2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考1）：空間向量的概念與運(yùn)算

§7.6空間向量的概念與運(yùn)算

【考試要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正

交分解及其坐標(biāo)表示2掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其

坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

(或平行向量)

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對任意兩個(gè)空間向量a,b(b^O),的充要條件是存在實(shí)數(shù)加使a=M.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,方不共線，那么向量。與向量a,共面的充要條件是存

在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,>),使。=皿+皿.

(3)空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,?

z),使得p=_ra+y)+zc,{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積

非零向量”，入的數(shù)量積a0=|a||例cos〈a,b).

(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(ai，°2，。3)，b=(bi>b”63).

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b久一+公歷+重力3

共線a=Xb

SW0,屆R)

ab=Q

垂直.邊i+〃2岳+a3b3=0

(aWO,bW。)

模l?lq曷+星+后

/口abcos〈a,b〉=

夾角余C0S

〈"'b)-MW

〃1"+〃2-2+4363

弦值

(aWO,b中0)q鬲+3+星.qb^+bi+孱

4.空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量。的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此

向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

(3)空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

h//hHl//=%〃2(2￡R)

直線/1，/2的方向向量分別為〃2

/山2_L〃2<4〃「〃2=0

直線/的方向向量為〃，平面a的法向I//an.Lm^nm=0

量為m,l(ta/_Lan//m^n=2m(A￡R)

a//Pn//m^n—Xm(X￡R)

平面a,0的法向量分別為n,m

a_L￡n.Lm^nm=0

【常用結(jié)論】

1.在平面中，A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：應(yīng)=尤協(xié)+》(元(其中x+y=l),。為平面

內(nèi)任意一點(diǎn).

2.在空間中，P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是：赤=尤應(yīng)+>協(xié)+z(5h其中無+y+z=

1),。為空間中任意一點(diǎn).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)直線的方向向量是唯一確定的.(X)

(2)若直線。的方向向量和平面a的法向量平行，則?！╝.(X)

(3)在空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0,b,c).(V)

(4)若a3<0,貝I〈a,b>是鈍角.(X)

【教材改編題】

1.若｛〃，b,c｝為空間向量的一個(gè)基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底的是（）

A.{a,a+b,a-b}

B.{"a-\-b,a-b}

C.{c,a-\-b,a-b}

D.{〃+》，a~b,a-\~2b}

答案C

解析,.?癡+〃伙九〃￡R）與Q,8共面.

:.A,B,D不正確.

2.如圖，在平行六面體ABC。一A/1C1D1中，M為4G與囪。1的交點(diǎn).若贏=〃，AD=b,

高=c,則下列向量中與麗耕目等的向量是（）

A.一呼+m+cB.1a+]b+c

-11,clhI

C.—5a—另。十cD^a-yb-rc

答案A

解析由題意，根據(jù)向量運(yùn)算的幾何運(yùn)算法則，

-AAAA1-A-?

BM=BBi+BxM=AA\+］（A。一A5）

=。+3（5一。）

1,1,

=一呼十十c.

3.設(shè)直線/1，/2的方向向量分別為〃=（—2,2,1）,）=（3,-2,m）,若/」/2,則根=.

答案10

解析V/i±Z2,：.aIb,

：?ab=-6—4+m=0,：?m=10.

■探究核心題型

題型一空間向量的線性運(yùn)算

例1如圖所示，在平行六面體ABCD—AiBiGd中，設(shè)涵=a,矗=b,Ab=c,M,N,P

分別是AAi，BC,GA的中點(diǎn)，試用a,b,c表示以下各向量：

-)C

w

(1)AP；(2)加；(^MP+NCi.

解⑴：尸是CQ的中點(diǎn)，

：.AP^AAx+乖=涵+IZDI+5ZP

=AAI+AD+^DC

=〃+c+浮5

=a+c+^b.

(2)??，N是BC的中點(diǎn)，

：.A^N=A^A+AB+BN

1一

=?a~\~b~\~~^BC

1一

=—。+8+，4力

=—a+b+^c.

(3)?；M是A4i的中點(diǎn),

>>>1—A—?

：.MP=MA+AP=^AiA+AP

=—ga+m+c+T。)

1,1,

=呼十電十c.

—?—?—?1—?—?

又NG=NC+CCi=產(chǎn)+A4i

MP+NCi=go+cj+

=呼+尹呼.

