2022北京朝陽區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題和答案

2022北京朝陽高一（下）期末數(shù)學2022.7（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．z=+i)(2?i)1.在復平面內，復數(shù)A.第一象限（其中i為虛數(shù)單位）對應的點位于（）B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量a(2,1),b(x,2)，且a∥b，則x的值為（==?）?4?2A.4B.C.2D.3.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論正確是（）A.=CDB.AB+=BDD.AD+BC=0C.AB?AD=DBabc4.中，角ABC所對的邊分別為，，c==，則是ABcosC（）A.鈍角三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形5.mn是兩條不同的直線，,m,n是兩個不同的平面，，下列結論中正確的是（）A.若m∥n，則∥B.若∥D.若∥，則m∥nC.若m與n不相交，則∥，則m與n不相交6.某西瓜種植基地種植了三個品種的西瓜共計1200畝，其中A品種畝，B畝，C品種200畝．為了解該西瓜種植基地的西瓜產量，按照各品種的種植畝數(shù)在總體中所占的比例進行分層隨機抽樣，從總體中抽出畝作為樣本進行調查，測得樣本中A品種總產量為噸，B品種總產量為噸，C品種總產量為噸，則這1200畝西瓜的總產量估計為（A.1200噸B.3000噸C.3560噸7.兩位射擊運動員在射擊測試中各射靶次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：）D.6480噸甲乙7895778857469106774710用x,x分別表示甲、乙兩名運動員次射擊成績的第百分位數(shù)，用s,s分別表示甲、乙兩名運動員121210次射擊成績的標準差，則有（）x=x,ssxx,ssx=x,ssxx,ss1212A.B.C.D.121212121212bc8.中，角ABC所對的邊分別為，，c+1，則角A的取值范圍是a+ca+b（）36,,A.B.C.D.36y|x|和y=2的圖象圍成的封閉平面圖形繞x軸旋轉一周，所得幾何體的體積為（）9.把32A.B.C.D.42π33ABCD?ABCDBC,1,BB的中點，則下列結論中正確110.已知正方體的棱長為，，G分別為1111的是（）1DAG②直線1①直線③點C與點G到平面AEF的距離相等；A.①②B.與直線垂直；與平面AEF平行；9④平面AEF截正方體所得的截面面積為．2C.D.③④第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．z=+i)i（其中iz=________.若復數(shù)12.在中，角ABC所對的邊分別為，，cc=2,b=6,B=，C___________=．3=?=??=t=___________，|b=13.已知向量a(4,b(2,t2)，且a(ab)2，則___________．14.一個袋子中有大小和質地相同4個紅球和n個綠球，采用有放回方式從中依次隨機地取出2個球，若4取出的2個球顏色不同的概率為n的所有可能取值為___________．9AB,AC15.如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務，現(xiàn)準備在濕地內建造一個觀景臺D．已知濕地夾在公路之間AB,AC長度均超過4km且BAC60．在公路AB,AC上分別設有游客接送點EF，=（AE=AF=2．若要求觀景臺D，F(xiàn)兩點連線的右側，并在觀景臺D與接送點EF之間建造兩條觀光線路DE與DF，EDF=120，則觀光線路DE與DF之和最長為___________km．=滿足e?b=eb，且xb+yb=e，其中x,yR，且ii1216.e是單位向量，向量bi2)ix+y=1．則下列結論中，正確結論的序號是___________．①xeb+yeb=1；12()1yx+xyb?b=②；22b?b=2③存在x，，使得；12b?bbb=0．④當取最小值時，1212三、解答題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.為方便，B兩地區(qū)的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集團新開通一條快速直達專線．該線路運營一段時間后，為了解乘客對該線路的滿意程度，從B兩地區(qū)分別隨機抽樣調查了名乘客，將乘客對該線路的滿意程度評分分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)乘客滿意程度評分，將乘客的滿意程度分為三個等級：[50,70)[70,90)[90,100]滿意程度評分滿意程度等級不滿意滿意非常滿意（1A地區(qū)隨機抽取一名乘客，以頻率估計概率，估計該乘客的滿意程度等級是非常滿意的概率；（2A地區(qū)與B地區(qū)各隨機抽取一名乘客，記事件C為抽取的兩名乘客中，一名乘客的滿意程度等級為非常滿意且另一名乘客的滿意程度等級為不滿意，假設兩地區(qū)乘客的評分相互獨立，以頻率估計概率，求事件C的概率；2（3為從A地區(qū)隨機抽出的這名乘客的滿意程度評分的平均數(shù)，B地區(qū)隨機抽出的這1100名乘客的滿意程度評分的平均數(shù)，為從AB兩地區(qū)隨機抽出的這名乘客的滿意程度評分的平1?2?