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文檔簡介
2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷(天津卷)
一、選擇題,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.(共9題;共45
分)
1.設(shè)集合A=[-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},貝!I(力nB)UC=()
A.{0}B.{0,1,3,5}C.[0,1,2,4}D.{0,2,3,4}
【答案】C
【考點】并集及其運算,交集及其運算
【解析】【解答】解:由題意得AnB={l},則(AnB)UC={0,1,2,4}
故答案為:C
【分析】根據(jù)交集,并集的定義求解即可.
2.已知aeR,貝〃a>6"是"a?>36"的()
A,充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不允分也不必要條件
【答案】A
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷
【解析】【解答】解:當(dāng)a>6時,a2>36,所以充分性成立;
當(dāng)a?>36時,a<-6或a>6,所以必要性不成立,
故"a>6"是%2>36”的充分不必要條件.
故答案為:A
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解即可.
【答案】B
【考點】函數(shù)的值域,奇偶函數(shù)圖象的對稱性
【解析】【解答】解:/(一久)=搭公=器=/(久),則函數(shù)/(無)=署是偶函數(shù),排除A,C,
當(dāng)xG(O,l)時,ln|x|<0,x2+2>0,則f(x)<0,排除D.
故答案為:B
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC,再由xG(O,l)時,耳x)<0,排除D,即可得解.
4.從某網(wǎng)格平臺推薦的影視作品中抽取400部,統(tǒng)計其評分分?jǐn)?shù)據(jù),將所得400個評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組:
[66,70),[70,74),…,[94,98],并整理得到如下的費率分布直方圖,則評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品
A.20B.40C.64D.80
【答案】D
【考點】頻率分布直方圖
【解析】【解答】解:由頻率分布直方圖可知,評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是400x0.05x4=80.
故答案為:D
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.
5.設(shè)a=log0.3,b=log20.4,c=。.它,則。,,的大小關(guān)系為()
22bc
l\.a<b<c8.c<a<bC.b<c<a0.a<c<b
【答案】D
【考點】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域,對數(shù)函數(shù)的值域與最值
【解析】【解答】解::log20.3<log21=0,-*.a<0
Vlogi0.4log20.4=log21>log22=1,b>l
2Z
V0<0.4°3<0.4°=l,A0<c<l
.*.a<c<b
故答案為:D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a,c,b的范圍即可求解.
6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面,頂點均在球面上,若球的體積為軍,兩個圓錐的高之比為1:3,
則這兩個圓錐的體積之和為()
A.37rB.47rC.97rD.127r
【答案】B
【考點】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺),棱柱、棱錐、棱臺的體積
【解析】【解答】解:如下圖所示,設(shè)兩個圓錐的底面圓圓心為點D,
設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3:1,即AD=3BD,
設(shè)球的半徑為R,則空應(yīng)=如,解得R=2,
33
所以AB=AD+BD=4BD=4,
所以BD=1,AD=3
VCD1AB,
ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°
;.NCAD=/BCD
又因為/ADO/BDC
所以△ACDs/\CBD
所哨唱
CD=AD-BD^y/3
,這兩個圓錐的體積之和為/口XCD2X(AD+BD)=2"X3X4=4n
故答案為:B
【分析】作出圖形,求得球的半徑,進(jìn)而求得兩圓錐的高,利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑,
再結(jié)合錐體的體積公式求解即可.
7.若2a==10,則工+/=()
ab
A.-1B.lg7C.1D.log710
【答案】C
【考點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化,換底公式的應(yīng)用
【解析】【解答】解:由2。=5b=10得a=log210,b=log510,
1111
貝咕1=—=l2+IgS=IglO=1
J+g
'ablog210log510?a
故答案為:C
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化,結(jié)合換底公式求解即可.
8.已知雙曲線捺-r=l(a>0乃>0)的右焦點與拋物線/=2px(p>0)的焦點重合,拋物線的準(zhǔn)線交
雙曲線于4,B兩點,交雙曲錢的漸近線于C、。兩點,若|CD|=a|48|.則雙曲線的離心率為()
A.V2B.V3C.2D.3
【答案】A
【考點】拋物線的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)
【解析】【解答】解:設(shè)雙曲線《—9=l(a>0,b>0)與拋物線y2=2px(p>0)的公共焦點為(c,0),
則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為x=-c
將X=-C代入捺—,=1,得《―r=1,解得y=壬9,所以MB|=?,
又因為雙曲線的漸近線為y=H梟,所以|m=手,
所以如=空空,貝隈=&b
aa
所以次=c2—b2=^C2
所以雙曲線的離心率為e=-=V2
a
故答案為:A
【分析】根據(jù)雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì),結(jié)合離心率的定義求解即可.