【教師備選】

如圖，在三棱錐。一A8C中，M,N分別是。4,8C的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量

OA,OB,oc表示5b,則下列表示正確的是()

A.^OA+^OB+^OC

B.^OA+；而+^OC

C.—TOA+gOB+TOC

633

D.^OA+^OB+^OC

答案D

解析A^=MA+AG=^OA+^^=-^OA+^ON—OA)

=|dA+|^(OB+OQ-OA^

=—7OA+^OB+^OC.

633

OG=OM+MG=T：OA.—2PA+\OB+^；OC=\OA.+\OB+\OC.

2633333

思維升華用基向量表示指定向量的方法

(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?寧波模擬)如圖，在三棱錐。一ABC中，點(diǎn)P,。分別是。4,8c的中

點(diǎn)，點(diǎn)。為線段尸。上一點(diǎn)，且麗=2曲，若記殖="，OB=b,OC=c,則礪等于()

O

111

--

33

-6°

11111

--D十^

于630

3a

答案A

解析ob=ap+pb=^OA+^PQ

1—?2—?—?

=]04+](0。一0尸)

=^OA+^OQ—^OP

=^0A+|x^(5B+dC)—1x^OA

=~^OA+*5+goC

1,1,1

=6a+3b+3c'

(2)在正方體ABCD-AiBiCiDx中,點(diǎn)F是側(cè)面CDDiCi的中心，若嬴=蕨+'贏+z說,

則x—y+z等于()

A.；B.1C.1D.2

答案B

解析AF=Ab+5r=Ab+1(5Di+5iCi)

=AD+^(AA\+A1B1)

=AD+^(AAi-\-AB)

=AD+%3+2AAi,

貝|x=l,y=yz=T，貝!|x—y+z=l.

題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用

例2已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)。，若點(diǎn)M滿足血=；(宓+而+

OC).

(1)判斷向，MB,證三個(gè)向量是否共面;

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

解(1)由題知近+而+歷=3而，

所以亦一血=(血一協(xié))+(血一灰〉

即屆=血+屈=-MB-MC,

所以向，MB,而共面.

(2)方法一由(1)知，MA,MB,而共面且基線過同一點(diǎn)M,

所以M,A,B,C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).

—?1—?—?—?

萬法二因?yàn)?M=](。4+。2+。0

=goA+；O8+；OC,

又因?yàn)?+；+；=1,

所以M,A,B,C四點(diǎn)共面，從而M在平面ABC內(nèi).

【教師備選】

如圖所示，已知斜三棱柱ABC—AiSG，點(diǎn)M,N分別在AG和BC上，且滿足病=麻;,

麗=辰?(0WLW1).判斷向量血是否與向量贏，然共面.

解因?yàn)閱?京君，BN=kBC,

所以^^=屈+西+麗

=kC1A+AB+kBC

=k(C^A+BC)+AB=k(C^A+B^Cl)+AB

=kB^A+AB

^AB-kABx=AB-k(AAx+AB)

—(1—k)AB—kAAi,

所以由共面向量定理知向量血與向量還，念共面.

思維升華證明空間四點(diǎn)尸，M,A,8共面的方法

(1)MP=xMA+yMB;

(2)對空間任一點(diǎn)。，OP=OM+xMA+yMB;

（3）對空間任一點(diǎn)O,OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=l）;

（4）麗〃誦（或滴〃訕或訪〃Qf）.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（多選）（2022?武漢質(zhì)檢）下列說法中正確的是（）

A.⑷一|Z>|=|a+臼是小6共線的充要條件

B.若施，而共線，則A8〃CD

C.A,B,C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)O,若蘇=彳應(yīng)協(xié)+3沆，貝UP,A,B,C

四點(diǎn)共面

D.若尸，A,B,C為空間四點(diǎn)，且有麗=4訪+〃訖（沌，正不共線），則力+〃=1是A,B,

C三點(diǎn)共線的充要條件

答案CD

解析由同一|臼=|a+例，可得向量a,b的方向相反，此時(shí)向量“，&共線，反之，當(dāng)向量a,

分同向時(shí)，不能得到|。|一|臼=|。+臼，所以A不正確；

若西，麗共線，則A8〃C?；駻,B,C,。四點(diǎn)共線，所以B不正確；

由4,B,C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)。，

若澇上瀝+J2+家，

OO

311

因?yàn)椋?w+五=1,

（400

可得P,A,B,C四點(diǎn)共面，故C正確；

若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，

且有麗=力麗+〃正（兩，死不共線），

當(dāng)2+〃=1時(shí)，即“=1一九

可得以一的=4（而+磅），

即之=2亦

所以A,B,C三點(diǎn)共線，反之也成立，即4+〃=1是A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件，所以

D正確.

