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文檔簡介
專題15陰影部分面積處理技巧
了<修煉出
求陰影部分面積的常用方法:
①公式法:所求圖形是規(guī)則圖形,如扇形、特殊四邊形等,可直接利用公式計
算;
②和差法:所求圖形是不規(guī)則圖形,可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差;
③等積變換法:直接求面積較麻煩或根本求不出時,通過對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、
割補等,為公式法或和差法創(chuàng)造條件.
④相似與同高不同底三角形結(jié)合法.
I,訕傳占后一
1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角08C的頂點A在了軸的正半軸上已知點8(-2,0)、
C(2,0)、2)(4,0),將“CD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到則圖中陰影部分圖形的面
【分析】先判斷出@=OC=2,根據(jù)勾股定理可得/C的長,根據(jù)A/CD繞點A順時針旋
轉(zhuǎn)90。得到A/BE,可得圖中陰影部分面積=%形峰-無影胡c,再根據(jù)扇形面積公式即可求出
結(jié)果.
【詳解】解:「川-2,0),C(2,0),
OB=OC=2,AB=AC=2垃,
???£>(4,0),
OD=A.
AD=yjAO2+DO2=275,
V/CD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到.ABE,
二圖中陰影部分面積=與形DAE+S“BE—S扇形切c-S“CD
=S扇形Q/E-S扇形84c
360360
=3〃.
故答案為:3Tl.
【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算,勾股定理,坐標(biāo)與圖形變化■旋轉(zhuǎn),熟記扇形
的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.
2.如圖,在正方形/BC。中,AB=12.以點5為圓心,R4長為半徑在正方形內(nèi)部作公,
點£為上一點,連接分別以點反£為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧交于
點M,N,作直線MN,交公于點£交BE于點、G,則圖中陰影部分的周長為.
【答案】2TT+6+6A/3
【分析】連接EF,根據(jù)作法可得〃N為5月的垂直平分線,從而得到45所為等邊三
角形,再求出弧即的長,再根據(jù)陰影部分的周長為濡+尸G+EG,即可求解.
【詳解】解:如圖,連接AP,EF,
根據(jù)題意得:BF=BE=AB=12,
根據(jù)作法得:兒W為8E的垂直平分線,
:.BF=EF,BG=EG=6,
:.BE=BF=EF,FG=JBF?-BG。=673,
二ABM為等邊三角形,
』EBF=60。,
二弧跖的長為。上=2小
360
,陰影部分的周長為七+尸G+EG=2〃+6+6百.
故答案為:2〃+6+6百
【我思故我在】本題主要考查了求弧長,等邊三角形的判定和性質(zhì),尺規(guī)作圖,熟練掌握弧
長公式,等邊三角形的判定和性質(zhì),作已知線段的垂直平分線的作法是解題的關(guān)鍵.
3.如圖,是半圓。的直徑,且/8=10,點尸為半圓上一點.將此半圓沿4P所在的直
線折疊,若恰好弧/P過圓心。,則圖中陰影部分的面積是.(結(jié)果保留田
AOB
25
【答案】
o
【分析】過點。作ODL8C于點。,交弧/產(chǎn)于點E,則可判斷點。是弧/OP的中點,由
折疊的性質(zhì)可得。。=Z)E=;R=g,在R/OAD中求出N040=30。,繼而得出NNOC,求出
22
扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積.
【詳解】解:過點。作8c于點僅交弧/產(chǎn)于點E,連接。尸,
則點E是弧/£尸的中點,由折疊的性質(zhì)可得點。為弧/0P的中點,
弓彩AO=S弓彩PO,
,,15
在瓦△/QD中,O4=OB=R=5,OD^DE^-R=-,
22
:.^OAD=30°,
/5。尸=60。,
-a_cRCP_60"X5[”
-3陰k、扇形BOP-777一久萬?
3600
25
故答案為:—
o
【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算,解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線,判斷點。是
弧NOP的中點,將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積.
4.如圖1,是一枚殘缺的古代錢幣.圖2是其幾何示意圖,正方形/BCD的邊長是1cm,
。。的直徑為2cm,且正方形的中心和圓心。重合,E,廠分別是。4,CD的延長線與。O
的交點,則錢幣殘缺部分(即圖2中陰影部分)的面積是cm2.
