2024年中考數(shù)學(xué)重難點突破 陰影部分面積處理技巧

專題15陰影部分面積處理技巧

了<修煉出

求陰影部分面積的常用方法：

①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計

算；

②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；

③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時，通過對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、

割補等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件.

④相似與同高不同底三角形結(jié)合法.

I,訕傳占后一

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角08C的頂點A在了軸的正半軸上已知點8(-2,0)、

C(2,0)、2)(4,0),將“CD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到則圖中陰影部分圖形的面

【分析】先判斷出@=OC=2,根據(jù)勾股定理可得/C的長，根據(jù)A/CD繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到A/BE,可得圖中陰影部分面積=%形峰-無影胡c,再根據(jù)扇形面積公式即可求出

結(jié)果.

【詳解】解：「川-2,0）,C（2,0）,

OB=OC=2,AB=AC=2垃,

???￡＞（4,0）,

OD=A.

AD=yjAO2+DO2=275,

V/CD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到.ABE,

二圖中陰影部分面積=與形DAE+S“BE—S扇形切c-S“CD

=S扇形Q/E-S扇形84c

360360

=3〃.

故答案為：3Tl.

【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化■旋轉(zhuǎn)，熟記扇形

的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在正方形/BC。中，AB=12.以點5為圓心，R4長為半徑在正方形內(nèi)部作公，

點￡為上一點，連接分別以點反￡為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于

點M,N,作直線MN,交公于點￡交BE于點、G,則圖中陰影部分的周長為.

【答案】2TT+6+6A/3

【分析】連接EF,根據(jù)作法可得〃N為5月的垂直平分線，從而得到45所為等邊三

角形，再求出弧即的長，再根據(jù)陰影部分的周長為濡+尸G+EG,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AP,EF,

根據(jù)題意得：BF=BE=AB=12,

根據(jù)作法得：兒W為8E的垂直平分線，

：.BF=EF,BG=EG=6,

:.BE=BF=EF,FG=JBF?-BG。=673，

二ABM為等邊三角形，

』EBF=60。,

二弧跖的長為。上=2小

360

,陰影部分的周長為七+尸G+EG=2〃+6+6百.

故答案為：2〃+6+6百

【我思故我在】本題主要考查了求弧長，等邊三角形的判定和性質(zhì)，尺規(guī)作圖，熟練掌握弧

長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作已知線段的垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，是半圓。的直徑，且/8=10,點尸為半圓上一點.將此半圓沿4P所在的直

線折疊，若恰好弧/P過圓心。，則圖中陰影部分的面積是.（結(jié)果保留田

AOB

25

【答案】

o

【分析】過點。作ODL8C于點。，交弧/產(chǎn)于點E,則可判斷點。是弧/OP的中點，由

折疊的性質(zhì)可得。。=Z）E=；R=g,在R/OAD中求出N040=30。，繼而得出NNOC,求出

22

扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積.

【詳解】解：過點。作8c于點僅交弧/產(chǎn)于點E,連接。尸，

則點E是弧/￡尸的中點，由折疊的性質(zhì)可得點。為弧/0P的中點，

弓彩AO=S弓彩PO,

,,15

在瓦△/QD中，O4=OB=R=5,OD^DE^-R=-,

22

:.^OAD=30°,

/5。尸=60。，

-a_cRCP_60"X5[”

-3陰k、扇形BOP-777一久萬?

3600

25

故答案為：—

o

【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點。是

弧NOP的中點，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積.

4.如圖1,是一枚殘缺的古代錢幣.圖2是其幾何示意圖，正方形/BCD的邊長是1cm,

。。的直徑為2cm,且正方形的中心和圓心。重合，E,廠分別是。4,CD的延長線與。O

的交點，則錢幣殘缺部分（即圖2中陰影部分）的面積是cm2.