（2）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。為平面ABC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足向=耳+物+

|而，則點(diǎn)M（填“屬于”或“不屬于"）平面ABC.

答案屬于

解析OM=^OA+1OB+|BC=^OA+1OB+1（OC—OB）=^OA+^OB+|OC,

：.M,A,B,C四點(diǎn)共面.

即點(diǎn)Me平面ABC.

題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

例3如圖所示，已知空間四邊形A8CD的每條邊和對角線長都等于1,點(diǎn)F,G分別是

AB,AD,CO的中點(diǎn)，計(jì)算：

(l)EF-BA.

(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

解設(shè)AC—b,AD-c.

則⑷=|臼=|c|=l,

(a,b)=(Z>,c)=〈c,a)=60°,

一1一11

(1)￡F=2^=2C―呼，

—?1—?—?11

(2)AG=/(AC+A0=]O+]c,

CE=CA+AE=-b+^a,

cos〈忘CE)=①逵

___2_=_2

由于異面直線所成角的范圍是（o,j,

2

所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為東

【教師備選】

已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長是2,則前?麗

的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[0,2]C.[h4]D.[b2]

答案B

解析設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為。，

則OM=ON=1,

俞的=（而+血）（歷+蘇）=而2+南（血+蘇）+痂.而，

,:MN為球0的直徑，

：.OM+ON=0,OM-ON=-1,

：.PMPN=PO--1,

又尸在正方體表面上移動(dòng)，

...當(dāng)P為正方體頂點(diǎn)時(shí)，|用|最大，最大值為小；當(dāng)P為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時(shí)，|用|最

小，最小值為1,

：.PO2-l^[0,2],

即方茄麗的取值范圍為[0,2],

思維升華由向量數(shù)量積的定義知，要求。與占的數(shù)量積，需已知|臼和〈a,b）,a與b

的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a力計(jì)算準(zhǔn)確.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在四棱柱ABCD4bBlc中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的

三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。.

⑴求AG的長；

(2)求證：ACi±B￡＞；

⑶求BDi與AC夾角的余弦值.

(1)解記AB=a,AD—b,AAi—c,

則|a|=|b|=|c|=l,

{a,b)—(b,c)—〈c,a)=60°,

??a，b=b，c=c，a=,

|ACi|2=(a+ft+c)2

=a1+b2+c2+2(a-b+b'c+c'a)

=1+1+1+2義弓+]+2=6,

：.\ACt\=y[6,即AG的長為黃.

9

(2)證明\ACi=a+b+c9BD=b-a,

：.AaBD=(a+b+cy(b-a)

=(i'b~\~\b^~\~b'C-I。/—a-b—a-c=O.

：.ACi±BD,：.ACx±BD.

(3)解BD\=b~\~c—a,AC—a~\~b,

???I麗尸表，|啟|=小，

BAAC=(Z>+c-a)(a+/>)

=b2—a2+ac-\-bc=\.

..麗病逅

??cos〈BDi,AC〉———二.

\BD{\\AC\

.,.AC與BDi夾角的余弦值為乎.

題型四向量法證明平行、垂直

例4如圖，在四棱錐尸一ABCD中，E4_L底面ABC。，AD1AB,AB//DC,AD=DC^AP

=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明：

(1)B￡±￡)C；

(2)BE〃平面PAD-,

⑶平面PCZ)_L平面PAD.

證明依題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1,0,0),C(2,2,0),

0(0,2,0),尸(0,0,2).由。為棱PC的中點(diǎn),#￡(1,1,1).

z

P

E

C

A~

⑴西=(0,1,1),

5b=(2,o,o),

故嘉慶二o,

所以BELDC.

