2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)期末模擬卷1（全解全析）（新高考地區(qū)專用）

2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末模擬考試01

高二數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、

準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：空間向量與立體幾何、直線與圓的方程、圓錐曲線、數(shù)列。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.直線x+與一1=0的傾斜角是（）

7T兀2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為04。＜無，

直線x+_1=0可化為y=-gx+g，

所以直線的斜率后=tan9=_。，

:.8=史,

6

故選：D.

2.己知）=（G,X,2）,第=卜3,百2g）分別是平面tz,尸的法向量，若a〃尸，貝!]x=（）

A.-7B.-1C.1D.7

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解

【詳解】因?yàn)槌?（百,x,2）,%=2君）分別是平面a1的法向量，且a〃尸，

所以成〃后，即5=定=/9,解得x=T

故選：B

3.設(shè)等比數(shù)列｛與｝的前“項(xiàng)和為S"，若的=2,且出，%，%-2成等差數(shù)列，則$4=（）

A.7B.12C.15D.31

【答案】C

【分析】設(shè)出公比，根據(jù)%,%，%-2成等差數(shù)列列出方程，求出公比，利用等比數(shù)列求和公式

得到答案.

【詳解】設(shè)公比為4（4N0）,因?yàn)椤?，的，Q-2成等差數(shù)列，所以2%=%+%-2,

則2x2q=2+2q2-2,解得：q=2或0（舍去）.

1_?4

因?yàn)?=2,所以4=1,故S4=-------=15.

1-2

故選：C

4.設(shè)aeR,則“a=1”是"直線（a+l）x+ay+3=0與直線2ax+y—5=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也

不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)直線平行的條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€（。+1）*+即+3=0與直線2辦+了-5=0平行的充要條件是a+i=2〃旦

-5（a+l）6a,解得4=1或0=」.

2

所以由充分必要條件的概念判斷可知：“。=1”是“直線（。+1）x+砂+3=0與直線2ax+y-5=0平行”

的充分不必要條件，

故選：A

5.如圖，在四面體CM3C中，E=或方=氏灰=1.點(diǎn)M在0/上，且OM=2MA,N為BC

中點(diǎn)，則礪等于（）

2-11一

B.——a+—br+—c

322

2-1_

D.—a+—b——c

332

【答案】B

【解析】

【分析】連接ON,利用空間向量基本定理可得答案.

【詳解】連接ON,麗=而一而=|■（赤+4）一=++

6.已知圓G：/+卜2=1與圓。2：+/—8X+6.V+加=0相內(nèi)切，則G與G的公切線方程

為（）

A.3%-4j-5=0B.3x-4v+5=0

C.4x-3j-5=0D.4x-3y+5=0

【答案】D

【解析】

【分析】由兩圓的位置關(guān)系得出加，進(jìn)而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.

【詳解】圓G：/+「=i的圓心。］（（）,0）月=1,圓。2：8x+6y+m=0可化為

（x-4）2+{y+3）2=25-m,（加<25）,則其圓心為。2（4,-3）,半徑為.=J25-加，

因?yàn)閳Aa與圓G相內(nèi)切，所以馬―i=|aa|,即々=542+32+1=6,故加=—11.

x2+y2=1

由<,,，可得4x-3y+5=0,

x~+y~—8x+6y—11=0

即G與C2的公切線方程為4x-3v+5=0.

故選：D

7.已知數(shù)列｛與｝滿足%-。用=竽F，且。2=-1，若怎=166,則正整數(shù)上為（）

A.13B.12C.11D.10

【答案】B

【分析】確定工=。7，利用累加法確定%=-2"-2,代入計(jì)算得到答案.

a

n+\anz2

【詳解】4,一%+1=等平，故一一一；=與，a2=-l,故％

/%+1%NZ

11.1

■^7+,"422“-2

ak=16a8,即-2"z=-16x26=-2i°,故無-2=10,解得左=12.