圖2
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
【詳解】解如圖,延長正方形/BCD的四邊得到圓。的內(nèi)接正方形EFGH,
■.ZEOF=90°
,??該圓直徑為2,則半徑為1
故答案為:~~~
42
【我思故我在】本題主要考查圓的性質(zhì),掌握圓的性質(zhì)并正確求解是解題的關(guān)鍵.
5.如圖,在“8C中,ZACB=90°,ZA=45°,/C=JL點。為48的中點,以點。為圓
心作圓心角為90。的扇形D斯,點C恰在弧E尸上,則圖中陰影部分的面積為.
4
【分析】連接CD.根據(jù)題意和圖形,可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積=扇形DE廠的面積-四邊形
DGC”的面積.又易證ADGC織ADHWASA),即得出四邊形DGCH的面積等于△BCD的
面積,最后由扇形面積公式和三角形面積公式計算即可.
【詳解】解:連接C。,如圖,
...乙4c8=90。,點。為的中點,乙1=45。,AC=42,
AB=y]AC2+BC2=2,CDLAB,
CD=BD=-AB=1,CA=CB,
2
Z.GDC+ZCDH=ZCDH+ZHDB=90°,
乙GDC=4HDB.
丈:DB=DC,ZDCG=NDBH=45°,
FDGC9zDHBgK),
四邊形。GCH的面積等于△BCD的面積,
2
.ccccc90/7-Xl1x177-1
-)陰影—J扇形一J四邊形QGCH—J扇形DE尸—JABCD-一茄。丁一%"一,
故答案為:-y--.
【我思故我在】本題考查扇形面積的計算、等腰直角三角形的性質(zhì),三角形全等的判定和性
質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是明確題意,正確連接輔助線,并利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.
6.如圖,在aAOB中,ZAOB=90°,ZA=30°,OB=4,以點。為圓心,OB為半徑畫
弧,分別交OA、AB于點C、D,則圖中陰影部分的面積是(結(jié)果保留n)
【答案】4月-9
【分析】根據(jù)題意,首先證明根據(jù)漏=京小。-5扇形?!阌嬎慵纯?
【詳解】解:??2/。3=90。,N/=30。,08=4,
ZS=60o,AB=20B,AO==4式
:OB=OD
.?.△03。是等邊三角形
/LBOD=60°,ZCO£>=30°,OB=BD,
':AB=2OB,OB=BD,
BD=AD,
4、4人把薩=4回什
S陰=AADO-S扇形。co=-SMB()-S扇糅co=-
【我思故我在】本題主要考查了扇形的面積,等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,學(xué)會添加輔
助線和數(shù)據(jù)公式是解題關(guān)鍵.
7.如圖,在平行48CD四邊形中,對角線NC、5。相交于。點,AC=AB,E是邊的
中點,G、尸為BC上的點,連接0G和EF,若48=26,BC=20,GF=10,則圖中陰
影部分的面積為.
【答案】120
【分析】連接石。,EG,。尸,先證明四邊形EOFG是平行四邊形,得到
S^EOP+S△尸GP二四邊形E0尸G=S&EOG,根據(jù)EO//BG,得到凡EOG"SAEOB,從而得到
S陰影部分=SqAOE+S&EOP+S4FGP~S&AOE+S&EOB=ABO,由此求解即可.
【詳解】解:如圖所示,連接EO,EG,OF,
1.平行四邊形/BCD中,對角線/C、8。相交于。點,
。是ZC邊的中點,
又;E是NB邊的中點,
是以BC的中位線,
:.EOIIBG,EO=-BC=10.
2
又,:GF=10,
EO=GF,
二四邊形EOFG是平行四邊形.
,,S.EOP+S/GP=5s四邊形EOFG=S“EOG>
又;EOIIBG,
?V=Q
??o^EOG—3EOB,
?VV=Q
一o^EOP丁一=2&FGP_U.EOB?
?V_V_LCV-VV-V
…陰影部分一^^AOETQ&EOPTU&FGP-0”(?£"丁口.EOB-°^ABO?
?/AC=AB=26,BC=20,
,等腰“BC中BC邊上的高為7262-102=24,
:SABC=1x20x24=240.