(2)因?yàn)锳8_L4。，又R1_L平面ABC。，

ABU平面ABC。，

所以A8_LB4,PA^AD^A,PA,AOU平面必。,

所以AB_L平面PAD,

所以贏=(1,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量，

而靛?施=(0,1,1>(1,0,0)=0,

所以BELAB,

又B項(xiàng)平面PAD,

所以BE〃平面PAD.

(3)由(2)知平面PAD的法向量通=(1,0,0),

麗=(0,2,-2),

虎=(2,0,0),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-PD=3

則＜

_n-5c=0,

2y—2z—0,

即

2x=0,

令y=l,可得"=(0,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.

且n-AB=(0,l,1).(1,0,0)=0,

所以“，惑.

所以平面E4Q_L平面PCD.

【教師備選】

如圖，已知A4i_L平面ABC,BBx//AAI,AB=AC=3,BC=2小,AAi=巾，BBi=2幣，點(diǎn)、

E和B分別為8C和AiC的中點(diǎn).

(1)求證：E尸〃平面A1818A；

(2)求證：平面AE4J_平面8C81.

證明因?yàn)锳B=AC,E為BC的中點(diǎn)，所以4ELBC.

因?yàn)?4i_L平面ABC,AA1//BB1,

所以以過E作平行于5囪的垂線為z軸，EC,胡所在直線分別為x軸、y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳8=3,BE=4,

所以AE=2,

所以E(0,0,0),C郃,0,0),

A(0,2,0),

B(一事,0,0),Bi(-木,0,2?.

Ai(0,2,巾)，則從^,1,孝］

(1)繇=停1,用,贏=(一小，-2,0),

A4i=(0,0,幣).

設(shè)平面A41315的一個(gè)法向量為//=(x,y,z),

nAB=0,

則《

nAAi=0,

l（x=-2,

（r—y]5x—2y=0,

所以1r取力=小，

〔巾z=0,

〔z=0,

所以n=（-2,小,0）.

因?yàn)闈?jì)?”=坐義（-2）+1義小+*><0=0,

所以用_L”.

又EFC平面AiBBA,

所以EF〃平面AiBiBA.

(2)因?yàn)镋CJ_平面AE4i,

所以比=(小，0,0)為平面AEAi的一個(gè)法向量.

又區(qū)4J_平面BCBi,

所以血=(0,2,0)為平面BCBi的一個(gè)法向量.

因?yàn)楸?西=0,所以病_L血,

故平面AEAi_L平面BCBi.

思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條

件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素).

(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)

定理.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PADL

底面ABC。，且E4=PD=半A。，設(shè)E,尸分別為PC,BD的中點(diǎn).

求證：(1)EF〃平面E4D；

⑵平面平面PDC.

證明(1)如圖，取4。的中點(diǎn)O,連接OP,OF.

因?yàn)榕?P。，所以PO_LAD

又側(cè)面Rir)_L底面ABC。，平面E4￡>Cl平面ABC。=A。，POu平面必。,

所以PO_L平面4BCD

又0,尸分別為A。，2。的中點(diǎn),

所以O(shè)F//AB.

又四邊形A8CD是正方形,

所以O(shè)F_LAD

因?yàn)?4=P￡>=當(dāng)AD

所以必_LPO,OP=OA=^.

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAfOF,O尸所在直線分別為1軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

貝ijA整0,0),的，*0),

—今0,°)尸(°，仇f)，

3整。)，。)

因?yàn)槭癁槭?。的中點(diǎn)，

所以4號f,雪.

易知平面PAD的一個(gè)法向量為

OF=^0,0),

因?yàn)槌?俘,0,OF-EF=(0,右0).俘,0,-1)=0.

且瓦過平面出￡>,所以EF〃平面也D

(2)因E為7Bf4=(aj,0c,—2J,

CD=(0,-a,0),

__*--?(aci\

所以NCD弋,0,-2^-(0,-a,0)=0,

所以該

所以PALCD.

又FALPD,PDCCD=D,PD,CDU平面P￡)C,

所以出_1_平面尸。C.又B4U平面研3,所以平面%2_1平面尸。C.

課時(shí)精練

過基礎(chǔ)保分練

1.已知”=(2,1,—3),6=(0,-3,2),c=(—2,l,2),則0(b+c)等于()

A.18B.-18C.3^2D.一3小

答案B

解析因?yàn)閆>+c=(-2,—2,4),

所以a-(Z>+c)=-4-2-12=-18.

