2024屆陜西省寶雞市金臺區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆陜西省寶雞市金臺區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知全集。=R,集合A={x|x-1>0},B={x|0<x<2},則(”)B()

A.{x|0<%<1}B.{x|%<2}

C.{x|%<1}D.{x11<%<2}

2.人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很

多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1,1,2,3,5,8,…為

邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90。的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契

螺旋線.下圖為該螺旋線在正方形邊長為1,1,2,3,5,8的部分，如圖建立平面直角坐標系(規(guī)定小方格的邊長為

1),則接下來的一段圓弧所在圓的方程為()

A.x2+y2=144B.(x-l)2+(y-2)2=144

C.(x+4)2+(y-2)2=169D.(x-4)2+(y+2)2=169

3.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是平行四邊形，已知PA=q,PB=b，PC=c，PE=gpD,則BE=

()

A

B

A」—

B.—a—b+—c

222222

1.31

C.—ClH—bH—cD.—a——b+—c

222222

s

4.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為%且%=4%,則*=（）

916

A.—B.—

1017

178

C.—D.—

1617

7T

5.已知橢圓和雙曲線有共同焦點耳,工，P是它們一個交點，且/月也=耳，記橢圓和雙曲線的離心率分別為

1

則----的最大值為

e\e2

A.3B.2

「4G

v?.---------------

3

6.如圖，在棱長為1的正方體A3CD-A3]G2中，點5到直線AG的距離為（）

JT

7.命題“若?=一，則tana=l”的逆否命題是

4

冗兀

A.若a#—，則tan（xrlB.若a=—，貝!|tanaRl

44

冗JI

C.若tana^l,貝！Ja#一D.若tana^l,貝!!a=一

44

8.已知拋物線y?=2px（p〉0）的焦點為歹，過F作斜率為2的直線/與拋物線交于A,B兩點,若弦AB的中點到

拋物線準線的距離為3,則拋物線的方程為。

C.y2=12xD.y1=6x

9.命題“七0￡尺，%；+2%o+l<O”的否定形式是（）

22

ANxeR,x+2x+l>0B.3x0G7?,x0+2x0+1>0

C.3xe,x2+2x+l>0D.Vxe/?,x2+2x+l<0

2

10.設(shè)。為實數(shù)，則曲線C：X2-_J=1不可能是（）

1-tz2

A.拋物線B.雙曲線

C.圓D.橢圓

22

11.已知點A,B在橢圓工+3=1（?！等恕?）上，河與A關(guān)于原點對稱，ZMAB=90，MB交丁軸于點Q,。為

ab

坐標原點，OM-OQ=2OQ1'則橢圓離心率為（）

A1B企

A.?U?--------

22

C.BD至

23

22

12.已知橢圓。：=+?=15〉6〉0）的左、右焦點分別為￡,工，。為》軸上一點，△。6耳為正三角形，若。片，

ab~

。心的中點恰好在橢圓。上，則橢圓。的離心率是（）

A.73-1B.2-73

C.72-1D.2-亞

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.萊昂哈德?歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線.后

來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線.已知ABC的三個頂點坐標分別是（-L0）,（3,0）,（0,2）,則ABC的垂

心坐標為,的歐拉線方程為

14.已知。為坐標原點，A（xi，%）,3（%，%）（%%<°）是拋物線V=4x上的兩點，且滿足53湍=12，貝!1

%%=;若0M垂直A5于點M,且IMQI為定值，則點。的坐標為.

15.已知S“是數(shù)列｛4｝的前"項和，且％=1,5?=2%+i,則a3=；數(shù)列｛??｝的通項公式an=

16.已知長軸長為2a,短軸長為2》的橢圓的面積為水力.現(xiàn)用隨機模擬的方法來估計》的近似值，先用計算機產(chǎn)生〃

個數(shù)對(4%)，i=1,2,3,“，其中玉，X均為。2］內(nèi)的隨機數(shù)，再由計算機統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)其中滿足條件

的數(shù)對有m個，由此可估計乃的近似值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝公差不為0,。2=5且卬,%，小成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項公式及其前”項和S“；

⑵記2=詈十，求數(shù)列也｝的前“項和小

18.(12分)在一ABC中，內(nèi)角A,5c的對邊分別是a,"c,且4+方2一C2=加

(1)求角C的大小

(2)若TcsinA+〃sinC=O,且a=l,求ABC的面積

19.(12分)已知命題P：xe［0,2］；命題q:m<x<2〃z+3.

