解三角形(重點(diǎn))-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微(新高考地區(qū)專(zhuān)用)(原卷版)

解三角形

【2022?全國(guó)?高考真題(理)】記&ABC的內(nèi)角A,&C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

⑴證明：2a2=b2+c\

25

(2)^a=5,cosA=—,求ABC的周長(zhǎng).

【2022?全國(guó)?高考真題】記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2B

27r

⑴若c=7，求&

⑵求匚久的最小值.

c

解答三角高考題的策略：

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”.

(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系.

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化.

兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角

形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的

實(shí)例.另外，利用正弦定理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三

角形中大邊對(duì)大角”定理及幾何作圖來(lái)幫助理解.

1.方法技巧：解三角形多解情況

在△ABC中，己知a,6和A時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

Cc

圖形

AB\--'8A'F...為AB

AB

bsinA<a<b、7a>b

關(guān)系式a=bsinAa>ba<b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解

2.在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有”,4c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到A+3+C=TT.

1.基本定理公式

（1）正余弦定理：在△A3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外

接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

=Z72+c2—2bccosA；

abci

公式———2Rb2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c?=儲(chǔ)+廿一2abcosC

.b1+C1-(i

cosA=---------------；

(1)a=27?sinA,b—2HsinB,c=27?sinC；2bc

二上-,，；c2+?2-b2

常見(jiàn)變形(2)sinA=,sinBsinC=-cosB=---------------；

2R2R2Rlac

a2+b2-c

cosC=---------------?

lab

（2）面積公式:

SAABC=—absinC=-bcsinA=—acsinB

△222

S^ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,八)

2.相關(guān)應(yīng)用

(1)正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa:Z?:c=sinA:sin6:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

A>6osinA>sin6ocosAvcosB

③合分比

a+b+c_a+bb+c_a+c_abe

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AA5C內(nèi)角和定理：A+B+C=TI

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA-^-acosC.

②—cosC=cos(A+5)=cosAcosB—sinAsinB；

③斜三角形中

「tanA+tanB八一?一

—tanC=tan(zA4+B)=-------------------otanAA+tan6+tanC=tanA4-tanB?tanC

1-tanA-tanB

④sin(*)=c°sJcos(j)=sin￡

2222

⑤在AABC中，內(nèi)角AB,C成等差數(shù)列=3=生,A+C=」.

33

3.實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角.

①北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

②北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向.

③南偏西等其他方向角類(lèi)似.

（4）坡角與坡度

①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.

②坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，，為坡度）.坡度又稱(chēng)為坡比.

1.（2022?青海?模擬預(yù)測(cè)（理））在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2=kab,

則△ABC的面積為J時(shí)，左的最大值是（）

2

A.2B.75C.4D.275

2.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且

b2+c2=<r+bc,若sinBsinC=sin2A,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

3.（2022.青海.海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

b,c.已知a=2,sin2A+3sin2B=2asin2C,貝！JcosC的最小值為.

4.（2022?上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A、B、C處各有一

個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離分別為20千米和50千米.某時(shí)刻，3收到發(fā)自

靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A、C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播

速度是L5千米/秒.

（1）設(shè)A到尸的距離為x千米，用x表示8、C到P的距離，并求x的值;

（2）求靜止目標(biāo)尸到海防警戒線AC的距離.（結(jié)果精確到0.01千米）.

cosC-2cosA

5.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanB=

sinC

a<b.

（1）求角B；

（2）若a=3,6=7,。為AC邊的中點(diǎn)，求△BCD的面積.

6.（2022?河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

2acosA=bcosC+ccosB.

（1）求角A的大小；

（2）若a=2b+c=6,求ABC的面積.

7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在,ABC中，內(nèi)角A,8,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,6,c,ABAC=6,

向量s=（cosAsinA）與向量r=（4,-3）互相垂直.