2.已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若協(xié)+z沆(無，y,zGR),

則“x=2,y=—3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”的()

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由x+y+z=l,得尸，A,B,C四點(diǎn)共面，

當(dāng)尸，A,B,C四點(diǎn)共面時(shí)，x+y+z=l,顯然不止2,—3,2.

故"x=2,y=—3,z=2”是“尸，A,B,C四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.

3.已知空間向量”=(1,0,1),6=(1,1,?)-且a為=3,則向量。與8的夾角為()

A76CB-73TCT27rDT57t

答案A

解析由題意，a仍=1+0+九=3,

解得幾=2,

又⑷=、1+0+1=也,1例=41+1+4=加,

所以cos〈a,b>一麗—而樂—2'

又〈〃，b)￡[0,兀],

所以。與％的夾角為專

4.直線/的一個(gè)方向向量為(2,1,1),平面a的一個(gè)法向量為(4,2,2),貝1()

A.I//a

B.l.La

C./〃。或/u。

D./與a的位置關(guān)系不能判斷

答案B

解析直線/的一個(gè)方向向量為(2,1,1),平面a的一個(gè)法向量為(4,2,2),

顯然它們共線，所以

5.(多選)已知空間三點(diǎn)A(l,0,3),8(T,1,4),C(2,-1,3)，若存〃正,且而|="，則點(diǎn)

P的坐標(biāo)為()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,~2)D.(2,~2,4)

答案AB

解析因?yàn)?(—1,1,4),C(2,-1,3),

所以2C=(3,—2,—1),

因?yàn)镼〃病，

所以可設(shè)成=%近=(3九一2九一#，

因?yàn)楣希緗=[(34+(—2加+(—4)2=VR

解得4=±1,

所以淳=(3,-2,—1)或前=(—3,2,1),

設(shè)點(diǎn)尸(x,y,z),則成=(無一1,y,z-3),

X—1=3,x—1=—3,

所以《y=~2,或＜y=2,

z—3=—lz—3=1,

%=4,x~~2,

解得＜)=—2,或,y=2,

、z=22=4.

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,—2,2)或(一2,2,4).

6.(多選)已知空間中三點(diǎn)A(0,l,0),5(2,2,0),C(—1,3,1),則下列結(jié)論正確的有()

A.贏與品是共線向量

B.與贏共線的單位向量是(1,1,0)

c.通與詼夾角的余弦值是一穿

D.平面A8C的一個(gè)法向量是(1,—2,5)

答案CD

解析對于A,贏=(2,1,0),啟=(—1,2,1),不存在實(shí)數(shù)人使得贏=慶，

所以施與公不是共線向量，所以A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)锳B=(2,l,0),所以與AB共線的單位向量為?乎，乎，0)或(一2步,一坐，0),

所以B錯(cuò)誤；

對于C,向量矗=(2,1,0),證=(—3,1,1),

七,、，,―*^—AB-BC755

=9

所以cos(ABfBC)=----------~vT

\AB\\BC\

所以C正確；

對于D,設(shè)平面ABC的法向量是〃=(x,y,z),

因?yàn)橼A=(2,1,0),元=(—1,2,1),

n-AB=0,[2x+y=0,

所以1即

{—x+2y+z=0.

、〃AC=0,

令冗=1,貝=—2,5),所以D正確.

7.已知a=(x,1,1)，b=(-2,2,y),。仍=0,則2%—y=.

答案2

解析因?yàn)閍=(x,1,1),萬=(—2,2,y),ab=09所以一2x+2+y=0,2x—y=2.

8.已知點(diǎn)A(—1,1,0),5(120),C(-2,-1,0),0(3,4,0),則贏在班上的投影向量為

答案(1,

解析由已知得還=(2,1,0),詼=(5,5,0),

AAB-cb=2X5+lX5+0=15,

又|比|=5

???贏在無上的投影向量為

甌國目=梟義黑=看力=你1，0)

\CD\\CD\5陋5小01

9.如圖所示，在直三棱柱ABC—A1BC1中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AAi=2,M,N

分別是4a，AiA的中點(diǎn).

(1)求的的長；

(2)求cos(BAi,國〉的值；

(3)求證：AiBLCiM.

(1)解以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖.

僅0,1,0),Ml,0,1),

.?.麗=(1,-1,1),

A\BN\=^/12+(-1)2+12=小.

