解三角形
【2022?全國?高考真題(理)】記&ABC的內(nèi)角A,&C的對邊分別為a,6,c,已知
sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).
⑴證明：2a2=b2+c\
25
(2)^a=5,cosA=—,求ABC的周長.
【2022?全國?高考真題】記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知
cosA_sin2B
1+sinAl+cos2B
27r
⑴若c=7，求&
⑵求匚久的最小值.
c
解答三角高考題的策略：
(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”.
(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系.
(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化.
兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角
形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的
實例.另外，利用正弦定理解三角形時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三
角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解.
1.方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，己知a,6和A時，解的情況如下:
A為銳角A為鈍角或直角
C
Cc
圖形
AB\--'8A'F...為AB
AB
bsinA<a<b、7a>b
關(guān)系式a=bsinAa>ba<b
解的個數(shù)一解兩解一解一解無解
2.在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有”,4c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到A+3+C=TT.
1.基本定理公式
（1）正余弦定理：在△A3C中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外
接圓半徑，則
定理正弦定理余弦定理
=Z72+c2—2bccosA；
abci
公式———2Rb2+a2-2accosB；
sinAsinBsinC
c?=儲+廿一2abcosC
.b1+C1-(i
cosA=---------------；
(1)a=27?sinA,b—2HsinB,c=27?sinC；2bc
二上-,，；c2+?2-b2
常見變形(2)sinA=,sinBsinC=-cosB=---------------；
2R2R2Rlac
a2+b2-c
cosC=---------------?
lab
（2）面積公式:
SAABC=—absinC=-bcsinA=—acsinB
△222
S^ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R,八)
2.相關(guān)應(yīng)用
(1)正弦定理的應(yīng)用
①邊化角，角化邊oa:Z?:c=sinA:sin6:sinC
②大邊對大角大角對大邊
A>6osinA>sin6ocosAvcosB
③合分比
a+b+c_a+bb+c_a+c_abe
sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC
(2)AA5C內(nèi)角和定理：A+B+C=TI
?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA
同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA-^-acosC.
②—cosC=cos(A+5)=cosAcosB—sinAsinB；
③斜三角形中
「tanA+tanB八一?一
—tanC=tan(zA4+B)=-------------------otanAA+tan6+tanC=tanA4-tanB?tanC
1-tanA-tanB
④sin(*)=c°sJcos(j)=sin￡
2222
⑤在AABC中，內(nèi)角AB,C成等差數(shù)列=3=生,A+C=」.
33
3.實際應(yīng)用
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角
（2）方位角
從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點的方位角為a（如圖②）.
（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.
①北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.
②北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.
③南偏西等其他方向角類似.
（4）坡角與坡度
①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.
②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，，為坡度）.坡度又稱為坡比.
1.（2022?青海?模擬預(yù)測（理））在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2=kab,
則△ABC的面積為J時，左的最大值是（）
2
A.2B.75C.4D.275
2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且
b2+c2=<r+bc,若sinBsinC=sin2A,則△ABC的形狀是（）
A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形
3.（2022.青海.海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,
b,c.已知a=2,sin2A+3sin2B=2asin2C,貝！JcosC的最小值為.
4.（2022?上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一
個水聲監(jiān)測點，B、C兩點到點A的距離分別為20千米和50千米.某時刻，3收到發(fā)自
靜止目標(biāo)P的一個聲波信號，8秒后A、C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播
速度是L5千米/秒.
（1）設(shè)A到尸的距離為x千米，用x表示8、C到P的距離，并求x的值;
（2）求靜止目標(biāo)尸到海防警戒線AC的距離.（結(jié)果精確到0.01千米）.
cosC-2cosA
5.（2022?全國?模擬預(yù)測）在ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,tanB=
sinC
a<b.
（1）求角B；
（2）若a=3,6=7,。為AC邊的中點，求△BCD的面積.
6.（2022?河南省杞縣高中模擬預(yù)測（文））在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,
2acosA=bcosC+ccosB.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2b+c=6,求ABC的面積.