圖2

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

【詳解】解如圖，延長正方形/BCD的四邊得到圓。的內(nèi)接正方形EFGH,

■.ZEOF=90°

,??該圓直徑為2,則半徑為1

故答案為：~~~

42

【我思故我在】本題主要考查圓的性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)并正確求解是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在“8C中，ZACB=90°,ZA=45°,/C=JL點。為48的中點，以點。為圓

心作圓心角為90。的扇形D斯，點C恰在弧E尸上，則圖中陰影部分的面積為.

4

【分析】連接CD.根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積=扇形DE廠的面積-四邊形

DGC”的面積.又易證ADGC織ADHWASA）,即得出四邊形DGCH的面積等于△BCD的

面積，最后由扇形面積公式和三角形面積公式計算即可.

【詳解】解：連接C。，如圖，

...乙4c8=90。，點。為的中點，乙1=45。，AC=42,

AB=y]AC2+BC2=2,CDLAB,

CD=BD=-AB=1,CA=CB,

2

Z.GDC+ZCDH=ZCDH+ZHDB=90°,

乙GDC=4HDB.

丈：DB=DC,ZDCG=NDBH=45°,

FDGC9zDHBgK）,

四邊形。GCH的面積等于△BCD的面積，

2

.ccccc90/7-Xl1x177-1

-）陰影—J扇形一J四邊形QGCH—J扇形DE尸—JABCD-一茄。丁一%"一,

故答案為：-y--.

【我思故我在】本題考查扇形面積的計算、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性

質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是明確題意，正確連接輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6.如圖，在aAOB中，ZAOB=90°,ZA=30°,OB=4,以點。為圓心，OB為半徑畫

弧，分別交OA、AB于點C、D,則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留n）

【答案】4月-9

【分析】根據(jù)題意，首先證明根據(jù)漏=京小。-5扇形?！阌嬎慵纯?

【詳解】解：??2/。3=90。，N/=30。，08=4,

ZS=60o,AB=20B,AO==4式

：OB=OD

.?.△03。是等邊三角形

/LBOD=60°,ZCO￡>=30°,OB=BD,

'：AB=2OB,OB=BD,

BD=AD,

4、4人把薩=4回什

S陰=AADO-S扇形。co=-SMB()-S扇糅co=-

【我思故我在】本題主要考查了扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，學(xué)會添加輔

助線和數(shù)據(jù)公式是解題關(guān)鍵.

7.如圖，在平行48CD四邊形中，對角線NC、5。相交于。點，AC=AB,E是邊的

中點，G、尸為BC上的點，連接0G和EF,若48=26,BC=20,GF=10,則圖中陰

影部分的面積為.

【答案】120

【分析】連接石。,EG,。尸,先證明四邊形EOFG是平行四邊形，得到

S^EOP+S△尸GP二四邊形E0尸G=S&EOG，根據(jù)EO//BG,得到凡EOG"SAEOB,從而得到

S陰影部分=SqAOE+S&EOP+S4FGP~S&AOE+S&EOB=ABO,由此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接EO,EG,OF,

1.平行四邊形/BCD中，對角線/C、8。相交于。點,

。是ZC邊的中點，

又；E是NB邊的中點，

是以BC的中位線，

：.EOIIBG,EO=-BC=10.

2

又,:GF=10,

EO=GF,

二四邊形EOFG是平行四邊形.

,,S.EOP+S/GP=5s四邊形EOFG=S“EOG>

又；EOIIBG,

?V=Q

??o^EOG—3EOB，

?VV=Q

一o^EOP丁一=2&FGP_U.EOB?

?V_V_LCV-VV-V

…陰影部分一^^AOETQ&EOPTU&FGP-0”(?￡"丁口.EOB-°^ABO?

?/AC=AB=26,BC=20,

，等腰“BC中BC邊上的高為7262-102=24,

：SABC=1x20x24=240.

1?。是NC邊的中點，

S,RO=-SARC=1x240=120.

△ABU2^AD<-2

???陰影部分的面積為120.