故選：B

22

8.已知E為橢圓C：三+二=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)，P為C上的動點(diǎn)，過尸且垂直于x軸的直

a2b2

線與C交于M,N兩點(diǎn)，若等于|尸目的最小值的3倍，則C的離心率為（）

BDW

-I32

【答案】B

【解析】

?人2

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及通徑，可得。，|"N|="，再根據(jù)已知列式，結(jié)合橢

圓a、b、c的關(guān)系，求出離心率即可.

l（a〉b〉O）的右焦點(diǎn)，尸為C上的動點(diǎn),

由橢圓的性質(zhì)，可得=4—C.

,??過尸且垂直于X軸的直線與C交于M,N兩點(diǎn),

：.\MN\=—.

a

V\MN\等于|尸尸|的最小值的3倍,

???橢圓中〃=。2,

2--°?）=3a~—3ac,即2c2—3ac+a2=0>

2e2-3e+l=0，解得e=—或e=l（舍）.

2

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

22V—匕=1,則

9.已知曲線G：4x+3y=48,C2

3

A.G的長軸長為4

B.C2的漸近線方程為y=±瓜

c.￡與G的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同

D.G與c2的離心率互為倒數(shù)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

22

【詳解】曲線Cj4/+33?=48整理得上+匕=1,則曲線G是焦點(diǎn)在夕軸上的橢圓，其中

1216

C21

d=16&=12,所以4二〃—,離心率為；

%42

故曲線G的長軸長2q=8,故A不正確；

曲線。2：――。=1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其中宕=16=3,所以c；=a；+公=4,離心

。22

率為6=二=；=2,故與曲線G的焦點(diǎn)位置不同，故C不正確；

。21

C2：V—：=1的漸近線方程為了=±氐，故B正確；

又弓忍2=gx2=l,所以G與02的離心率互為倒數(shù)，故D正確.

故選：BD.

10.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，若邑3>。，邑4<。，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列B.%>。

C.當(dāng)s“取得最大值時，”=13D.|a13|>|a12|

【答案】ABC

【分析】由已知邑3>0,邑4<。，利用等差數(shù)列求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?12>0,?12+0,3<0,

進(jìn)而判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，且邑3>0,邑4<0,

所以23（力+4）=23%2〉0,24（°；%）=241[%）=.（牝+陽）〈0,

即牝aL3父。，所以％2>0,?13<0>且|/3|>|%2|,所以B錯誤，D正確;

因?yàn)?=小-出〈0,所以等差數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，所以A錯誤；

所以當(dāng)”=12時，5“取得最大值，所以C錯誤.

故選：ABC

11.如圖，在棱長為2的正方體48CD—中，E,尸分別為4片，N5的中點(diǎn)，則下列結(jié)論

直線CF到平面ZE。的距離為逅

B.

3

直線4G與平面而1所成角的余弦值為U

6

D.直線4G與直線用尸所成角的余弦值為典

10

【答案】ABD

【解析】

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】在棱長為2的正方體/BCD—44cA中，E,尸分別為4鳥，N3的中點(diǎn),

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

8(2,2,0),4(2,0,2),G(0,2,2),48=(0,2,-2),羽=(-2,2,0),

則點(diǎn)B到直線4G的距離為:

"?！籣()2=26Jl一(丁匕〒f,故A正確;

V148H4GlV2V2-2V2

2(2,0,0),F(2,l,0),￡(2,1,2),C(0,2,0),

醞=(2,-1,0),下=(0,1,2),AQ=(-2,2,2),方=(01,0),

設(shè)平面AEC1的法向量為=(xJ,z),

n-AE=y+2z=0

則《_.■,取x=l,得力=(1,2,—1),

n-ACX=-2x+2y+2z=0

由于及尸分別為4片，as的中點(diǎn)，所以M//CG且￡E=cq,

因此四邊形廠CCS為平行四邊形，故￡C"/EC,

又/C.平面AEC,,EC】u平面AEC,，所以C尸〃平面AEQ,

???直線CF到平面AEQ的距離為d=窄”=京=g，故B正確;

設(shè)直線4G與平面NEG所成角為，，則sin6=匕,〃，=，=g,故C錯誤;

|AXCX\-\n\272766

瓦(2,2,2),^F=(0,-1,-2),

設(shè)直線4G與直線ByF所成角為，，則cos0=上：:廠=黑，故D正確.

|4G|?|I2V2-V510

故選：ABD.