2m
9.設(shè)aER,函數(shù)f(x)={2::(空、1匚無10,若f(x)在區(qū)間(0,+刃)內(nèi)恰有6個專
-2(a+l)x++5,x>a7
點,則a的取值范圍是()
人(2幣乂|爭B.0,2)U(|,為
C.(2,J]U[^,3)D.62)“斗,3).
【答案】A
【考點】函數(shù)零點的判定定理
【解析】【解答】解::x2-2(a+l)x+a2+5=0最多有2個根,
cos(2nx-2na)=0至少有4個根,
由27Tx-2?ra=9+k口,k6Z>W-x=1+^+a,keZ
由0V—I---Q得一2a——
24F<U2kV——2
⑴當(dāng)x<a時,當(dāng)—52a-2V—4時,f(x)有4個零點,即:VaV?;
244
當(dāng)—64—2a—:V—5時,f(x)有5個零點,即gVa<斗;
Z44
當(dāng)—7<—2a-<-6時,f(x)有6個零點,即¥Va<芋;
244
(2)當(dāng)x>a時,f(x)=x2-2(a+l)x+a2+5
△=4(a+l)2-4(a2+5)=8(a-2)
當(dāng)a<2時,A<0,f(x)無零點;
當(dāng)a=2時,A=O,f(x)有1個零點;
當(dāng)a>2時,令f(a)=a2-2(a+l)a+a2+5=-2a+520,貝I]2<a<■!,此時f(x)有2個零點;
所以若a>£時,f(x)有1個零點;
綜上,要是f(x)在[0,+8)上有6個零點,則應(yīng)滿足
911
-7<,a</-夕11//13、
44-4<a<4———<a<——
或?或44
2<a<|,a=2或a>"Ia<2,
則a的取值范圍是(2,?]U信力
424
【分析】由x2-2(a+l)x+a2+5=O最多有2個根,可得cos(2n:x-2n;a)=0至少有4個根,再結(jié)合分類討論思想,
根據(jù)x<a與x>a分類討論兩個函數(shù)零點個數(shù)情況,再綜合考慮求解即可.
二、填空題,本大題共6小題,每小題5分,共30分,試題中包含兩個空的,答對1個的
給3分,全部答對的給5分.(共6題;共30分)
1?!故翘摂?shù)單位,復(fù)數(shù)器=
【答案】4-i
【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算
【解析】【解答】解:由題意得2+要i=屋(2+我i)(一2-i);)=空5==4一i
故答案為:4-i
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求解即可.
11.在(2爐+:)6的展開式中,久6的系數(shù)是
【答案】160
【考點】二項式定理,二項式定理的應(yīng)用
6
【解析】【解答】解:(2久3+I)的展開式的通項公式是Tr+1=禺(2爐)6-1]=26-r.Cr.x18-4r
令18-4r=6,得r=3
所以%6的系數(shù)是23熊=160
【分析】根據(jù)二項式的展開式通項公式求解即可.
12.若斜率為舊的直線與y軸交于點A,與圓x2+(y-I)2=1相切于點B,則\AB\=.
【答案】V3
【考點】直線的斜截式方程,點到直線的距離公式,直線與圓的位置關(guān)系
【解析】【解答】解:設(shè)直線AB的方程為y=+6,則點A(O,b)
:直線AB與圓久2+(y一1)2=1相切
??.掾=1,解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又:|BC|=1
^\AB\=y/\AC\2-\BC\2=V3
故答案為:V3
【分析】根據(jù)直線的斜截式方程,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式求解即可.
13.若a>0">0,則g+b的最小值為.
【答案】2V2
【考點】基本不等式,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
[解析][解答]解:Va>0,b>0
?.,"*+b22『l+b="b22E^=2a
當(dāng)且僅當(dāng)5=*且:=b,即a=6=a時等號成立
所以,+苴+b的最小值是2魚.
【分析】利用基本不等式求解即可.