故答案為：120.

【我思故我在】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形的中線有關(guān)面積計算、不規(guī)則

圖形面積的計算，熟知上述圖形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，將不規(guī)則圖形拆分成規(guī)則圖形

是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形/BCD中，AD=2也,DC=4右,將線段DC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn),

當(dāng)點C的對應(yīng)點E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是.

【答案】24-6百一4兀

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。E=DC=4由，由銳角三角函數(shù)可求N4DE=60。，由勾股定

理可求NE的長，分別求出扇形EDC和四邊形。C8E的面積，即可求解.

【詳解】解：,將線段DC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

:.DE=DC=4日

AD2A/31

:cosAADE=--=-1=

DE4732

AADE=60°,

.\^EDC=30°,

30X7TX48

:.S^EDC==4n,

360

■：AE=YJDE2-AD2=A/48-12=6,

:.BE=AB-AE=46一6,

:.S四邊彤DCBE=…+荷卜2024一6百,

2

二陰影部分的面積=24-6百-4匹

故答案為：24-6百一47r.

【我思故我在】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知

識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在Rt^4BC中，/A4c=90。，。是3c中點，分別以48,NC為邊向外作正方

形N8E尸和正方形NCG",連接ED,HD.若BC=6,則陰影部分的面積是.

【分析】分別取/從/C的中點MM,連接。N、DM,則可得DN=g/C,DM=^AB,

又S陰影+S△/皿分別表示出和的面積，即可求得答案.

【詳解】解：如圖，分別取48、/C的中點N、M,連接。N、DM,

.-.DNI/AC,且ZW=g/C,DM//AB,S.DM=^AB,

■：ZBAC=90°,

s.DNLAB,DMLAC,

在正方形48EF和正方形ZCGH中，AF=AB,AH=AC,

：.S.=-AF-DM=-AB--AB=-AB2,

AAAFDn2224

S.=-AH-DN=-AC--AC=-AC2,

4A曲ffn2224

又,在RtZUBC中，AB2+AC2=BC2

22

S陰影=SKAFD+S4AHD=+—AC=-BC=9.

故答案為9

【我思故我在】本題考查陰影部分面積的求法，準(zhǔn)確作出輔助線，列出面積計算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)

化是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在AO3C中，COB=90°,ZS=60°,CO=4也,以為半徑的半圓O交

斜邊8c于點D,則陰影部分面積為（結(jié)果保留n）.

【答案】1+4百

【分析】連接首先證得ABOD是等邊三角形，然后解直角三角形求得03,再利用扇

形面積求法以及等邊三角形面積求法得出答案.

【詳解】解：連接OD,

?：OB=OD,25=60°,

.?.△20D是等邊三角形，

Z5OD=60°,

.".zcon=90°-60°=30°,

在AOBC中，NCOB=90。，25=60°,CO=4^3,

：.OB=2oC=?x4也=4,

33

一S陰影=S扇/DOE+SXB°D,

30/T-x421*拒*

=------+—x4x——x4

36022

4〃八r

=~3~+4”，

故答案為：5+4行.

【我思故我在】此題主要考查了解直角三角形、扇形面積求法以及等邊三角形的性質(zhì)，熟記

扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

11.如圖，在“8C中，ZACB=90。,ABAC=30°,BC=2,將"SC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

60。，點3的對應(yīng)點夕落在邊上，交NC于點P,則圖中陰影部分的面積為.