7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在,ABC中，內(nèi)角A,8,C對應(yīng)的邊分別為a,6,c,ABAC=6,
向量s=（cosAsinA）與向量r=（4,-3）互相垂直.
（1）求ABC的面積；
（2）若b+c=7,求。的值.
mW）
1.（2022?全國?iWj三專題練習(xí)）已知在AFC中，B=30,a=\[2,b=1>則A等于（）
A.45B.135C.45或135D.120
2.（2022?河南.南陽中學(xué)模擬預(yù)測（文））ABC中，若AB=AC=5,BC=6,點E滿足
21
CE=mCA+gC3,直線CE與直線AB相交于點。，則。的長（）
A.巫B?姮C.巫D.畫
5101010
3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若
°2-從=c2-&bc且bcosC=asin3,貝！JABC是（）
A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形
4.（2022?四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測（文））如圖所示，為了測量A,B處島嶼的距
離，小明在。處觀測，A,B分別在。處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行
駛40海里至C處，觀測2在C處的正北方向，A在C處的北偏西60。方向，則A,8兩處島
嶼間的距離為（）
A.20?海里B.40萌海里C.20（1+6）海里D.40海里
5.（多選題）（2022?福建?福州三中高三階段練習(xí)）ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,
且a=2,sinB=2sinC,以下四個命題中正確的是（）
A.滿足條件的二ABC不可能是直角三角形
4
B.ABC面積的最大值為］
C.M是8C中點，九必的最大值為3
D.當(dāng)A=2C時，A5C的面積為空
3
6.（多選題）（2022?廣東?華南師大附中三模）已知圓錐的頂點為P,母線長為2,底面圓直
徑為2道，A,B,C為底面圓周上的三個不同的動點，M為母線PC上一點，則下列說法正
確的是（）
A.當(dāng)A,B為底面圓直徑的兩個端點時，=120°
B.△加8面積的最大值為百
C.當(dāng)ABAB面積最大值時，三棱錐C-B4B的體積最大值為歷史
3
D.當(dāng)A8為直徑且C為弧AB的中點時，M4+MB的最小值為小
7.（多選題）（2022?河北?滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）在ABC中，三邊長分別為“，6,c,且而c=2,
則下列結(jié)論正確的是（）
A.a2b<2+ab2B.ab+a+b>2A/2
C.a+b2+c2>4D.a+b+c<2y/2
8.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在.ABC中，。為其外心，
正OA+2OB+OC=。，若BC=2,貝1。=.
n+h+c
9.（2022?河北?高三期中）已知一ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,p=、,
則ABC的面積S=5耳/一編⑦一與⑺一。）,該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿
基米德得出.若ABC的周長為15,（sinA+sin8）:（sin8+sinC）:（sinC+sin4）=4:6:5,則ABC
的面積為.
10.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
a2+4b2=c2,則tanB的最大值為.
11.（2022.遼寧?沈陽二中模擬預(yù)測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的
一泓碧水蜿蜒形成了一個“秀”字，故稱“秀湖”.湖畔有秀湖閣（4）和臨秀亭（國兩個標(biāo)志性
景點，如圖.若為測量隔湖相望的A、3兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與A、3不共
線的C處，構(gòu)成,ABC,以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：
①測量ZA、AC、BC；
②測量ZA、DB、BC-,
③測量NC、AC.BC；
④測量ZA、NC、DB.
其中一定能唯一確定A、B兩地之間的距離的所有方案的序號是.
12.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在平面四邊形ABC。中，已知
3
=2,cosZBCD=——.
⑴若/CBD=45。，求8。的長；
（2）若cos/AC。=，，且A8=4,求AC的長.
13.（2022?青海玉樹?高三階段練習(xí)（文））在3ABe中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,
c,且aABC的面積S=?(/+c2-〃).
⑴求角B的大?。?/p>
⑵若a+無b=2c，求sinC.
14.（2022?上海浦東新?二模）已知函數(shù)/（x）=fsinx-cosx?e?