(2)解VAi(l,0,2),8(0,1,0),C(0,0,0),

Bi(0,1,2),

-1,2),國=(0,1,2),

.?.就.函=3,曲=黃，|函=小.

.后GBAiCBi430

??cos〈8Ai，CBi)——10.

\BAi\\CBi\

(3)證明VCi(0,0,2),嗎2),

.?.乖=(-1,1,-2),抽=(；,I，0

—?—?11

".A\BC\M=一不+不+0=0.

：.A^BLC^M,

：.AiB±CiM.

10.如圖，在四棱錐產(chǎn)一A8CD中，PD_L底面ABC。，底面ABC。為正方形，PD=DC,E,F

分別是A3,PB的中點(diǎn).

p

AEB

(1)求證：EFLCD-,

(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GP_L平面PCB.

⑴證明如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,。尸所在直線為x軸、y軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=〃，貝U0(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),

C(0,a,0),

E(a,號0),尸(0,0,a),

Ca_aQ

0,292/

f(ad\―

EF=(—5，0,2J,DC=(0,a,0).

因?yàn)槠?虎=0,

所以訴_1_慶，BPEFLCD.

(2)解設(shè)G(x,0,z),

則…FfG=&(—5a,-2a-z-引d\,

CB=(a,0,0),CP=(0,—a,d),

若使G尸，平面PC5,則需壽?為=0,

且花6=0,

由尸GC8=(x——2?0,0)

=6z(x—^)=0,得尸會(huì)

由bG?。尸=1%一］,—2?z—2),(0,—a,a)

=5+左一寸=0,得z=0.

所以G點(diǎn)坐標(biāo)為8，0,0）,

即G為的中點(diǎn)時(shí)，GF_L平面尸CR

量能提升練

11.（多選）（2022?山東百師聯(lián)盟大聯(lián)考）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.向量a,5（aW0,》#0）,若aJJ>,則。仍=0

B.若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,貝B,C三點(diǎn)共線

3

C.已知向量a=（l,l,x）,&=（-3,x,9）,若xVj°則〈a,b）為鈍角

D.任意向量a,b,c滿足（a?b）p=trS?c）

答案AB

解析由向量垂直的充要條件可得A正確；

VPC=1B4+|PB,

1—?1—3-3

：.^PC-^PA=^PB-^PC,

即n=3無，

AA,B,C三點(diǎn)共線，故B正確；

當(dāng)x=一3時(shí)，兩個(gè)向量共線，夾角為兀，故C錯(cuò)誤；

由于向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，故D錯(cuò)誤.

12.（多選）（2022?重慶市第七中學(xué)月考）給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.已知〃為平面a的一個(gè)法向量，7〃為直線/的一個(gè)方向向量，若〃J_zn,貝!]/〃a

9jr

B.已知"為平面a的一個(gè)法向量，帆為直線/的一個(gè)方向向量，若〈小m）=可，則/與a

所成角為專

C.若兩個(gè)不同的平面a,B的法向量分別為u,v,且“=（1,2,-2）,0=（—2,—4,4）,則a〃夕

D.已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對于空間的任意一個(gè)向量p,總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得

p=xa+yb+zc

答案AD

解析對于A,由題意可得/〃?；?u%故A錯(cuò)誤；

兀

對于B,由圖象可得，ZCAD2^,

TTTT

則所以乙4。8=不

根據(jù)線面角的定義可得，/與a所成角為名故B正確;

對于C,因?yàn)椤?-/=—T（—2,—4,4）

=（1,2,-2）,

所以〃〃u,故a〃夕，故C正確；

對于D,當(dāng)空間的三個(gè)向量〃，b,c不共面時(shí)，對于空間的任意一個(gè)向量p,總存在實(shí)數(shù)x,

y,2使得p=xa+y/+2c,故D錯(cuò)誤.

13.（2022?杭州模擬）在棱長為1的正方體ABC。一A/iGDi中，E,尸分別為45,5場的中

點(diǎn)，則cosNEAb=；EF=.

答案1/

解析如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,A4i所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

?..正方體棱長為1,

貝1),F(l,0,，，

.?.嬴=(0,1),第=0,0,1

濟(jì)=1T0，

1

——AEAF22

cos〈zAE，AD=-_=詬六=亍

\AE\\AF