(1)若P是g的充分條件，求m的取值范圍；

(2)當加=1時，已知。人4是假命題，Pvq是真命題，求x的取值范圍.

X2V21

20.(12分)設(shè)橢圓C：-^-+^-=1(a>/?>0)的離心率為e=—,橢圓C上一點P到左右兩個焦點月、居的距

a2b22

離之和是4.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知過工的直線與橢圓。交于A、B兩點,且兩點與左右頂點不重合，若可"=KA+,求四邊形

面積的最大值.

21.(12分)在等比數(shù)列｛4｝中，3島3是4與%的等比中項，3q與的的等差中項為6

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)么=始+logs、,求數(shù)列也｝前〃項和Sn

22.(10分)已知圓C:X?+y+2x-4y+1=0

(1)求圓心C的坐標和圓的面積；

(2)若直線/：x+y—3=。與圓C相交于A,3兩點，求弦長|AB|

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】先求低力，然后求他A)B.

【題目詳解】A={x|x-l>O}={x|x>l},

(^A)={x|x<l},(^A)nB={x|O<x<l}.

故選：A

2、C

【解題分析】由題意可知圖中每90。的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1,1,2,3,5,8,從而可求出下一段圓弧的半

徑為13,由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進而可得其方程

【題目詳解】解：由題意可知圖中每90。的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1,1,2,3,5,8,…，從而可求出下一段圓弧

的半徑為13,

由題意可知下一段圓弧過點(9,2),

因為每一段圓弧的圓心角都為90°,

所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(9,2)的連線平行于x軸，

因為下一段圓弧半徑為13,

所以所求圓的圓心為(7,2),

所以所求圓的方程為(X+4)2+(y—2)2=169,

故選:C

3、A

【解題分析】利用空間向量加法法則直接求解

【題目詳解】連接3,如圖，

故選：A

4、C

【解題分析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列｛4｝公比q的關(guān)系，再利用前“項和公式計算得解.

【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的的公比為會由%=4%o得：%=4%^,解得

%(1-產(chǎn))

所以'=J1=]+.=1+(+=—,

S6一(1Y)”'416

i-q

故選:c

5、D

【解題分析】設(shè)橢圓長半軸長為?i,雙曲線的半實軸長ai,焦距2c.根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用曲，“2表示出IPSI，

13,

\PF2\,在△尸IP尸2中根據(jù)余弦定理可得到二+二=4,利用基本不等式可得結(jié)論

eie2

【題目詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為雙曲線的半實軸長為。2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PH|+|PB|=2〃1,

|PFi|-\PF2\=2a29A\PF\\=a\+ai9\PFi\=a\-ai,

JI

設(shè)I尸也2|=2C,ZF1PFI=—,貝！I：在△尸凡適中，由余弦定理得，

71

4c2—(ai+a2)2+(?i-02)2-2(ai+02)(ai-02)cos一

3

13,

.?.化簡得：?I2+3?22=4C2,該式可變成：—+—=4,

13,

e?3

故選。

【題目點撥】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等

式求最值問題，屬于中檔題

6、A

【解題分析】以A為坐標原點，以為單位正交基底，建立空間直角坐標系，取。=43,

利用向量法，根據(jù)公式d=g.〃)2即可求出答案.

【題目詳解】以2為坐標原點，以｛。4，?！辏?。。｝為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系。-盯Z,

則A(l,0,1),3(1,1,1)，G(0,1,0),

.--AB=(0,1,0),AC,=(-1,1,-1)

AC

取。=48=(0,1,0),M-T—T=,則/=1，

葉333

則點B到直線AG的距離為-(a?")2

7、C

jr

【解題分析】因為“若。，則的逆否命題為“若F,則子"，所以“若a=—,則tana=l”的逆否命題是“若tanarl,

4

71

則

4

【點評】本題考查了“若P，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.

8、B

【解題分析】設(shè)出直線，并與拋物線聯(lián)立，得到西+々=羊，再根據(jù)拋物線的定義建立等式即可求解.