的大小，并說明理由．均數(shù)，試比較與18.在中，角ABC所對的邊分別為，，cb（1）求角B：2?c2=a?2ac．2（2）從①C=2B，②bA=aB中選取一個作為條件，證明另外一個成立；1BCD=B,=4，求△BCD的面積．（3D為線段AB上一點，且2ABCD?ABCD中，側棱1AA1⊥19.如圖，在四棱柱底面ABCDABCD，四邊形為菱形，111AB=BAD=EFAA1,，，分別為的中點．13（1）證明⊥平面，并求點C到平面的距離；11B,F,1,E（2）證明：20.如圖，在四棱錐PABC=90，E是PD的中點．四點共面．1?中，平面⊥平面ABCD,BC∥平面PAD,BC=AD，PAD2（1）求證：∥AD；（2）求證：平面PAB平面⊥PAD；（3M是線段CE上任意一點，試判斷線段AD上是否存在點，使得MN∥平面PAB？請說明理由．A=12BB,B,,BBi1ijn)21.若集合，其中為非空集合，，則稱集n12nB,B,,B為集合nAn合一個劃分．12（1）寫出集合A=的所有不同的2劃分；（2）設2為有理數(shù)集Q2劃分，且滿足對任意B,B1xB，任意yBx，都有2y．則下列1四種情況哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情況請舉出一個例子，不能成立的情況請說明理由；BB2①②③④中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；1B1B2中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；B1B2中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；B1B2中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．A=，對于集合A的任意一個3劃分B,B,B，證明：存在i2,3，存3（3）設集合12a,bi，使得b?aB在．i參考答案第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】A【解析】z.【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可得解z=+i)(2?i)=3+i【詳解】解：，則對應點的坐標為()，位于第一象限.故選：A.2.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示即可得出答案.【詳解】解：因為a(2,1),b(x,2)，且a∥b，==?所以2(?2)?x=0x=4.，解得故選：B.3.【答案】C【解析】【分析】利用相等向量可判斷A選項；利用平面向量的加法可判斷選項；利用平面向量的減法可判斷C選項.【詳解】對于A選項，=，A錯；對于B選項，AB+=，B錯；對于C選項，AB?AD=DB，C對；對于D選項，+=2D錯.故選：C.4.【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得tanA=tanB=tanC，進而得到AsinAsinBsinC==BC，即可求解.==，則tanAtanBtanC，又,B,C為三角形內角，==【詳解】由正弦定理得ABcosC則A故選：B.5.【答案】D=B=C，則是等邊三角形.【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和性質定理對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】若m∥n，則,可能平行、可能相交，故A不正確；若∥m,n，則可能平行、可能異面，故B不正確；若m與n不相交，則,也不一定平行，故C不正確；，故D正確若m與n不相交，則∥故選：D.6.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)抽樣方法是按照各品種的種植畝數(shù)在總體中所占的比例進行分層隨機抽樣即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意這1200畝西瓜的總產量估計為1200(++)=10850203560噸，60故選：C.7.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)和方差的定義計算求解即可.【詳解】將甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別從小到大排列：甲：，45，，，7，9，，10乙：，66，，，7，8，，109+98+8因為1080%=8，所以x=1=9，2==8.224+4+5+7+7+7+8+9+9+10x==7，甲的平均數(shù)乙的平均數(shù)1105+6+6+7+7+7+7+8+8+10x=2=7.1，10(4?7)2+(4?7)2+(5?7)2+?7)2+?7)2+?7)2+?7)2所以1==2，10s=1.32同理可得.xxss1所以，.122故選：D.8.