14.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語,若一方猜對且另一方猜錯,則猜對的一方獲勝,否則本次
平局,已知每次活動中,甲、乙猜對的概率分別為:和《,且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響,各
次活動也互不影響,則一次活動中,甲獲勝的概率為,3次活動中,甲至少獲勝2次的概率為
【考點】相互獨立事件的概率乘法公式,n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率
【解析】【解答】解:由題意知在一次活動中,甲獲勝的概率為=;,
653
則在3次活動中,甲至少獲勝2次的概率為禺乂但丫乂工+(43=空
3\3/3\3727
故答案為:P4
【分析】根據(jù)甲猜對乙沒猜對可求出一次活動中,甲獲勝的概率,再根據(jù)n次獨立重復(fù)試驗的概率求法求
解即可.
15.在邊長為1的等邊三角形ABC中,。為線段BC上的動點,DELAB且交AB于點E.且
交AC于點F,則\2BE+DF\的值為;(DE+DF)-DA的最小值為.
【答案】1;弓
【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,向量的模,平面向量數(shù)量積的運算
【解析】【解答】解:設(shè)BE=x,%G(0,1)
?/△ABC為邊長為1的等邊三角形,DE±AB
.?.ZBDE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=l-2x
DF//AB
.?.△DFC為邊長為l-2x的等邊三角形,DE±DF
/—,\2,f
I2BE+DF\=4BE2+ABE?DF+DF2=4x2+4x(1-2x)?cosO°+(1-2x)2=1
???2BE+DF=1
^DE+DF)?DA=(DE+Df)?(oE+£71)=DE2+DF?EA
—+(1—2x)X(1—x)=5%2—3%+1=5(%—卷)+
則當(dāng)x=總時,(DE+DF)取得最小值為外
故答案為:1,
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量的求模公式,再結(jié)合二次函數(shù)的最值問題求解即可.
三、解答題,本大題共5小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程成演算步驟.(共
5題;共75分)
16.在AABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinAsinbsinC=2:1:近,b=
(1)求a的值;
(2)求cosC的值;
(3)求sin(2C.)的值.
【答案】(1)因為sinAsinbsinC=2:1:a,由正弦定理可得a:6:c=2:1:位,
b—V2,a—2Vxe=2;
8+2—43
(2)由余弦定理可得cosC=
2X2V2XV24
3________________Fj
⑶???cosC=「;.sinC="—cos2c=7,
sin2C=2sinCcosC=2X—X-=,cos2c=2cos?C-1=2X——1=-,
448168
所以sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin-=x---X-=.
666828216
【考點】兩角和與差的正弦公式,二倍角的正弦公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,正弦定理,余弦定
理
【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理直接求解即可;
(2)根據(jù)余弦定理直接求解即可;
(3)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角公式以及兩角差的正弦公式求解即可.
17.如圖,在棱長為2的正方體ABC。—中,E為棱BC的中點,F(xiàn)為棱C。的中點.
(1)求證:DrF//平面A1EC1;
(2)求直線4Ci與平面A1ECi所成角的正正弦值.
(3)求二面角4一&Ci—E的正弦值.
【答案】(1)以4為原點,AB,AD,AAX分別為x,y,z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
則力(0,0,0),4(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),0(020),的(2,2,2),%(0,2,2),
因為E為棱BC的中點,F(xiàn)為棱CD的中點,所以E(2,l,0),F(l,2,0),
所以D^F=(1,0,-2),41以=(2,2,0),A^E=(2,1,-2),
設(shè)平面&ECi的一個法向量為m=(x1,y1,z1),
則j記麗=2/+2%=0,令/=2,則記=(2,-2,1),
m?A±E=2/+yi—2zi=0
因為印?布=2—2=0,所以D^Flm,
因為%FC平面A1EC1,所以D\F〃平面力出的;
(2)由(1)得,宿=(2,2,2),
設(shè)直線4Q與平面力亞的所成角為3,
2_V3
則sin”|cos(或匝=13X2V3-9;
(3)由正方體的特征可得,平面AA1C1的一個法向量為DB=(2,-2,0),
則DBjn)==誓,
cos<\黑DB二\-\?m\=3X2V23
2
所以二面角A—A1C1—E的正弦值為-cos^DB^rn)=g-
【考點】直線與平面平行的判定,用空間向量求直線與平面的夾角,二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)根據(jù)向量垂直的充要條件求得平面&EM的一個法向量藍(lán),再利用向量法直
接求證即可;
(2)先求出“,再由sin。=cos<犯4c1>求解即可;
/1C1
fncM?DB
(3)先求出平面A&C1的一個法向量,再由C0S<m>DB>=H一=結(jié)合同角三角函數(shù)的平方
m-\DB\
關(guān)系求解即可.