【題目詳解】因為直線/的方程為y=21x—gj,即y=2x—p,

由2px,消去y,得4--6px+p2=0,

y=2x-p,

設(shè)A（%,yJ,雙程％），則為+X2=當，

又因為弦A5的中點到拋物線的準線的距離為3,所以||=6,

而|A31=%+%+P,所以再+%=6-p,

3”1224

故三=6-p,解得，=（，所以拋物線的方程為丁=二X

故選：B.

9、A

【解題分析】特稱命題的否定是全稱命題

【題目詳解】3x0e/?,+2x0+1<0的否定形式是X/xe凡必+2x+1>0

故選：A

10、A

【解題分析】根據(jù)圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程和拋物線的方程特征即可判斷.

【題目詳解】解：對A：因為曲線c的方程中尤,y都是二次項，所以根據(jù)拋物線標準方程的特征曲線c不可能是拋物

線，故選項A正確；

對B：當1一。2>0時，曲線C為雙曲線，故選項B錯誤；

對C：當1—/=—1時，曲線C為圓，故選項C錯誤；

對D：當1—4<。且1—//—1時，曲線C為橢圓，故選項D錯誤；

故選：A.

11、B

【解題分析】由OM.OQ=2OQ2,得到/=—g，結(jié)合NM43=90,得至UKB=-；，左MB=會，進而求得

kAB-kMB=-E_,得出—、=—_1，結(jié)合離心率的定義，即可求解.

aa2

【題目詳解】設(shè)人（%,州）,5（孫％），°（°1），則河（—和—乂），

由.0Q=2OQ?，可得一取=2/,所以

71X,,X

因為ZMAB=90，可得左AB=—==kMQ=丁，

kOA%2%

22222_22_2

又由工+與=1,與+q=1,兩式相減得五三三+&_普=0,

CTb2a2b2a2b1

削二A.豆土支=￡皿J."一心

2

藥一%2%+%a

,一1b11b21

又因為以/。"=~=-,所以---7=------，即一7=—

%2石2a22a22

又由廿=/一。2,所以二￡1=工，解得e=￡=Y2.

a2a2

【解題分析】根據(jù)題意得二閨司=2c,取線段。耳的中點”，則根據(jù)題意得9=。，MF2=y/3c9根據(jù)橢圓

的定義可知c+Gc=a，然后解出離心率e的值.

【題目詳解】因為△。耳耳為正三角形，所以|。4|=|耳閭=2c,取線段的中點“，連結(jié)加工，則

所以|5|+|摩卜c+&=2a,得一自SI，

所以橢圓。的離心率e=6—1.

故選：A.

【題目點撥】求解離心率及其范圍的問題時，解題的關(guān)鍵在于畫出圖形，根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于。，b,c的

齊次式，然后得到關(guān)于離心率e的方程或不等式求解

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①[O,3##(O,L5)②.5x+4y—6=0

【解題分析】由高線聯(lián)立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.

【題目詳解】由4-1,0),3(3,0),C(0,2),可知AB邊上的高所在的直線為x=0,

又怎c=E=-(，因此邊上的高所在的直線的斜率為:，

所以邊上的高所在的直線為：y-0=j(x+l),即3x-2y+3=0,

-r\X=0/c、

%=0(3、

所以。c、c3,所以一ABC的垂心坐標為。，；，

3x—2y+3=0y=-I2)

、2

「1+3+00+0+2]_122]

由重心坐標公式可得ABC的重心坐標為

3

尸5X_Q

所以ABC的歐拉線方程為：廠，化簡得5尤+4y-6=0.

-------0

323

故答案為：[o,|15x+4y—6=0

14、①.-24②.（3,0）

【解題分析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運算可求出力%，設(shè)直線45的方程為％=沖+乙聯(lián)立拋物線方程，由根

與系數(shù)的關(guān)系可求出r,由圓的定義求出圓心即可.

22

【題目詳解】由即3■?號■+%%=12,

解得以為=-24或%%=8(舍去).

設(shè)直線AB的方程為尤=7盯+/.

x=my+tc

由<21,消去X并整理得V—4my—4f=0,

〔y=4x

二%+%=4根，y1y2=-4t.

又以為=—24,1=6,

直線A5恒過定點N(6,0),

。拉垂直AB于點M,

二點M在以O(shè)N為直徑圓上.

|MQ|為定值，

點。為該圓的圓心，又即。(3,0).