【答案】A【解析】bc1+1化簡得b2+?A【分析】先由c2a2bc，再由余弦定理得cosA≥，即可求得角a+ca+b2值范圍.bc+1可得b(a+b)+c(a+c)(a+b)(a+c)，整理得b2+?2abc，【詳解】由c2a+ca+bb2+cbc2?a212=AA()A由余弦定理得A，則，又，則.33故選：A.9.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意，該幾何體可以看作一個圓柱挖去兩個完全相同的圓錐，1323所以所得幾何體的體積為V=224?2222=，3故選：A.10.【答案】C【解析】【分析】由AFC即為直線與直線1D所成的角，即可判斷①；對于②，連接,DF,，由11線面平行的判定即可判斷②；由平面AEF不過CG的中點即可判斷③；先找出截面，再計算面積即可判斷④.ABCD?ABCD1D//1，則AFC1D與直線所【詳解】解：對于①，由正方體成的角，得即為直線1111連接AC，而1⊥平面ABCD，所以，所以在△中，則AFC不可能是直角，直線與直線1D不垂直，故①不正確；,DF,AG1D//BC//EFAD1AG平面AEF，平面1對于②，連接，則，所以11111FAG平面AEF，所以1AEF，∥平面AEF，故②正確；對于③，若點C與點G到平面AEF的距離相等，則平面AEF必過CG的中點，連接CG交EF于H，且H不是CG的中點，則平面AEF不過CG的中點，即點C與點G到平面AEF的距離不相等，③不正確；=1FAEFD即為平面AEF截正方體所得的截面，1對于④，因為AD1∥，，所以等腰梯形?2322則=22,=2,=DF=5，AD1,之間的距離為2?=，11121232292(22+2=AEFD則面積為，故④正確.1故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．【答案】1i??【解析】z【分析】由復數(shù)乘法法則計算出后可得其共軛復數(shù)．z=+i)i=?1+i【詳解】由已知得，，則z=1?i故答案為：1i．??12.【答案】6【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案，注意大邊對大角.c=2,b=6,B=【詳解】解：因為，3bc=又正弦定理得，sinBsinC32csinB12所以sinC=2，==b6=6，得CB2b由c=，所以C=.6故答案為：.6①.3②.2913.【答案】【解析】t【分析】根據(jù)向量坐標的線性運算求出a?b，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算即可求出，再根據(jù)向量的模的坐標公式即可求出|b|.【詳解】解：因為a(4,b(2,t2)，=?=?所以a?b=(2,?1?t)，a(ab)831t?=?(??)=2，解得t=?3，則所以b(2,，=?所以|b=4+25=29.故答案為：3；29.14.2或8【解析】【分析】先求出取出2個球顏色不同的概率，再解方程求解即可.4nn449+=【詳解】由題意知，取出的2個球顏色不同的概率為，(+)(+)(+)(+)n4n4n4n4化簡得n2?10n160，解得+=n=2或8.故答案為：2或8.15.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理得到關于DE與DF的方程，借助基本不等式求的最大值.+【詳解】在△AEF中，23；=,=n==DE2+DF?2DEDFcosEDF，2在中，設，由余弦定理可得：EFmn，即12=(m+n)2=2+n2+2?，即：12m(m+n)2(m+n)2，所以(m+n)2?12m+n4，，因為mn44當且僅當m=n=2時，故答案為：4.m+n取到最大值4，即DE與DF之和最長為4.16.【答案】①③④【解析】【分析】由xb+yb=e結合數(shù)量積運算得xeb+yeb=1；又由x+y=1，求得xb?b=eb，1221212()1yb?b=ebyx+xyb?b=1b?b2進而得；結合基本不等式求得；進而得到121212b+b=e，同時平方即得bb=0.1212()【詳解】由xb+yb=e可得xb+ybe=ee=1，即xeb+yeb=1，①正確；121212()又xb+yb=e且x+y=1，則xb1xb+(?)=e，即xb?b=e?bxb?b=e?b，所以，1221212122e?2=ebxb?b=e?b=ebyb?b=e?b=eb，同理，1211又則由，則21222()1yxb?b+xyb?b=yeb+xeb=1yx+xyb?b=1，②錯誤；2，即121221()1x+y=1知x,y至少一正，若x,y一正一負，則yx+xy=0，顯然不滿足yxxyb2=1，+?x+y2211x,y=y=+=均為正，則yxxy22=x故，當且僅當時等號成立，則221b?b=2，12+yxxy1x=y=xyb1?2=2當且僅當時等號成立，則存在，，使得，③正確；21()1+2=4b?bx=y=xb+yb=eb+b=e當取最小值2時，，由，則，1212122()即b?b+bb=4，則bb=0，④正確.121212故答案為：①③④.