I分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得HC=/C,ZAC4=60。,NBCB'=60。,再由勾股定理可得

HC=ZC=2內(nèi)，再證得△38'C為等邊三角形，可得乙4'BC=N4B'P=60°,

ZACB'=ZA=30°,進(jìn)而得到48FZC,AP=CP=：AC=6,再根據(jù)陰影部分的面積等

于S扇形4C"—S"CP>即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：A'C=AC,ZACA'=6Q°,ZBCB'=60°,

在zUSC中，ZACS=90°,ABAC=30°,BC=2,

：.AB=2BC=4,ZA'B'C=ZB=60°,

A'C=AC=-JAB2-BC2=273-NBB'C=60°,

：.△仍'C為等邊三角形，

NN+ZACB'=60°,ZA'B'C=ZAB'P=60°,

NACB'=N4=30°,

AB'=CB',

A'B'1AC,AP=CP=-AC=V3

■■■A'P=YJA'C2-PC2=3,

二陰影部分的面積等于5

3月

故答案為：2兀-----

2

【我思故我在】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,

根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于$扇/°，_S&ACP是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在RtZUBC中，N/2C=90。，點￡是8C的中點.以48為直徑的OO交/C于

點。，連接DE.若DE是O。的切線，乙4=60。，48=4cm,則陰影部分的面積是cm2

【答案】46t

【分析】連接。￡,由圖形可知：S南方S四邊形OBED-S扇形OBD,通過圓的性質(zhì)可以分別求出

四邊形。2助和扇形的面積，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接?！?

?！龆?

BE~

??,0是48的中點,

OB=—AB=2,

在Rt/\ABC中，BC=AB*tanA=4\/3,

??力是8c的中點,

.".BE=yBC=2-\/3,S^OBE=yxOB*BE=2^/3,

???Q￡是。。的切線,

.."ODE=/OBE=9U。,

:OB=OD,OE=OE,

.一△OBE/RtAODE(HL),

SAODE=SAOBE=2V3,

「?S四邊形。BED=4百,

?/Z^=60°,

500=120。,

?,S陰/'S四邊形OBED-S扇形。BD=46~?

【我思故我在】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì)，切線的性質(zhì)，扇形的面積等知識，熟練掌握

圓的綜合性質(zhì)，將不規(guī)則的陰影面積用規(guī)則面積表達(dá)出來是解決本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在扇形045中，/4。5=105。，半徑04=6,將扇形045沿過點5的直線折疊,

點。恰好落在弧43上的點。處，折痕交。4于點C,則陰影部分的面積為.

【答案】y-9

【分析】連接8,交BC于E,根據(jù)對折得出5C，OD,QE=OE=3,/DBE=/0BE,0B=BD=6,

求出△005是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/。。5=/。5。=60。，求出

ZCOD=AAOB-Z￡>05=45°,求出CE=OE=3,再分別求出扇形4。。和△COD的面積即可.

【詳解】解：連接交BC于E,

?.?沿5c對折。和。重合，OD=6,

:.BCLOD,DE=OE=3,々DBE=/OBE,OB=BD=6,

/.^BEO=90°,△QO5是等邊三角形,

ADOB=^DBO=QO°,

?/Z^O5=105°,

/COD=/AOB-/DOB=45。,

???/OEC=90。，

:.CE=OE=3,

..?陰影部分的面積

=S扇形AOD-S^COD

=*9,

故答案為：—?r-9.

【我思故我在】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積計算

等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

14.如圖，點。是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點4。在半圓上，S.AD//BO,AABO

=60°,48=4,過點。作于點C,則陰影部分的面積是.

【分析】求出半圓半徑、OC、CD,根據(jù)得到根據(jù)

S陰影一S扇形NOE-S?OCD即可求解.

【詳解】如圖，連接oa

?/ZABO=60°,OA=OB,

??.△OAB是等邊三角形，

：.OA=AB=4,AAOB=60°

?「AD//BO,

^DAO=^AOB=60°,

：OA=OD,

-0?AOAD是等邊三角形，

/.^AOD=60°,OA=OD=4,

/.ZDO￡=60°,

在放△OCZ）中，CD=ODsin60°=243,OC=O0cos6O。=2,

「AD//BO,

一??V2ABD-=Q，

120〃4*26=*2，

..S陰影=S扇形40E-SXOCD

360

故答案為：4^-2百.