18.已知橢圓捺+/=1(a〉6>0)的右焦點為F,上頂點為B,離心率為等,且出可=4.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線/與橢圓有唯一的公共點M,與y軸的正半軸交于點N,過N與BF垂直的直線交x軸于
點P.若MP//BF,求直線/的方程.
【答案】(1)易知點F(G0)、B(0,b),故\BF\=Vc2+h2=a=V5,
因為橢圓的禺心率為e=£=^^,故c=2,b=Va2—c2=1,
a5
因此,橢圓的方程為-+y2=l;
5J
(2)9+y2=
設(shè)點M(%o,yo)為橢圓1上一點,
先證明直線MN的方程為管+y0y=1,
當(dāng)+y°y=i
聯(lián)立{12消去y并整理得/-2久°久+說=0△=4Xg—4%=0,
w+y2=]
因此,橢圓=+y2=1在點M(x0,y0)處的切線方程為誓+y0y=1.
53
11
在直線MN的方程中,令x=0,可得y=,由題意可知y0>0,即點N(0*),
直線BF的斜率為kBF1,所以,直線PN的方程為y=2x+^,
在直線PN的方程中,令y=0,可得x=一十1,即點P(一1白,0),
zyozyo
yn2y2i
因為MP//BF,則kMP=kBF,即£巨=藐總=—5,整理可得(x0+5yo)2=O,
2yo
所以,%o=—5yo,因為系+%=6羽=1,?,?%>。,故y()=彳,%o=-乎,
所以,直線I的方程為—如%+更y=l,即x-y+V6=0.
66
【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓錐曲線的綜合問題
【解析】【分析】(1)先求出a值,結(jié)合a,b,c的關(guān)系求得b,從而求得橢圓的方程;
(2)設(shè)M(xo,y。),可得直線I的方程爭+%'=1,求出點P的坐標(biāo),再根據(jù)MP〃BF得KMP=KBF,求
得x0,y0的值,即可得出直線I的方程
19.已知{冊}是公差為2的等差數(shù)列,其前8項和為64.{%}是公比大于0的等比數(shù)列,瓦=4乃3-無=
48.
(1)求{an}和也}的通項公式;
1
(2)記c=Z?2n+—GAf*.
n%
(i)證明{*—C2n}是等比數(shù)列;
【答案】(1)因為{期}是公差為2的等差數(shù)列,其前8項和為64.
所以的+4+,+。8=8%H---X2=64,所以=1,
所以即=%+2(九一1)=2幾一l,n6N*;
設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為q,(q>0),
22
所以b3-b2=bTq-bxq=4(q-q)=48,解得q=4(負(fù)值舍去),
所以bn=bqT=4,716N*;
(2)(i)由題意,Cn=b2n+F=42n+?,
bn4
224
所以cl-c2n=(4"+^)-(4"+^)=2.4",
所以Cn-c2n*0,且,堂_;"2=去-=4,
Gic2n
所以數(shù)列{*-C2J是等比數(shù)列;
。施+1__(2九一1)(2九+1)4n2-14n2
(ii)由題意知,2-22n42.22n
Cn-C2n2-4n
建+i/4n2_2n_J_.n
所以2nn71
Jcl-c2n\2-2-V2-2-V2?2T
設(shè)7n=2仁1尹=區(qū)+耳+齊+?+馬,
則箱=*+,+卷+.+F,
兩式相減得箱=1+|+^+'+a-年=1:;")一£=2一崇,
2
所以Tn=4—需',
【考點】等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的前n項和,等比數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和,數(shù)列
的求和
【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解即可;
(2)(i)運算可得鬣一C2n=2?平,結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證;
(ii)利用放縮法得卷黑<羔,進(jìn)而可得21花〈專2L霜,結(jié)合錯位相減法
即可得證.
20.已知a>0,函數(shù)/'(%)=ax—久.
(1)求曲線y=/(%)在點(0/(0))處的切線方程:
(2)證明"%)存在唯一的極值點
(3)若存在a,使得/(x)Wa+6對任意xeR成立,求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】(1)/(%)=a-(x+l)ex,貝1J/'(0)=a-l,
又/(0)=0,則切線
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