12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角

垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…設(shè)第〃層有4個球，從上往下〃層球的

總數(shù)為S“，則下列結(jié)論正確的是()

A.凡=20B.a“+「a”=n

n(n+\\11112023

C.S-S.=—^-----L,n>2D.—+一+—+-?-+----=-r—

nn~l2a\a2a3〃20231012

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)每層球數(shù)變化規(guī)律可直接求解得到AB正誤；利用累加法可求得C正確；采用裂項(xiàng)相

消法可求得D正確.

【詳解】對于A,邑=%+。2+%+%=1+3+6+10=20,A正確；

對于B,由每層球數(shù)變化規(guī)律可知：%=〃+l(〃eN*),B錯誤；

對于C,當(dāng)時，

/\/\\72(72+1)

a

n=(4__a『2)+…+_%)+%=〃+_1)+…+2+1=----------；

當(dāng)〃=1時，％=1滿足~~)；

n(n+\\,、

???S"—S"T=4=-^(〃22),C正確;

1^=21-J-

對于D,—

a?+〃+1

1111,<111112023

/.—?-----1------1-----1-------二2x1-----1---------1-----F

(=2*

%。2。2023223202320241012

正確.

故選：ACD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知四棱錐P—/BCD的底面Z5CD是平行四邊形，若麗=*蘇+>詬+2定，則

型=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算及空間向量基本定理得答案.

【詳解】因?yàn)樗睦忮FP-45CD的底面/BCD是平行四邊形，所以

PD^PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB'

又麗=+y方+z無，由空間向量基本定理可得，x=l,y=-l,z=l,故xyz=-1.

故答案為：-L

14.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,,若8“=2%+1,則an=.

【答案】—2'1

【解析】

【分析】先令〃=1得至U%=-1,再令〃上2得至IS,T=2aLi+1，從而得到—=2(〃22)為常

an-\

數(shù)，得到數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為-1，公比為2的等比數(shù)列，從而直接求得通項(xiàng)公式.

【詳解】令〃=1,得％=百=2q+1,所以q=-1；

令〃22,則=2%T+1,

兩式相減得,Sn—Sn_1=2%-2%_],BPan=2an—2an_i,

所以%=2%_i(〃22),

因?yàn)閝=-1。0,所以%wO,

所以反=2(〃22)為常數(shù)，

an-X

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為-1,公比為2的等比數(shù)列，

所以%=—1X2"T=_2"T.

故答案為：-2'1

15.如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當(dāng)水面在/時，

拱頂離水面2米，水面寬4米.當(dāng)水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為米.

9

【答案】4.5##-

2

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為V=加了，求出拋物線的方程，再代點(diǎn)的坐標(biāo)即得

解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為/=沖，

將/（2,—2）代入/=加了，得m=-2,所以》2=—2y.

設(shè)8（3,%）,代入9=—2%，得為=—4.5.

所以拱橋到水面的距離為4.5m.

故答案為：4.5.

16.如圖，我們把由半橢圓片+二=1鼠<0）和半橢圓工+或=

二l（x〉O）合成的曲線稱作“果

169V'2516

圓”.大，鳥，心是相應(yīng)半橢圓的焦點(diǎn)，則AGga的周長為一直線了=，與“果圓”交于A,

3兩點(diǎn)，且48中點(diǎn)為W,點(diǎn)M的軌跡方程為______.

【答案】①.8+277②.x2+^-=l（x>0）

【解析】

【分析】根據(jù)各半橢圓方程可得片，F(xiàn)2,鳥的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得距離及周長；分

別表示點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式表示“，消參即可得到點(diǎn)“，得軌跡方程.