1?。是NC邊的中點,
S,RO=-SARC=1x240=120.
△ABU2^AD<-2
???陰影部分的面積為120.
故答案為:120.
【我思故我在】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形的中線有關(guān)面積計算、不規(guī)則
圖形面積的計算,熟知上述圖形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ),將不規(guī)則圖形拆分成規(guī)則圖形
是解題的關(guān)鍵.
8.如圖,在矩形/BCD中,AD=2也,DC=4右,將線段DC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn),
當(dāng)點C的對應(yīng)點E恰好落在邊AB上時,圖中陰影部分的面積是.
【答案】24-6百一4兀
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。E=DC=4由,由銳角三角函數(shù)可求N4DE=60。,由勾股定
理可求NE的長,分別求出扇形EDC和四邊形。C8E的面積,即可求解.
【詳解】解:,將線段DC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn),
:.DE=DC=4日
AD2A/31
:cosAADE=--=-1=
DE4732
AADE=60°,
.\^EDC=30°,
30X7TX48
:.S^EDC==4n,
360
■:AE=YJDE2-AD2=A/48-12=6,
:.BE=AB-AE=46一6,
:.S四邊彤DCBE=…+荷卜2024一6百,
2
二陰影部分的面積=24-6百-4匹
故答案為:24-6百一47r.
【我思故我在】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),銳角三角函數(shù),矩形的性質(zhì),扇形的面積公式等知
識,靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.
9.如圖,在Rt^4BC中,/A4c=90。,。是3c中點,分別以48,NC為邊向外作正方
形N8E尸和正方形NCG",連接ED,HD.若BC=6,則陰影部分的面積是.
【分析】分別取/從/C的中點MM,連接。N、DM,則可得DN=g/C,DM=^AB,
又S陰影+S△/皿分別表示出和的面積,即可求得答案.
【詳解】解:如圖,分別取48、/C的中點N、M,連接。N、DM,
.-.DNI/AC,且ZW=g/C,DM//AB,S.DM=^AB,
■:ZBAC=90°,
s.DNLAB,DMLAC,
在正方形48EF和正方形ZCGH中,AF=AB,AH=AC,
:.S.=-AF-DM=-AB--AB=-AB2,
AAAFDn2224
S.=-AH-DN=-AC--AC=-AC2,
4A曲ffn2224
又,在RtZUBC中,AB2+AC2=BC2
22
S陰影=SKAFD+S4AHD=+—AC=-BC=9.
故答案為9
【我思故我在】本題考查陰影部分面積的求法,準(zhǔn)確作出輔助線,列出面積計算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)
化是解題的關(guān)鍵.
10.如圖,在AO3C中,COB=90°,ZS=60°,CO=4也,以為半徑的半圓O交
斜邊8c于點D,則陰影部分面積為(結(jié)果保留n).
【答案】1+4百
【分析】連接首先證得ABOD是等邊三角形,然后解直角三角形求得03,再利用扇
形面積求法以及等邊三角形面積求法得出答案.
【詳解】解:連接OD,
?:OB=OD,25=60°,
.?.△20D是等邊三角形,
Z5OD=60°,
.".zcon=90°-60°=30°,
在AOBC中,NCOB=90。,25=60°,CO=4^3,
:.OB=2oC=?x4也=4,
33
一S陰影=S扇/DOE+SXB°D,
30/T-x421*拒*
=------+—x4x——x4
36022
4〃八r
=~3~+4”,
故答案為:5+4行.
【我思故我在】此題主要考查了解直角三角形、扇形面積求法以及等邊三角形的性質(zhì),熟記
扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.
11.如圖,在“8C中,ZACB=90。,ABAC=30°,BC=2,將"SC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)
60。,點3的對應(yīng)點夕落在邊上,交NC于點P,則圖中陰影部分的面積為.
I分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得HC=/C,ZAC4=60。,NBCB'=60。,再由勾股定理可得
HC=ZC=2內(nèi),再證得△38'C為等邊三角形,可得乙4'BC=N4B'P=60°,
ZACB'=ZA=30°,進(jìn)而得到48FZC,AP=CP=:AC=6,再根據(jù)陰影部分的面積等
于S扇形4C"—S"CP>即可求解.