（1）求ABC的面積；

（2）若b+c=7,求。的值.

mW）

1.（2022?全國(guó)?iWj三專(zhuān)題練習(xí)）已知在AFC中，B=30,a=\[2,b=1>則A等于（）

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022?河南.南陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））ABC中，若AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)E滿(mǎn)足

21

CE=mCA+gC3,直線CE與直線AB相交于點(diǎn)。，則。的長(zhǎng)（）

A.巫B?姮C.巫D.畫(huà)

5101010

3.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若

°2-從=c2-&bc且bcosC=asin3,貝！JABC是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2022?四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））如圖所示，為了測(cè)量A,B處島嶼的距

離，小明在。處觀測(cè)，A,B分別在。處的北偏西15。、北偏東45。方向，再往正東方向行

駛40海里至C處，觀測(cè)2在C處的正北方向，A在C處的北偏西60。方向，則A,8兩處島

嶼間的距離為（）

A.20?海里B.40萌海里C.20（1+6）海里D.40海里

5.（多選題）（2022?福建?福州三中高三階段練習(xí)）ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

且a=2,sinB=2sinC,以下四個(gè)命題中正確的是（）

A.滿(mǎn)足條件的二ABC不可能是直角三角形

4

B.ABC面積的最大值為］

C.M是8C中點(diǎn)，九必的最大值為3

D.當(dāng)A=2C時(shí)，A5C的面積為空

3

6.（多選題）（2022?廣東?華南師大附中三模）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長(zhǎng)為2,底面圓直

徑為2道，A,B,C為底面圓周上的三個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，M為母線PC上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.當(dāng)A,B為底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，=120°

B.△加8面積的最大值為百

C.當(dāng)ABAB面積最大值時(shí)，三棱錐C-B4B的體積最大值為歷史

3

D.當(dāng)A8為直徑且C為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，M4+MB的最小值為小

7.（多選題）（2022?河北?滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，三邊長(zhǎng)分別為“，6,c,且而c=2,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a+b>2A/2

C.a+b2+c2>4D.a+b+c<2y/2

8.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在.ABC中，。為其外心，

正OA+2OB+OC=。，若BC=2,貝1。=.

n+h+c

9.（2022?河北?高三期中）已知一ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,p=、,

則ABC的面積S=5耳/一編⑦一與⑺一。）,該公式稱(chēng)作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿

基米德得出.若ABC的周長(zhǎng)為15,（sinA+sin8）:（sin8+sinC）:（sinC+sin4）=4:6:5,則ABC

的面積為.

10.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

a2+4b2=c2,則tanB的最大值為.

11.（2022.遼寧?沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）沈陽(yáng)二中北校區(qū)坐落于風(fēng)景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內(nèi)的

一泓碧水蜿蜒形成了一個(gè)“秀”字，故稱(chēng)“秀湖”.湖畔有秀湖閣（4）和臨秀亭（國(guó)兩個(gè)標(biāo)志性

景點(diǎn)，如圖.若為測(cè)量隔湖相望的A、3兩地之間的距離，某同學(xué)任意選定了與A、3不共

線的C處，構(gòu)成,ABC,以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案：

①測(cè)量ZA、AC、BC；

②測(cè)量ZA、DB、BC-,

③測(cè)量NC、AC.BC；

④測(cè)量ZA、NC、DB.

其中一定能唯一確定A、B兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是.

12.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABC。中，已知

3

=2,cosZBCD=——.

⑴若/CBD=45。，求8。的長(zhǎng)；

（2）若cos/AC。=，，且A8=4,求AC的長(zhǎng).

13.（2022?青海玉樹(shù)?高三階段練習(xí)（文））在3ABe中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,且aABC的面積S=?(/+c2-〃).

⑴求角B的大小；

⑵若a+無(wú)b=2c，求sinC.

14.（2022?上海浦東新?二模）已知函數(shù)/（x）=fsinx-cosx?e?

（1）若函數(shù)/（"為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)f的值；

⑵當(dāng)"白時(shí)，在4扉。中（A,B,C所對(duì)的邊分別為a、6、c）,若/（2A）=2,c=3,且二A5c

的面積為2VL求。的值.