【詳解】由片，巴，片是相應(yīng)半橢圓的焦點(diǎn)，

可得月(0,⑺，8(0,-⑺,罵(3,0),

22

所以閨聞=2g,閨閭=J(3_0y+(0_近『=4，\F2F31=^(3-0)+(0+V7)=4.

故所求周長為4+4+26=8+2近；

設(shè)M(x,y),

聯(lián)立直線少=/與《+三=l(x<0),得x=-6T2,

169v74

即點(diǎn)A^——yJ16—t2,

聯(lián)立直線>=/與工+二=l(x〉0),得X=」J16-72,

2516V74

即點(diǎn)8；J16—,且48不重合，即/彳4,

又M為AB中點(diǎn),

X-..!------------........------

所以<24

即x=J16y2,X>0,整理可得/+二=1,

x>0,

416

故答案為：8+2J7，x2+^-=l(x>0).

四、解答題：本題共6小題，共70分.第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

17.(10分)已知D/3C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4一1,1),5(2,0),C(3,4).

(1)求48邊上的高C。的長.

(2)求DABC的面積.

【答案】^

10

【分析】(1)求出直線NB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離即可求解;

(2)求出的長，用面積公式即可求解.

【詳解】(1)由題意，直線43的方程為：者=三二，即尤+3y-2=0.

1—0-1—2

故點(diǎn)C到直線的距離即為N8邊上的高CD的長，

|3+3x4-2|13而

所以|CD|=

Vl+910

(2)因?yàn)閨48|=歷1=而，

所以D/8C的面積為：S“BC="圻卬F|■創(chuàng)而’

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，也｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

為Sn,且7=b]—1f%="2+1，"4二邑.

(1)求數(shù)列｛%｝,抄"｝的通項(xiàng)公式；

(2)令a""(keN),求數(shù)列｛5｝的前12項(xiàng)和％?

【答案】(1)an=2n-l,b?=2"T

(2)2796

【解析】

【分析】(1)由數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，也“｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)出公差和公比，根據(jù)題

意列出方程組求解即可；

(2)根據(jù)題意寫出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式，用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,數(shù)列也,｝的公比為q(q>0),

%+d=如+1d-q

由題意可得,即《2

q+3d=4(l+q+q2)q+q=3d

所以q2_2q=0,

因?yàn)閝>0,所以d=q=2,

所以a,=1+2(〃—1)=2〃—1,bn=1X2"T=2"T.

【小問2詳解】

2n一1,幾=2k-l*

由⑴可得c"評…心，

所以｛4｝的所有奇數(shù)項(xiàng)組成以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列；

所有偶數(shù)項(xiàng)組成以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.

所以，Tn=[cx+C3H--FC]J+(C2+04"I---

=(4]++…+%])+(4+"I-.+‘12)

6x(6-l)2X(1-46)

=6x1+———Lx4+—----=66+2730=2796-

21-4

19.(12分)已知直線x-y-2=0經(jīng)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸，且與。交于/,B

兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)求圓心在x軸上，且過/,3兩點(diǎn)的圓的方程.

【答案】(1)/="；

(2)(x-10)2+r=96.

【解析】

【分析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程即可求解作答.

(2)根據(jù)給定條件，求出線段的中垂線方程，再求出圓心坐標(biāo)及半徑作答.

【小問1詳解】

依題意，拋物線C的焦點(diǎn)Rg,o）在直線X-V-2=0上，則々一2=0,解得P=4,

所以C的方程為/

【小問2詳解】

由（1）知，拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=—2,設(shè)/（X1,%）,B（x2,y2）,的中點(diǎn)為M（x（）/o）,

—V—20x?x

由＜2'。消去y得/—12X+4=0,則須+々=12，有/7rA=6，%=/一2=4,

y2

即M（6,4）,

因此線段AB的中垂線方程為歹—4=—（x—6）,即y=—x+10,

令＞=0,得x=10,設(shè)所求圓的圓心為E,則￡（10,0）,

又4s過C的焦點(diǎn)F,則有|/邳=|/佳|+|BF|=X1+2+X2+2=16,

設(shè)所求圓的半徑為小則尸2=［四］+|Affi|2=82+42+42=96，

、2J

故所求圓的方程為（X—10）2+/=96.