【詳解】解:根據(jù)題意得:A'C=AC,ZACA'=6Q°,ZBCB'=60°,
在zUSC中,ZACS=90°,ABAC=30°,BC=2,
:.AB=2BC=4,ZA'B'C=ZB=60°,
A'C=AC=-JAB2-BC2=273-NBB'C=60°,
:.△仍'C為等邊三角形,
NN+ZACB'=60°,ZA'B'C=ZAB'P=60°,
NACB'=N4=30°,
AB'=CB',
A'B'1AC,AP=CP=-AC=V3
■■■A'P=YJA'C2-PC2=3,
二陰影部分的面積等于5
3月
故答案為:2兀-----
2
【我思故我在】本題主要考查了求扇形面積,勾股定理,等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識,
根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于$扇/°,_S&ACP是解題的關(guān)鍵.
12.如圖,在RtZUBC中,N/2C=90。,點£是8C的中點.以48為直徑的OO交/C于
點。,連接DE.若DE是O。的切線,乙4=60。,48=4cm,則陰影部分的面積是cm2
【答案】46t
【分析】連接。£,由圖形可知:S南方S四邊形OBED-S扇形OBD,通過圓的性質(zhì)可以分別求出
四邊形。2助和扇形的面積,即可求解.
【詳解】解:如圖,連接?!?
?!龆?
BE~
??,0是48的中點,
OB=—AB=2,
在Rt/\ABC中,BC=AB*tanA=4\/3,
??力是8c的中點,
.".BE=yBC=2-\/3,S^OBE=yxOB*BE=2^/3,
???Q£是。。的切線,
.."ODE=/OBE=9U。,
:OB=OD,OE=OE,
.一△OBE/RtAODE(HL),
SAODE=SAOBE=2V3,
「?S四邊形。BED=4百,
?/Z^=60°,
500=120。,
?,S陰/'S四邊形OBED-S扇形。BD=46~?
【我思故我在】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì),切線的性質(zhì),扇形的面積等知識,熟練掌握
圓的綜合性質(zhì),將不規(guī)則的陰影面積用規(guī)則面積表達(dá)出來是解決本題的關(guān)鍵.
13.如圖,在扇形045中,/4。5=105。,半徑04=6,將扇形045沿過點5的直線折疊,
點。恰好落在弧43上的點。處,折痕交。4于點C,則陰影部分的面積為.
【答案】y-9
【分析】連接8,交BC于E,根據(jù)對折得出5C,OD,QE=OE=3,/DBE=/0BE,0B=BD=6,
求出△005是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/。。5=/。5。=60。,求出
ZCOD=AAOB-Z£>05=45°,求出CE=OE=3,再分別求出扇形4。。和△COD的面積即可.
【詳解】解:連接交BC于E,
?.?沿5c對折。和。重合,OD=6,
:.BCLOD,DE=OE=3,々DBE=/OBE,OB=BD=6,
/.^BEO=90°,△QO5是等邊三角形,
ADOB=^DBO=QO°,
?/Z^O5=105°,
/COD=/AOB-/DOB=45。,
???/OEC=90。,
:.CE=OE=3,
..?陰影部分的面積
=S扇形AOD-S^COD
=*9,
故答案為:—?r-9.
【我思故我在】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,直角三角形的性質(zhì),扇形的面積計算
等知識點,能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.
14.如圖,點。是半圓圓心,BE是半圓的直徑,點4。在半圓上,S.AD//BO,AABO
=60°,48=4,過點。作于點C,則陰影部分的面積是.
【分析】求出半圓半徑、OC、CD,根據(jù)得到根據(jù)
S陰影一S扇形NOE-S?OCD即可求解.
【詳解】如圖,連接oa
?/ZABO=60°,OA=OB,
??.△OAB是等邊三角形,
:.OA=AB=4,AAOB=60°
?「AD//BO,
^DAO=^AOB=60°,
:OA=OD,
-0?AOAD是等邊三角形,
/.^AOD=60°,OA=OD=4,
/.ZDO£=60°,
在放△OCZ)中,CD=ODsin60°=243,OC=O0cos6O。=2,
「AD//BO,
一??V2ABD-=Q,
120〃4*26=*2,
..S陰影=S扇形40E-SXOCD
360
故答案為:4^-2百.
