專題13 解直角三角形（原卷版）

專題13解直角三角形（原卷版）1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為332，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得A．3 B．22 C．3 D．2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm3．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于AB）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對其視線可及的P，Q兩點(diǎn)，可測得∠POQ的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB，其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)C，如圖4，測得AC=am，BC=b（ⅱ）分別在AC，BC，上測得CM=a3m，CN=由測量知，AC=a，BC=b，CM=a3，∴CMCA=CN∴△CMN∽△CAB，∴MNAB又∵M(jìn)N=c，∴AB=②___________m．故小水池的最大寬度為___________m．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得AB用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度AB，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母a，b，c?表示，角度用α，β，γ?表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出AB，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．4．（2019·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF、CF.(1)求證：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.一、單選題1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，點(diǎn)E、F分別是AB，AD邊上的中點(diǎn)，則sin∠ECF＝（

）A．22 B．2315 C．12．（2023·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，一斜坡AB的長為213m，坡度為1:1.5，則該斜坡的鉛直高度BC的高為（A．3m B．4m C．6m D．16m3．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,OD∥BC交⊙D于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接AD,BD,CD若AB=10,cos∠ABC=35,則tan∠DBC的值是(

A．12 B．13 C．2 D4．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23

A．1 B．2 C．23 D．5．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距8米，一棵樹樹高13米，另一棵樹高7米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米6．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，AB=2．G為對角線BD的延長線上一點(diǎn)，E為線段CD的中點(diǎn)，BF⊥AE，連接OF．已知∠DAG=15°，其中結(jié)論正確的是（

）①AG=BD；②BF=3；③OPOA=13；④S△POF=13；⑤若E點(diǎn)為線段CD上一動點(diǎn)，當(dāng)AE=EC+CQA．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①③⑤7．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，E為BC的中點(diǎn)，連接AE、DE，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是AE、DE上的點(diǎn)，且PE=DQ．設(shè)△EPQ的面積為y，PE的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

A． B． C． D．8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線BA→AC運(yùn)動到點(diǎn)C，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以相同速度沿折線AC→CD運(yùn)動到點(diǎn)D，當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)△APQ的面積為y，運(yùn)動時間為x秒．則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，往豎直放置的在A處由短軟管連接的粗細(xì)均勻細(xì)管組成的“U”形裝置中注入一定量的水，水面高度為6cm，現(xiàn)將右邊細(xì)管繞A處順時針旋轉(zhuǎn)60°到AB位置，且左邊細(xì)管位置不變，則此時“U”形裝置左邊細(xì)管內(nèi)水柱的高度約為（）A．4cm B．23cm C．3cm D．8cm10．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A在以BC為直徑的⊙O內(nèi)，且AB=AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，得到扇形ABC，且∠BAC=120°，BC=2．若在這個圓面上隨意拋飛鏢，則飛鏢落在扇形ABC內(nèi)的概率是()A．13 B．34 C．4912．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，點(diǎn)P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為32，則點(diǎn)PA．1 B．2 C．3 D．413．（2023·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1:2，則斜坡AB的長為(

)米A．43 B．65 C．12514．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，OB與⊙O交于點(diǎn)C，若∠D=∠B，AB=4．則OB的長度為（

）A．23 B．83 C．4315．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，已知AD＝4，AB＝43，∠C＝30°，連接BD，P為BD邊上的一個動點(diǎn)．現(xiàn)讓P點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿著B→D（P不與點(diǎn)B重合）以1cm/s的速度運(yùn)動，Q為折線BCD上一動點(diǎn)，現(xiàn)讓Q點(diǎn)從B出發(fā)沿著折線BCD以3cm/s的速度運(yùn)動當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．則△PBQ與△BCD重合部分的面積S隨時間t的變化關(guān)系的圖象大致為（3≈1.7）（）A． B．C． D．二、填空題16．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）如果人在一斜坡坡面上前行100米時，恰好在鉛垂方向上上升了10米，那么該斜坡的坡度是_________．17．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖是將一正方體貨物沿坡面AB裝進(jìn)汽車貨廂的平面示意圖.已知長方體貨廂的高度BC為2米，斜坡AB的坡度i＝13，現(xiàn)把圖中的貨物沿斜坡繼續(xù)往前平移，當(dāng)貨物頂點(diǎn)D與C重合時，恰好可把貨物放平裝進(jìn)貨廂，則BD＝18．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將菱形紙片ABCD固定后進(jìn)行投針訓(xùn)練．已知紙片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD＝45．如果隨意投出一針命中菱形紙片，則命中矩形區(qū)域的概率是_____19．（2023·四川達(dá)州·?？家荒＃┰赗t△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C．點(diǎn)E是A1C上一點(diǎn)，且A1E＝2，則PE最大值為_____