【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、等邊三

角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)40〃80,得到從而將

陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積的差.

15.如圖，在扇形OA4中，乙408=120。，=2,點C,。分別是線段和的中點,

連接CD交AB于點、E,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】連接BD,先證明AOBD為等邊三角形，由三線合一可知OC=5C=1,由銳

角三角函數(shù)的知識求出CD、CE的長，然后根據(jù)與影=S扇形050一OCD_BCE求解即可.

【詳解】解：連接OD,BD,如解圖所示.

?；Z^OB=120。，點。為M的中點，

ZBOD=60°.

OB=OD=OA=2,

二為等邊三角形.

又「C為線段。2的中點，

OC=BC=\,ZOCD=ZBCD=90°.

所以在RtZ\OCD中，CZ)=tan60°-OC=6,

：0℃D=；OC.CD7.

?/OA=OB,ZAOB=nO°,

ZOBA=30°,即NCHE=30。，

n

.?.在Rtz^CE中，EC=tan30°-5C=—,

3

.s_1M1i百

-S^BCE=2SCEC=^21~3=~6f

60224

?扇形由=麗“=y.

.弋_&&&J-nV3V3_2/r2x/3

一》陰影一?扇形O3D―^OCD~\BCE~~yT丁

故答案為：號一年

【我思故我在】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識，弧、弦、圓心

角的關(guān)系，以及扇形的面積公式，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在RfA48C中.ZC=60°,N48C=90。，BC=2,以點3為圓心，BC為半徑

畫弧，交4c于點E,交48于點G,點。為CE的中點，以。為圓心，DE為半徑畫弧交

3c于點E則圖中陰影部分的面積為

【分析】根據(jù)可以觀察圖形可知加=S扇形BGE+-S&CDF-DEE,分別計算出兩個扇形

面積和兩個三角形面積即可得到陰影部分的面積.

【詳解】連接BE,,:BC=BE,且NC=60。，

.1△BCE為等邊三角形，同理可得△DCE也為等邊三角形,

^c=1-2-(2sin600)=V3,

S△?=：.1心詁60。)=",

24

:ABCE、△DCE為等邊三角形，

:.NCBE=/CDF=60。,

貝!]ZGBE=90°-60°=30°,Z￡DF=180°-60°=120°,

q_30°.77-.22_n

J扇形8GE=――――=—，

3603

【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算，其中涉及到扇形面積求解、三角形面積

求解,要在熟練掌握各種圖形面積計算公式的前提下,靈活運用割補法求不規(guī)則圖形的面積.

17.如圖，4B為半徑的直徑，且48=6,半圓繞點2順時針旋轉(zhuǎn)45。，點/旋轉(zhuǎn)到0的位

置，則圖中陰影部分的面積為.

9

【答案】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S#倒//A4'=45°,由于'S附影部加S半BIAB=S半圓A，B+S

?ABA',則S"彩衣=S房非/B4,然后根據(jù)扇形面積公式求解即可.

【詳解】?.?半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45。，點A旋轉(zhuǎn)到〃的位置，

..S舉圓AB=S^g/AB,NAB4'=45°,

iS陰影部分+S半圓AB=S^/gA'B+S扇形4BA'，

45xnx629

…S"彩赧=S扇形ABA=---------=-TI,

3602

故答案為：|9/r.

【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵關(guān)鍵是熟練掌握扇

形面積公式.

18.如圖，。為半圓內(nèi)一點，。為圓心，直徑N3長為2cm,ZBOC=60°,ZBCO=90°,將

EOC繞圓心。逆時針旋轉(zhuǎn)至△B'OC,點C'在CM上，則邊8C掃過區(qū)域（圖中陰影部分）

的面積為cm2.（結(jié)果保留

【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形夕02和扇形C'OC的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)

扇形的面積公式進(jìn)行計算即可得出答案.

【詳解】解：,.?/2OC=60。，△B'OC'是△BOC繞圓心。逆時針