15.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）記,ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

cosA_sin23

1+sinAl+cos2B

⑴若c=（27r求氏

⑵求二￡的最小值.

c

16.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在,ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為

b,c,a2—b2+—be=accosB.

⑴求角A；

（2）若bsinA=Gsin5,求ABC面積的最大值.

17.（2022?上海金山?二模）在ABC中，角A、3、C所對(duì)的邊分別為。、b、c.已知

2）sinA-J3a=0,且8為銳角.

⑴求角B的大小；

⑵若3c=3a+亞，證明：ASC是直角三角形.

18.（2022?湖南?湘潭一中高三階段練習(xí)）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已

知（2a-c）sinA+（2c-a）sinC=2bsinB.

⑴求&

（2）若AABC為銳角三角形，且c=2,求ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

19.（2022?上海黃浦?二模）某公園要建造如圖所示的綠地Q4BC,04、OC為互相垂直的

墻體，已有材料可建成的圍欄AB與BC的總長(zhǎng)度為12米，AZBAO=ZBCO.^ZBAO=a

TT

⑴當(dāng)AB=4,a時(shí)，求AC的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到0.1米）

（2）當(dāng)43=6時(shí)，求OABC面積S的最大值及此時(shí)a的值.

20.（2022?上海虹口?二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形ABC。的區(qū)域進(jìn)行綠化，在

此綠化區(qū)域中，分別以/DCB和NDAB為圓心角的兩個(gè)扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個(gè)扇形

的圓弧均與相切.

(1)若AD=4歷，AB=3y/31,BD=37(長(zhǎng)度單位：米)，求種植花卉區(qū)域的面積；

(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為135。，則多大時(shí)，平行四邊形綠地ABCD占地面

積最??？

［真題練)

1.(2021.全國(guó)?高考真題(理))魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其

中第一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，OE和尸G是兩個(gè)垂直于水

平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC和E”都稱(chēng)為“表目距”,

GC與E”的差稱(chēng)為“表目距的差”則海島的高AB=()

,表高x表距表高x表距

表目距的差十表問(wèn)表高

,表目距的差

表圖x表距表IWJx表距_

C.+表距D.

表目距的差表目距的差一

2.(2021?全國(guó)?高考真題(文))在ABC中，已知3=120。，AC=M，AB=2,則3c=()

A.1B.&C.非D.3

3.（2021?浙江?高考真題）在ABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn)，AM=2y/3,則

AC=,cos/LMAC—.

4.（2022?浙江?高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱(chēng)為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公

式，就是c2a2其中a",c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)

某三角形的三邊a=0,6=行,c=2,則該三角形的面積S=.

5.（2022?全國(guó)?高考真題（理））己知ABC中，點(diǎn)。在邊8C上，

ZADB=120°,AD=2,CD=2BD,當(dāng)空?取得最小值時(shí)，BD=_______.

AB

TT

6.（2022?上海?圖考真題）在AABC中，ZA=y,AB=2,AC=3,則AABC的外接圓半徑

為

7.（2021.全國(guó)?高考真題（理））記二ASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為

22

3=60。，a+c=3ac,貝U6=.

8.（2022?全國(guó)?高考真題（理））記，ABC的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為"c,已知

sinCsin（A—B）=sinBsin（C—A）.

⑴證明：2a2=b2+c2;

25

（2）右a=5,cosA=T，求【ABC的周長(zhǎng).

9.（2022?全國(guó)?高考真題）記一的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知

cosA_sinIB

1+sinA1+cos2B

⑴若c=與，求8；

⑵求匚匕的最小值.

C

10.（2022?浙江?高考真題）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知

3

4a=GGCOSC=—.

⑴求sinA的值；

(2)若6=11,求二ABC的面積.

11.(2022?北京?高考真題)在ABC中，sin2C=73sinC.

⑴求“；

(2)若b=6,且ABC的面積為6g,求ABC的周長(zhǎng).

12.(2022?全國(guó)?高考真題)記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分