圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積上底擴大上底縮小柱體、椎體、臺體體積公式的關系復習回顧

問題：那么對于圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉體，它們的表面積和體積又該如何計算呢？

（一）圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積1.圓柱的表面積

圓柱的側面展開圖是矩形2πr圓錐的側面展開圖是扇形2πr

2.圓錐的表面積3.圓臺的表面積圓臺的側面展開圖是扇環(huán)

lx2πrS新知：旋轉體的表面積公式(1)圓柱的表面積：O(l為圓柱的母線長)(2)圓錐的表面積：(l為圓錐的母線長，S錐側=πrl)扇環(huán)面積=大圓錐側-小圓錐側(l為圓臺的母線長，S臺側=π(r+r')l)(3)圓臺的表面積：P119-1.已知圓錐的表面積為am2，且它的側面展開圖是一個半圓，求這個圓錐的底面半徑.rl2πr解：導學78頁導學78頁新知：球的表面積和體積公式(1)球的體積：體積公式推導法1(祖暅法)祖暅原理：兩個等高的幾何體，若在等高處的截面積總相等，則體積相等。3.球的表面積和體積公式(1)球的表面積：(2)球的體積：體積公式推導法2(極限法)OABCD把球O的表面分成n個小網格,連接球心O和每個小網格的頂點,整個球體就被分割成n個“小錐體”.當n越大，每個小網格越小，每個“小椎體”的底面越平，“小椎體”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R.O球表面積公式：球體積公式：

球的表面積與體積公式例3.如右圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.

如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料?

(π取3.14)解：一個浮標的表面積為S表=2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2)

∴給1000個這樣的浮標涂防水漆所需涂料約為0.8478×1000×0.5=423.9(kg).公式運用---教材例題公式運用P119例4.如圖所示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，

(1)求球與圓柱的體積之比.(2)求球與圓柱的表面積之比.OR解：設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.即球與圓柱的體積和表面積之比均為2:3！

這是我生平最得意的定理！圓柱容球P119-2.當一個球的半徑滿足什么條件時，其體積和表面積的數值相等？解：由S球=V球，得解得R=3.

例

有三個球，一球切于正方體的各面，一球的切于正方體的各棱，一球過正方體的各項點，求這三個球的體積之比和表面積之比.內切球棱切球外接球ACBPO?ODR?O′PCBAa解1：連接PO'，則

由圖可知，R解2：補形法.?OPCBA例

正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與它的四個面都相切，求內切球的表面積與體積．ABCDPOE解1：如圖，P-ABC為正三棱錐,設球的半徑為r，底面中心為點D,內切球球O與底面ABC切于點D,與側面PBC切于點F,PE為斜高D,過PA,PD作軸截面，交BC邊中點E,∴PD=1,易知

，S球=4πr2=V球=πr3=rrOEPADF連接OF由△POF∽△PED，得

，解得r=設球的半徑為r，底面中心為D,取BC邊中點EABCDPOE解2：如圖，P-ABC為正三棱錐,以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐PE為斜高,∴S球=4πr2=V球=πr3=例

正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與它的四個面都相切，求內切球的表面積與體積．.公式歸納圓柱圓錐圓臺?OR球lOO'2πrr??O'Or'2πr'rl2πr??2πrOSlr??O?O2CBAa?O1B備選直棱柱或圓柱外接球半徑公式①內切球②外接球ro1oo2●RS球=4πR2把一個半徑為R的球的上半球橫向切成n(無窮大)份，每份等高并且把每份看成一個類似圓柱，其中半徑等于底面圓半徑，則從下到上第k個圓柱的側面積為O'Ork??h?kh

球的表面積公式的推導4.如圖，多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，EF⊥面FBC，則該多面體的體積為_________.