（1）若函數(shù)/（"為偶函數(shù)，求實數(shù)f的值；
⑵當(dāng)"白時，在4扉。中（A,B,C所對的邊分別為a、6、c）,若/（2A）=2,c=3,且二A5c
的面積為2VL求。的值.
15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）記,ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知
cosA_sin23
1+sinAl+cos2B
⑴若c=（27r求氏
⑵求二￡的最小值.
c
16.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在,ABC中，角A,B,C的對邊分別為
b,c,a2—b2+—be=accosB.
⑴求角A；
（2）若bsinA=Gsin5,求ABC面積的最大值.
17.（2022?上海金山?二模）在ABC中，角A、3、C所對的邊分別為。、b、c.已知
2）sinA-J3a=0,且8為銳角.
⑴求角B的大小；
⑵若3c=3a+亞，證明：ASC是直角三角形.
18.（2022?湖南?湘潭一中高三階段練習(xí)）ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已
知（2a-c）sinA+（2c-a）sinC=2bsinB.
⑴求&
（2）若AABC為銳角三角形，且c=2,求ABC周長的取值范圍.
19.（2022?上海黃浦?二模）某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,04、OC為互相垂直的
墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的總長度為12米，AZBAO=ZBCO.^ZBAO=a
TT
⑴當(dāng)AB=4,a時，求AC的長；（結(jié)果精確到0.1米）
（2）當(dāng)43=6時，求OABC面積S的最大值及此時a的值.
20.（2022?上海虹口?二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABC。的區(qū)域進(jìn)行綠化，在
此綠化區(qū)域中，分別以/DCB和NDAB為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形
的圓弧均與相切.
(1)若AD=4歷，AB=3y/31,BD=37(長度單位：米)，求種植花卉區(qū)域的面積；
(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則多大時，平行四邊形綠地ABCD占地面
積最?。?/p>
［真題練)
1.(2021.全國?高考真題(理))魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其
中第一題是測海島的高.如圖，點E,H,G在水平線AC上，OE和尸G是兩個垂直于水
平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和E”都稱為“表目距”,
GC與E”的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=()
,表高x表距表高x表距
表目距的差十表問表高
,表目距的差
表圖x表距表IWJx表距_
C.+表距D.
表目距的差表目距的差一
2.(2021?全國?高考真題(文))在ABC中，已知3=120。，AC=M，AB=2,則3c=()
A.1B.&C.非D.3
3.（2021?浙江?高考真題）在ABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點，AM=2y/3,則
AC=,cos/LMAC—.
4.（2022?浙江?高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,
他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公
式，就是c2a2其中a",c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)
某三角形的三邊a=0,6=行,c=2,則該三角形的面積S=.
5.（2022?全國?高考真題（理））己知ABC中，點。在邊8C上，
ZADB=120°,AD=2,CD=2BD,當(dāng)空?取得最小值時，BD=_______.
AB
TT
6.（2022?上海?圖考真題）在AABC中，ZA=y,AB=2,AC=3,則AABC的外接圓半徑
為
7.（2021.全國?高考真題（理））記二ASC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為
22
3=60。，a+c=3ac,貝U6=.
8.（2022?全國?高考真題（理））記，ABC的內(nèi)角A氏C的對邊分別為"c,已知
sinCsin（A—B）=sinBsin（C—A）.
⑴證明：2a2=b2+c2;
25
（2）右a=5,cosA=T，求【ABC的周長.
9.（2022?全國?高考真題）記一的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,已知
cosA_sinIB
1+sinA1+cos2B
⑴若c=與，求8；
⑵求匚匕的最小值.
C
10.（2022?浙江?高考真題）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知
3
4a=GGCOSC=—.
⑴求sinA的值；
(2)若6=11,求二ABC的面積.
11.(2022?北京?高考真題)在ABC中，sin2C=73sinC.
⑴求“；
(2)若b=6,且ABC的面積為6g,求ABC的周長.
12.(2022?全國?高考真題)記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分
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