20.（12分）已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S,,=2an-2.

（1）證明｛?｝是等比數(shù)列，并求｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）在g和a”.之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的

前n項(xiàng)和Tn.

【答案】（1）證明見解析，。，=2"

,n+3

（2）3--------

2"

【解析】

【分析】（1）利用%=S“-S“T（〃N2）及已知即可得到證明，從而求得通項(xiàng)公式；

1n+1

（2）先求出通項(xiàng)7=方］，再利用錯位相減法求和即可.

【小問1詳解】

因?yàn)镾,=2%-2,

當(dāng)〃22時，S"T=2q,T—2,

所以，當(dāng)〃之2時，an=2%_],又為=2%-2,解得q=2,

所以｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故%=2"

【小問2詳解】

a-a2n1〃+1

因?yàn)?=2"所以4=。用冊=上一,7

72+172+1an2

.111c1。1/八1

T=1------1-----1=2x—+3x--H----b(〃+l)x——，

“44dn2222rtJ

T八

升1=2cx?1+3rx>1+...+(/〃+l)x產(chǎn)1，

2

3n+3

21.(12分)如圖，在四棱錐P—/BCD中，PCJ_底面48CD,四邊形/BCD是直角梯形,

ADVDC,ABIIDC,PC=AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)、E在棱PBk.

P

（1）證明：平面E/CJ_平面P2C；

（2）當(dāng)?shù)Z=2而時，求二面角「一ZC—E的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵迪

3

【解析】

【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到ZCIBC,從而證

明出線面垂直，面面垂直；

（2）解法一:以C為原點(diǎn)，CB,CA,CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)

及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

解法二：取的中點(diǎn)G,連接CG,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG,CD,CP所在直線分別為x軸，y軸，z

軸，建系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

【小問1詳解】

因?yàn)镻CJ_底面48CD,4Cu平面48c7）,

所以

因?yàn)?8=2,AD=CD=1,所以ZC=8C=行.

所以4。2+3。2=282,所以

又因?yàn)镻CcBC=C,PCu平面P2C,BCu平面尸3C,

所以平面P8C.

又/Cu平面E/C,

所以平面EZC_L平面P5C.

【小問2詳解】

解法一：

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，CB,CA,C尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C（0,0,0）,5（V2,0,0）,^（0,V2,0）,P（0,0,2）.

設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(x,y,z),因?yàn)閷?2而，所以1―J5,y,z)=2(—x,-y,2—z),

4「在n4)

即x=\￡,>=o,z=—,所以￡,u,.

333

37

31M

所以0=(0,正,0),CE=ju,.

33

\7

_,、n-CA=0

設(shè)平面NCE的一^M去向量為〃=(x,y,z),則<_.

n-CE=0

yfly=0

所以,收4八取x=2&，則F=°，z=-i.

---x+—z=0

所以平面/CE的一個法向量為】=(2拒,0,-1，

又因?yàn)槠矫鏋镃,所以平面為C的一個法向量為而=(a,0,0).

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為。,

所以，平面HC與平面/CE夾角的余弦值為宜2

3

解法二：

取的中點(diǎn)G,連接CG,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG,CD,C尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立

如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，則C(0直,0),5(10),40,1,0),尸(0,0,2).

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為因?yàn)閷?2而，所以—+1,z)=2(—x,—y,2—z),

114(114

即x=一,y=—z=—,所以E；

3.33(333

所以而=(l/,0),CE=Q,-|,|j.

_,、n-CA=O

設(shè)平面NCE的一個法向量為"=(x,y,z),貝卜_.

"n-CE=O

x+j=0

3

所以《，取x=3,則y=-3,z=---.

"+造=。2

[33-3

所以，平面NCE的一個法向量為3=(3,—3,—

又因?yàn)?平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為CB=(1,-1,0).

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為。，

5=卜伍西/I辰1+(—3)x(—1)|_________=2V2

則