故答案為：-24;0,0)

【解題分析】當時，Sn_x=2an,推導(dǎo)出冬旦=；,從而數(shù)列｛4｝是從第二項起，公比為3的等比數(shù)列，進而能

求出數(shù)列｛4｝的通項公式，即可求得答案.

【題目詳解】Qs“為數(shù)列｛??｝的前”項和，％=l,Sn=2an+l①

時，Sn_i=2a"②

①一②'得：2a-2a"=,

2%=3a,

3

??an+l=^an9

■/S]=2a2-ax-1,

._1._3_3

..—9.?。3—Cl2—

2124-

1,n=l

數(shù)列｛4｝的通項公式為4=1(3丫-2

---,n>2

12

1,n—\

3

故答案為：3n-2

7n>2

2

8m

16、——

n

22

【解題分析】由%,%e[0,2],根據(jù)y.<亍一去表示的數(shù)對對應(yīng)的點（斗，y）在橢圓亍+/=i的內(nèi)部，且在第一

1-i滿足條件的點（七,y）的概率，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類型求解

象限，求出

【題目詳解】巧，J,e[0,2],

22

1-^-表示的數(shù)對對應(yīng)的點（七,y）在橢圓亍+/=1的內(nèi)部，且在第一象限,

.?V<

^■x2x1兀

其面積為

4

71

故5=",

2x2n

得哈網(wǎng)

n

8m

故答案為：?

n

【題目點撥】本題主要考查了幾何型概率應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握幾何型概率求法，考查了分析能力和計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)an=2n+l,Sn=n(n+2)

1

(2)T=-

n3(〃+1)(〃+3)

【解題分析】（1）根據(jù)分式的合分比性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出;

（2）根據(jù)裂項相消法即可求出

【小問1詳解】

a.〃口-a.9d

由題意：—=o3,即％=3%,

「35

又?+3d,a1=—d,a2=+d=—d=5d=2,

：n

.an=2n+l,S=(，+%)—二〃(〃+2)?

"2

【小問2詳解】

因為11

，〃墨+1^n^n+1

?*-Tn=回向=不一釘1111

-

dd3(H+1)(H+3)

i=li=lIzi+l&Sn+1

18、(1)C——；(2)y/3

3

^2/2_2

【解題分析】(1)根據(jù)/+/—/=〃〃，通過余弦定理COSC二十,一°求解.

2ab

(2)根據(jù)Tcsin4+〃sinC=0,通過正弦定理，把角轉(zhuǎn)化為邊得4c〃=bc,再根據(jù)Q=1,得b=4.再代入ABC

的面積公式求解.

【題目詳解】(1)???/+/—/=",

2.72_2

???由余弦定理得cosC=a-cab_I

lablab2

TT

又C￡(0,?),??.C=—.

3

(2):Tcsin4+〃sinC=0,

???由正弦定理得4c〃=儀;，

丁cw0,4a=b9

又Q=1,:?b=4

ABC面積S=LqbsinC=Lxlx4x^_=6

222

【題目點撥】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

19、(1)--<m<0；

2

(2)[0,l]u(2,5].

m<0

【解題分析】(1)解不等式組LoC即得解；

2m+3>2

(2)由題得八4一真一假，分兩種情況討論得解.

【小問1詳解】

解：由題意知p是q的充分條件，即p集合包含于q集合,

m<01

有[0,2仁（m,2m+3]二><=>—<m<Q'

2m+3>22

【小問2詳解】

解：當機=1時，有q:xe(l,5],

由題意知，p、q一真一假,

0<%<2

當P真q假時,=^>0<%<1,

%<1或%>5

或X）2=2<X?5,

當P假q真時,

1<X<5

綜上，X的取值范圍為[0,1]"2,5]

20、(1)—+^=1；(2)6.

43

【解題分析】(1)本小題根據(jù)題意先求。，b,c,再求橢圓的標準方程；

(2)本小題先設(shè)過工的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.

【題目詳解】解：(1)V橢圓C上一點P到左右兩個焦點工、工的距離之和是%

2〃=4即q=2,

又,**a2=b2+c29***b2=3?

22

...橢圓C的標準方程為工+乙=1；

43

(2)設(shè)點A、3的坐標為3(%,%),

因為直線過點招，所以可設(shè)直線A3方程為％=加丁+1,