【點睛】本題關鍵點在于由xeb+yeb=1結合x+y=1得到xb?b=eb，yb?b=eb進而12112122()1yx+xyb?b=1b?b2b+b=e，最后由平方即可求解.12得，再結合基本不等式求得212三、解答題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.）0.2；?=?，理由見解析（2）0.1；（）12【解析】）先由頻率和為1解出a=0.02，再求是非常滿意的概率即可；（2）分別求出AB地區(qū)非常滿意和不滿意的概率，再由獨立事件乘法公式求解即可；,1，進而求出，計算求解即可.（3）由頻率分布直方圖求得【小問1詳解】2由頻率分布直方圖知，(0.005+0.015+0.03+0.03+a10=1)，解得a=，則估計該乘客的滿意程度等級是非常滿意的概率為0.0210=0.2；【小問2詳解】從A地區(qū)隨機抽取一名乘客，該乘客的滿意程度等級是非常滿意的概率為0.0210=0.2，是不滿意的概率為(0.005+0.01510=0.2；)從B地區(qū)隨機抽取一名乘客，該乘客的滿意程度等級是非常滿意的概率為0.015=，是不滿意的概率為(0.015+0.0210=0.35；)則P(C)=0.20.35+0.20.15=0.1；【小問3詳解】?=?=550.05+650.15+750.3+850.3+950.2=79.5，1，理由如下：122=550.15+650.2+750.3+850.2+950.15=75，112因則，B兩地區(qū)人數(shù)比為1:1，則=+=77.25，1221?=2.25，2?=2.25，則?=?.1218.）B=4（2）見解析（）4【解析】）利用余弦定理即可得解；（2）選①，根據(jù)C=2B結合（）求出C,A，可得AB，則有=tanA=tanB，再根據(jù)正弦定理化角為邊即可得證；選②，利用正弦定理化邊角，再結合（）即可得出結論；（3）利用正弦定理求得，再利用三角形的面積公式結合誘導公式及倍角公式即可得出答案.【小問1詳解】解：因為b所以b2?c2=a?2ac，22=a2+c2?2ac=a2+c?2acB，22所以B=，2B0,()，又B=所以；4【小問2詳解】證明：選①，因為C=2B，B=，4所以C=,A==B，24sinAsinB所以tanA=tanB，即所以bA=aB；=，AB選②，因為bA=aB，所以sinBA=sinAB，sinBcosA?sinAcosB=sinB?A=0，所以(),B0,()，則?()BA,，又所以B?A=0，A=B=即，4所以C==2B；2【小問3詳解】1BCD=B=，則=解：由（）得，288BCCD==42sin因為，所以sinBDCsinB81S=BCCDsinBCD2=82sinsin88=82sin88=42sin=4，4所以△BCD的面積為．19.）證明見解析，距離為（2）證明見解析；；3【解析】⊥⊥AC,交于OCO；設）由ACBD及⊥即可證得平面，即為點C到11平面的距離，再由三角形知識求解即可；11D中點GAGFBAG1，進而證得，即可（2，先證得四邊形為平行四邊形，得到證得結論.【小問1詳解】AA⊥ABCD，AC底面ABCD因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，又側棱1⊥底面，則平面1，DD1∥AA1⊥DDBD=DDD1,BD，所以1⊥又，所以，又，平面11；1AC,交于OAB=BAD=的距離，又設，則CO即為點C到平面，則13CO=AO=AB=3，6即點C到平面的距離為3；1【小問2詳解】AG,FG,BF,1E，易得GF=ABAGFB1D中點G取，連接，則四邊形B,F,1,E，所以四點共面．為平行四邊形，則AG，又1E，則120.）見解析（）見解析（3N為AD中點時，MN∥平面PAB.【解析】）由線面平行的性質定理即可證明.（2）由面面垂直的性質定理證得BA平面⊥PAD，又因為BA平面PABPAB⊥，所以平面平面PAD.（3AD的中點N，連接CN,EN，由線面平行的判定定理證明CNEEN∥平面PAB，CN平面PAB，所以平面【小問1詳解】平面PAB，再由面面平行的性質定理可證得MN∥平面PAB.PAD,BCABCD,ABCD=平面PAD平面,∥平面平面所以∥AD.【小問2詳解】⊥ABCD,PADABCD=平面，因為平面PAD平面平面⊥，所以BA⊥平面PAD，又因為BA平面PAB，所以平面PAB平面⊥PAD.【小問3詳解】取AD的中點N，連接CN,EN，E,NPD,EN∥PA的中點，所以，分別為ENPAB，PA平面平面PAB，所以EN∥平面PAB，1BC=AD∥AD又因為，，所以四邊形ABCN為平行四邊形，2所以CN∥，CN平面PAB，AB平面CNNE，所以平面CNE平面PAB，又因為線段AD上存在點N，使得MN∥平面PAB.，所以CN平面PAB，PAB平面CNE，所以MN∥平面PAB.1,2,3,3,2,2,3,121.）（2）①可能成立，例子見解析；②可能成立，例子見解析；③可能成立，例子見解析；④不可能成立，證明過程見解析；（3）證明過程見解析.【解析】）根據(jù)題意寫出含有3個元素的2劃分即可；（2）①②③可以舉出反例，④可以利用反證法進行證