故答案為：．（2）解：根據(jù)題意得，，∵為大于的整數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)（為大于的整數(shù)），；故上述等式反映的規(guī)律為（為大于的整數(shù)）．23．（1）3，；（2）；（3）11【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的大小估算方法．（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即