．20．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對角線AC,OB交于點(diǎn)M，函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)和點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N．則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_________，點(diǎn)N21．（2023·四川成都·?？级＃┤鐖D，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG，直線AG，CE交于點(diǎn)P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時，CE＝_____；（2）當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為_____．22．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在CB延長線上，∠EAF=∠BAD=120°，若DE=3，cos∠F=27723．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）如圖，小穎利用一個銳角是30°的三角板測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離為6m，AB為1.5m（即小穎的眼睛距離地面的高度），那么這棵樹的高度為________m．（結(jié)果保留根式）24．（2023·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，已知?ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝35，點(diǎn)M為AB邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥AB，交AD邊于點(diǎn)N，將∠A沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△CDE為直角三角形時，AM的長為_____25．（2023·陜西西安·?？级＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sinA=35三、解答題26．（2023·廣東梅州·?？寄M預(yù)測）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行．如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60°方向行駛4km至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．27．（2023·四川·統(tǒng)考一模）如圖，一條河的某一段兩岸平行，為了測量該段河兩岸之間的距離，測量人員在河的一岸邊任意取一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩點(diǎn)B、C，現(xiàn)測得∠α＝37°，（1）求這條河在該段的兩岸之間的距離．（2）若想在AC之間架一鋼絲纜繩，那么纜繩最少需要多少米？（參考值：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈428．（2023·廣東汕頭·模擬預(yù)測）如圖，一樓房AB后有一假山，CD的坡度為i=1:2，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測得假山腳與樓房水平距離BC=24米，與亭子距離CE=85米，小麗從樓房房頂測得E的俯角為45°(1)求點(diǎn)E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．29．（2023·浙江溫州·溫州繡山中學(xué)?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于CE的對稱點(diǎn)F恰好落在DA的延長線上，連結(jié)CF．（1）求證：∠BAD＝∠ECF．（2）若tan∠BAD＝23，AF＝9，求⊙O30．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）某課桌生產(chǎn)廠家研究發(fā)現(xiàn)，傾斜12°至24°的桌面有利于學(xué)生保持軀體自然姿勢．根據(jù)這一研究，廠家決定將水平桌面做成可調(diào)節(jié)角度得桌面．新桌面的設(shè)計圖如圖1，AB可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在點(diǎn)C處安裝一根長度一定且C處固定，可旋轉(zhuǎn)的支撐臂CD，AD=30cm．（1）如圖2，當(dāng)∠BAC=24°時，CD⊥AB，求支撐臂（2）如圖3，當(dāng)∠BAC=12°時，求（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.40，cos24°31．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BA延長線上一點(diǎn)，連接DC，點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對稱，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接EC,ED,DF

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求∠DEC(2)用等式表示線段EC,ED和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．32．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）某班數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一樓亭前的臺階上A點(diǎn)處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點(diǎn)C處測得樹頂端D的仰角為60°，已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺階AC的坡度i=1：2，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度．（測傾器的高度忽略不計，結(jié)果保留根號）33．（2023·上海閔行·校聯(lián)考一模）如圖，已知一個拋物線經(jīng)過A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三點(diǎn)．（1）求這個拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果點(diǎn)E在該拋物線的對稱軸上，且以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．34．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）△ABC中