【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、等邊三
角形的判定與性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)40〃80,得到從而將
陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積的差.
15.如圖,在扇形OA4中,乙408=120。,=2,點C,。分別是線段和的中點,
連接CD交AB于點、E,則圖中陰影部分的面積為.
【分析】連接BD,先證明AOBD為等邊三角形,由三線合一可知OC=5C=1,由銳
角三角函數(shù)的知識求出CD、CE的長,然后根據(jù)與影=S扇形050一OCD_BCE求解即可.
【詳解】解:連接OD,BD,如解圖所示.
?;Z^OB=120。,點。為M的中點,
ZBOD=60°.
OB=OD=OA=2,
二為等邊三角形.
又「C為線段。2的中點,
OC=BC=\,ZOCD=ZBCD=90°.
所以在RtZ\OCD中,CZ)=tan60°-OC=6,
:0℃D=;OC.CD7.
?/OA=OB,ZAOB=nO°,
ZOBA=30°,即NCHE=30。,
n
.?.在Rtz^CE中,EC=tan30°-5C=—,
3
.s_1M1i百
-S^BCE=2SCEC=^21~3=~6f
60224
?扇形由=麗“=y.
.弋_&&&J-nV3V3_2/r2x/3
一》陰影一?扇形O3D―^OCD~\BCE~~yT丁
故答案為:號一年
【我思故我在】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的知識,弧、弦、圓心
角的關(guān)系,以及扇形的面積公式,熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵.
16.如圖,在RfA48C中.ZC=60°,N48C=90。,BC=2,以點3為圓心,BC為半徑
畫弧,交4c于點E,交48于點G,點。為CE的中點,以。為圓心,DE為半徑畫弧交
3c于點E則圖中陰影部分的面積為
【分析】根據(jù)可以觀察圖形可知加=S扇形BGE+-S&CDF-DEE,分別計算出兩個扇形
面積和兩個三角形面積即可得到陰影部分的面積.
【詳解】連接BE,,:BC=BE,且NC=60。,
.1△BCE為等邊三角形,同理可得△DCE也為等邊三角形,
^c=1-2-(2sin600)=V3,
S△?=:.1心詁60。)=",
24
:ABCE、△DCE為等邊三角形,
:.NCBE=/CDF=60。,
貝!]ZGBE=90°-60°=30°,Z£DF=180°-60°=120°,
q_30°.77-.22_n
J扇形8GE=――――=—,
3603
【我思故我在】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算,其中涉及到扇形面積求解、三角形面積
求解,要在熟練掌握各種圖形面積計算公式的前提下,靈活運用割補法求不規(guī)則圖形的面積.
17.如圖,4B為半徑的直徑,且48=6,半圓繞點2順時針旋轉(zhuǎn)45。,點/旋轉(zhuǎn)到0的位
置,則圖中陰影部分的面積為.
9
【答案】
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得S#倒//A4'=45°,由于'S附影部加S半BIAB=S半圓A,B+S
?ABA',則S"彩衣=S房非/B4,然后根據(jù)扇形面積公式求解即可.
【詳解】?.?半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45。,點A旋轉(zhuǎn)到〃的位置,
..S舉圓AB=S^g/AB,NAB4'=45°,
iS陰影部分+S半圓AB=S^/gA'B+S扇形4BA',
45xnx629
…S"彩赧=S扇形ABA=---------=-TI,
3602
故答案為:|9/r.
【我思故我在】本題考查了扇形面積的計算以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵關(guān)鍵是熟練掌握扇
形面積公式.
18.如圖,。為半圓內(nèi)一點,。為圓心,直徑N3長為2cm,ZBOC=60°,ZBCO=90°,將
EOC繞圓心。逆時針旋轉(zhuǎn)至△B'OC,點C'在CM上,則邊8C掃過區(qū)域(圖中陰影部分)
的面積為cm2.(結(jié)果保留
【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形夕02和扇形C'OC的圓心角的度數(shù),再根據(jù)
扇形的面積公式進(jìn)行計算即可得出答案.
【詳解】解:,.?/2OC=60。,△B'OC'是△BOC繞圓心。逆時針
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